En matemáticas , específicamente en la teoría de la cirugía , las obstrucciones de la cirugía definen un mapade las invariantes normales a los grupos L, que es en primera instancia un mapa de teoría de conjuntos (que no significa necesariamente un homomorfismo ) con la siguiente propiedad cuando:
Un mapa normal de grado uno es normalmente cobordante con una equivalencia de homotopía si y solo si la imagen en .
Bosquejo de la definición
La obstrucción quirúrgica de un mapa normal de grado uno tiene una definición relativamente complicada.
Considere un mapa normal de grado uno . La idea al decidir la cuestión de si normalmente es cobordante con una equivalencia de homotopía es tratar de mejorar sistemáticamente para que el mapa se convierte en -conectado (es decir, los grupos de homotopía por ) para alto . Es una consecuencia de la dualidad de Poincaré que si podemos lograr esto por luego el mapa ya es una equivalencia de homotopía. La palabra sistemáticamente anterior se refiere al hecho de que uno intenta hacer cirugías en matar elementos de . De hecho, es más conveniente utilizar la homología de las cubiertas universales para observar cómo está conectado el mapa.es. Más precisamente, se trabaja con los núcleos de cirugía. que uno ve como -módulos. Si todo esto desaparece, entonces el mapaes una equivalencia de homotopía. Como consecuencia de la dualidad de Poincaré en y hay un -módulos Poincaré duality , por lo que solo hay que vigilar la mitad de ellos, es decir, aquellos para los que .
Se puede hacer cualquier mapa normal de grado uno -conectado por el proceso llamado cirugía por debajo de la dimensión media. Este es el proceso de matar elementos de por descrito aquí cuando tenemos tal que . Una vez hecho esto, hay dos casos.
1. Si entonces el único grupo de homología no trivial es el kernel . Resulta que los emparejamientos taza-producto en y inducir un emparejamiento de taza-producto en . Esto define una forma bilineal simétrica en caso de y una forma bilineal simétrica sesgada en caso de . Resulta que estas formas se pueden refinar para-formas cuadráticas, donde . Estas-Las formas cuadráticas definen elementos en los grupos L .
2. Si la definición es más complicada. En lugar de una forma cuadrática se obtiene de la geometría una formación cuadrática, que es una especie de automorfismo de formas cuadráticas. Tal cosa define un elemento en el grupo L de dimensiones impares.
Si el elemento es cero en el grupo L, la cirugía se puede realizar en Modificar a una equivalencia de homotopía.
Geométricamente, la razón por la que esto no siempre es posible es que realizar una cirugía en la dimensión media para matar un elemento en posiblemente crea un elemento en Cuándo o en Cuándo . Entonces esto posiblemente destruya lo que ya se ha logrado. Sin embargo, si es cero, las cirugías se pueden arreglar de tal manera que esto no suceda.
Ejemplo
En el caso simplemente conectado sucede lo siguiente.
Si no hay obstrucción.
Si entonces la obstrucción quirúrgica se puede calcular como la diferencia de las firmas de M y X.
Si entonces la obstrucción quirúrgica es el invariante Arf de la forma cuadrática del núcleo asociada sobre .
Referencias
- Browder, William (1972), Cirugía en colectores simplemente conectados , Berlín, Nueva York: Springer-Verlag , MR 0358813
- Lück, Wolfgang (2002), Una introducción básica a la teoría de la cirugía (PDF) , ICTP Lecture Notes Series 9, Band 1, de la escuela "High-dimensional multiple theory" en Trieste, mayo / junio de 2001, Abdus Salam International Centre for Theoretical Física, Trieste 1-224
- Ranicki, Andrew (2002), Cirugía algebraica y geométrica , Monografías matemáticas de Oxford, Clarendon Press, ISBN 978-0-19-850924-0, MR 2061749
- Wall, CTC (1999), Cirugía sobre variedades compactas , Encuestas y monografías matemáticas, 69 (2a ed.), Providence, RI: American Mathematical Society , ISBN 978-0-8218-0942-6, MR 1687388