Mapa estándar

El mapa estándar (también conocido como mapa de Chirikov-Taylor o como mapa estándar de Chirikov ) es un mapa caótico que conserva el área de un cuadrado con un lado ${\ Displaystyle 2 \ pi}$ sobre sí mismo. ^[1] Está construido por una superficie de sección de Poincaré del rotador pateado , y está definido por:

">

Reproducir medios

El espacio de fase del mapa estándar con la variación del parámetro

{\ Displaystyle K}

de 0 a 5,19 (

{\ Displaystyle p_ {n}}

en los ejes y,

{\ Displaystyle \ theta _ {n}}

en ejes x). Observe la aparición de una zona "punteada", una firma de comportamiento caótico .

Órbitas del mapa estándar para K = 0,6.

Órbitas del mapa estándar para K = 0,971635.

Órbitas del mapa estándar para K = 1.2.

Órbitas del mapa estándar para K = 2.0. La gran región verde es la principal región caótica del mapa.

Una sola órbita del mapa estándar para K = 2.0. Primer plano ampliado centrado en

{\ Displaystyle \ theta = 0.282}

, p = 0,666, de ancho / alto total 0,02. Nótese la distribución extremadamente uniforme de la órbita.

{\ Displaystyle p_ {n + 1} = p_ {n} + K \ sin (\ theta _ {n})}

{\ Displaystyle \ theta _ {n + 1} = \ theta _ {n} + p_ {n + 1}}

dónde ${\ Displaystyle p_ {n}}$ y ${\ Displaystyle \ theta _ {n}}$ se toman modulo ${\ Displaystyle 2 \ pi}$ .

Las propiedades del caos del mapa estándar fueron establecidas por Boris Chirikov en 1969.

Modelo físico

Este mapa describe la superficie de sección de Poincaré del movimiento de un sistema mecánico simple conocido como el rotador pateado . El rotador pateado consiste en un palo libre de la fuerza gravitacional, que puede girar sin fricción en un plano alrededor de un eje ubicado en una de sus puntas, y que periódicamente es pateado en la otra punta.

El mapa estándar es una superficie de sección aplicada por una proyección estroboscópica sobre las variables del rotador pateado. ^[1] Las variables ${\ Displaystyle \ theta _ {n}}$ y ${\ Displaystyle p_ {n}}$ determinar respectivamente la posición angular del palo y su momento angular después de la n -ésima patada. La constante K mide la intensidad de las patadas en el rotador pateado.

El rotador pateado se aproxima a los sistemas estudiados en los campos de la mecánica de partículas, la física del acelerador , la física del plasma y la física del estado sólido . Por ejemplo, los aceleradores de partículas circulares aceleran las partículas aplicando patadas periódicas, a medida que circulan en el tubo del rayo. Por lo tanto, la estructura de la viga puede aproximarse mediante el rotor impulsado. Sin embargo, este mapa es interesante desde un punto de vista fundamental en física y matemáticas porque es un modelo muy simple de un sistema conservador que muestra el caos hamiltoniano . Por tanto, es útil estudiar el desarrollo del caos en este tipo de sistema.

Principales propiedades

Para ${\ Displaystyle K = 0}$ el mapa es lineal y solo son posibles las órbitas periódicas y cuasiperiódicas . Cuando se trazan en el espacio de fase (el plano θ– p ), las órbitas periódicas aparecen como curvas cerradas y las órbitas cuasiperiódicas como collares de curvas cerradas cuyos centros se encuentran en otra curva cerrada más grande. El tipo de órbita que se observe depende de las condiciones iniciales del mapa.

La no linealidad del mapa aumenta con K y, con ella, la posibilidad de observar dinámicas caóticas para las condiciones iniciales adecuadas. Esto se ilustra en la figura, que muestra una colección de diferentes órbitas permitidas al mapa estándar para varios valores de ${\ Displaystyle K> 0}$ . Todas las órbitas mostradas son periódicas o cuasiperiódicas, con la excepción de la verde que es caótica y se desarrolla en una gran región del espacio de fase como un conjunto de puntos aparentemente aleatorio. Particularmente notable es la extrema uniformidad de la distribución en la región caótica, aunque esto puede ser engañoso: incluso dentro de las regiones caóticas, hay un número infinito de islas cada vez más pequeñas que nunca se visitan durante la iteración, como se muestra en el primer plano.

Mapa circular

El mapa estándar está relacionado con el mapa circular , que tiene una única ecuación iterada similar:

{\ Displaystyle \ theta _ {n + 1} = \ theta _ {n} + \ Omega -K \ sin (\ theta _ {n})}

en comparación con

{\ Displaystyle \ theta _ {n + 1} = \ theta _ {n} + p_ {n} + K \ sin (\ theta _ {n})}

{\ Displaystyle p_ {n + 1} = \ theta _ {n + 1} - \ theta _ {n}}

para el mapa estándar, las ecuaciones se reordenaron para enfatizar la similitud. En esencia, el mapa circular fuerza el impulso a una constante.

Ver también

Teorema de ushiki

Notas

↑ ^a ^b Ott, Edward (2002). Caos en sistemas dinámicos . Cambridge University Press Nueva, York. ISBN 0-521-01084-5.

Referencias

Chirikov, BV Investigación sobre la teoría de la resonancia no lineal y la estocasticidad . Preprint N 267, Instituto de Física Nuclear, Novosibirsk (1969) (en ruso) [Engl. Transl., CERN Trans. 71 - 40, Ginebra, octubre (1971), traducido por ATSanders]. Enlace
Chirikov, BV Una inestabilidad universal de los sistemas osciladores multidimensionales . Phys. Rep. V.52. p. 263 (1979) Elsvier, Amsterdam.
Lichtenberg, AJ y Lieberman, MA (1992). Dinámica regular y caótica . Springer, Berlín. ISBN 978-0-387-97745-4. Enlace de Springer
Ott, Edward (2002). Caos en sistemas dinámicos . Cambridge University Press Nueva, York. ISBN 0-521-01084-5.
Sprott, Julien Clinton (2003). Análisis de caos y series de tiempo . Prensa de la Universidad de Oxford. ISBN 0-19-850840-9.

enlaces externos

Mapa estándar en MathWorld
Mapa estándar de Chirikov en Scholarpedia
Sitio web dedicado a Boris Chirikov
Applet interactivo de Java que visualiza las órbitas del mapa estándar , por Achim Luhn
Aplicación Mac para el mapa estándar , por James Meiss
Mapa estándar interactivo del applet de Javascript en experiencias.math.cnrs.fr

[Ott-1] Ott, Edward (2002). Caos en sistemas dinámicos . Cambridge University Press Nueva, York. ISBN 0-521-01084-5.

[1]