En matemáticas , una vecindad tubular de una subvariedad de una variedad suave es un conjunto abierto a su alrededor que se asemeja al paquete normal .
La idea detrás de un vecindario tubular se puede explicar con un ejemplo simple. Considere una curva suave en el plano sin autointersecciones. En cada punto de la curva dibuje una línea perpendicular a la curva. A menos que la curva sea recta, estas líneas se cruzarán entre sí de una manera bastante complicada. Sin embargo, si uno mira solo en una banda estrecha alrededor de la curva, las porciones de las líneas en esa banda no se cruzarán y cubrirán toda la banda sin espacios. Esta banda es un barrio tubular.
En general, dejar que S sea un subvariedad de un colector de M , y dejar que N sea el fibrado normal de S en M . Aquí S juega el papel de la curva y M el papel del plano que contiene la curva. Considere el mapa natural
que establece una correspondencia biyectiva entre la sección cero de N y la subvariedad S de M . Una extensión j de este mapa a todo el paquete normal N con valores en M tales quees un conjunto abierto en M y j es un homeomorfismo entre N y se llama barrio tubular.
A menudo uno llama al conjunto abierto en lugar de j en sí mismo, una vecindad tubular de S , se supone implícitamente que existe el homeomorfismo j que mapea N a T.
Tubo normal
Un tubo normal a una curva suave es un colector definido como la unión de todos los discos de manera que
- todos los discos tienen el mismo radio fijo;
- el centro de cada disco se encuentra en la curva; y
- cada disco se encuentra en un plano normal a la curva donde la curva pasa por el centro de ese disco.
Definicion formal
Dejar ser colectores lisos. Un barrio tubular de en es un paquete de vectores junto con un mapa suave tal que
- dónde es la incrustación y la sección cero
- existe algo y algo con y tal que es un difeomorfismo .
El paquete normal es una vecindad tubular y debido a la condición de difeomorfismo en el segundo punto, todas las vecindades tubulares tienen la misma dimensión, es decir (la dimensión del paquete vectorial considerado como una variedad es) la de
Generalizaciones
Las generalizaciones de variedades suaves producen generalizaciones de vecindarios tubulares, como vecindarios regulares, o fibraciones esféricas para espacios de Poincaré .
Estas generalizaciones se utilizan para producir análogos al paquete normal, o más bien al paquete normal estable , que son reemplazos del paquete tangente (que no admite una descripción directa de estos espacios).
Ver también
- Curva paralela (también conocida como curva de desplazamiento)
- Lema de tubo
Referencias
- Raoul Bott, Loring W. Tu (1982). Formas diferenciales en topología algebraica . Berlín: Springer-Verlag. ISBN 0-387-90613-4.
- Morris W. Hirsch (1976). Topología diferencial . Berlín: Springer-Verlag. ISBN 0-387-90148-5.
- Waldyr Muniz Oliva (2002). Mecánica geométrica . Berlín: Springer-Verlag. ISBN 3-540-44242-1.