Límite cuántico

Un límite cuántico en física es un límite en la precisión de la medición a escalas cuánticas. ^[1] Dependiendo del contexto, el límite puede ser absoluto (como el límite de Heisenberg ), o puede que solo se aplique cuando el experimento se realiza con estados cuánticos naturales (por ejemplo, el límite cuántico estándar en interferometría) y se puede eludir con esquemas avanzados de preparación y medición del estado.

Sin embargo, el uso del término límite cuántico estándar o SQL es más amplio que solo interferometría. En principio, cualquier medida lineal de un observable mecánico cuántico de un sistema en estudio que no se conmute consigo mismo en diferentes momentos conduce a tales límites. En resumen, el principio de incertidumbre de Heisenberg es la causa.

Una descripción esquemática de cómo se describe el proceso de medición física en mecánica cuántica

Una explicación más detallada sería que cualquier medición en mecánica cuántica involucra al menos a dos partes, un Objeto y un Metro. El primero es el sistema cuyo observable, digamos , queremos medir. Este último es el sistema que acoplamos al Objeto para inferir el valor del Objeto registrando algún observable elegido , de este sistema, por ejemplo , la posición del puntero en una escala del Metro. Esto, en pocas palabras, es un modelo de la mayoría de las mediciones que ocurren en física, conocidas como mediciones indirectas (véanse las págs. 38–42 de ^[1]${\displaystyle {\hat {x}}}$${\displaystyle {\hat {x}}}$${\displaystyle {\hat {\mathcal {O}}}}$). Entonces, cualquier medida es el resultado de la interacción y eso actúa en ambos sentidos. Por lo tanto, el medidor actúa sobre el objeto durante cada medición, generalmente a través de la cantidad, conjugada con la lectura observable , perturbando así el valor de observable medido y modificando los resultados de las mediciones posteriores. Esto se conoce como acción inversa (cuántica) del multímetro en el sistema que se está midiendo.${\displaystyle {\hat {\mathcal {F}}}}$${\displaystyle {\hat {\mathcal {O}}}}$${\displaystyle {\hat {x}}}$

Al mismo tiempo, la mecánica cuántica prescribe que la lectura observable del medidor debe tener una incertidumbre inherente , aditiva e independiente del valor de la cantidad medida . Este se conoce como imprecisión de medición o ruido de medición . Debido al principio de incertidumbre de Heisenberg , esta imprecisión no puede ser arbitraria y está vinculada a la perturbación de retroacción por la relación de incertidumbre :${\displaystyle \delta {\hat {\mathcal {O}}}}$${\displaystyle {\hat {x}}}$

${\displaystyle \Delta {\mathcal {O}}\Delta {\mathcal {F}}\geqslant \hbar /2\,,}$

donde es una desviación estándar de observable y representa el valor esperado de en cualquier estado cuántico en el que se encuentre el sistema. La igualdad se alcanza si el sistema se encuentra en un estado de mínima incertidumbre . La consecuencia para nuestro caso es que cuanto más precisa sea nuestra medición, es decir , cuanto menor sea , mayor será la perturbación que ejerce el medidor sobre el observable medido . Por tanto, la lectura del contador constará, en general, de tres términos:${\displaystyle \Delta a={\sqrt {\langle {\hat {a}}^{2}\rangle -\langle {\hat {a}}\rangle ^{2}}}}$${\displaystyle a}$${\displaystyle \langle {\hat {a}}\rangle }$${\displaystyle a}$${\displaystyle \Delta {\mathcal {\delta O}}}$${\displaystyle {\hat {x}}}$

${\displaystyle {\hat {\mathcal {O}}}={\hat {x}}_{\mathrm {free} }+\delta {\hat {\mathcal {O}}}+\delta {\hat {x}}_{BA}[{\hat {\mathcal {F}}}]\,,}$

donde es un valor de que el objeto tendría, si no hubiera sido acoplado al medidor, y es la alteración del valor de la causada por la fuerza de acción hacia atrás, . La incertidumbre de este último es proporcional a . Por lo tanto, existe un valor mínimo, o el límite de la precisión que se puede obtener en tal medición, siempre que y no estén correlacionados. ^{[2] [3]}${\displaystyle {\hat {x}}_{\mathrm {free} }}$${\displaystyle {\hat {x}}}$${\displaystyle \delta {\hat {x_{BA}}}[{\hat {\mathcal {F}}}]}$${\displaystyle {\hat {x}}}$${\displaystyle {\hat {\mathcal {F}}}}$${\displaystyle \Delta {\mathcal {F}}\propto \Delta {\mathcal {O}}^{-1}}$${\displaystyle \delta {\hat {\mathcal {O}}}}$${\displaystyle {\hat {\mathcal {F}}}}$

Los términos "límite cuántico" y "límite cuántico estándar" a veces se usan indistintamente. Por lo general, "límite cuántico" es un término general que se refiere a cualquier restricción en la medición debido a efectos cuánticos, mientras que el "límite cuántico estándar" en cualquier contexto dado se refiere a un límite cuántico que es ubicuo en ese contexto.

Ejemplos de

Medida de desplazamiento

Considere un esquema de medición muy simple, que, sin embargo, incorpora todas las características clave de una medición de posición general. En el esquema que se muestra en la Figura, se usa una secuencia de pulsos de luz muy cortos para monitorear el desplazamiento de un cuerpo de sonda . La posición de se prueba periódicamente con intervalo de tiempo . Suponemos una masa lo suficientemente grande como para despreciar el desplazamiento infligido por los pulsos de presión de radiación regular (clásica) en el curso del proceso de medición.${\displaystyle M}$${\displaystyle x}$${\displaystyle M}$${\displaystyle \vartheta }$${\displaystyle M}$

Esquema simplificado de medición óptica de la posición del objeto mecánico.

Luego, cada pulso -ésimo, cuando se refleja, lleva un cambio de fase proporcional al valor de la posición de la masa de prueba en el momento de la reflexión:${\displaystyle j}$${\displaystyle x(t_{j})}$

${\displaystyle {\hat {\phi }}_{j}^{\mathrm {refl} }={\hat {\phi }}_{j}-2k_{p}{\hat {x}}(t_{j})\,,}$

( 1 )

donde , es la frecuencia de la luz, es el número de pulso y es la fase inicial (aleatoria) del -ésimo pulso. Suponemos que el valor medio de todas estas fases es igual a cero , y su incertidumbre cuadrática media (RMS) es igual a .${\displaystyle k_{p}=\omega _{p}/c}$${\displaystyle \omega _{p}}$${\displaystyle j=\dots ,-1,0,1,\dots }$${\displaystyle {\hat {\phi }}_{j}}$${\displaystyle j}$${\displaystyle \langle {\hat {\phi }}_{j}\rangle =0}$${\displaystyle \langle ({\hat {\phi ^{2}}}\rangle -\langle {\hat {\phi }}\rangle ^{2})^{1/2}}$${\displaystyle \Delta \phi }$

Los pulsos reflejados son detectados por un dispositivo sensible a la fase (el detector de fase). La implementación de un detector óptico de fase se puede realizar usando, por ejemplo , un esquema de detección homodino o heterodino (ver la Sección 2.3 en ^[2] y las referencias en el mismo), u otras técnicas de lectura similares.

En este ejemplo, la fase de pulso de luz sirve como lectura observable del medidor. Entonces suponemos que el error de medición de fase introducido por el detector es mucho menor que la incertidumbre inicial de las fases . En este caso, la incertidumbre inicial será la única fuente del error de medición de posición:${\displaystyle {\hat {\phi }}_{j}}$${\displaystyle {\mathcal {O}}}$${\displaystyle {\hat {\phi }}_{j}^{\mathrm {refl} }}$${\displaystyle \Delta \phi }$

${\displaystyle \Delta x_{\mathrm {meas} }={\frac {\Delta \phi }{2k_{p}}}\,.}$

( 2 )

Por conveniencia, renormalizamos Eq. ( 1 ) como el desplazamiento equivalente de la masa de prueba:

${\displaystyle {\tilde {x}}_{j}\equiv -{\frac {{\hat {\phi }}_{j}^{\mathrm {refl} }}{2k_{p}}}={\hat {x}}(t_{j})+{\hat {x}}_{\mathrm {fl} }(t_{j})\,,}$

( 3 )

donde

${\displaystyle {\hat {x}}_{\mathrm {fl} }(t_{j})=-{\frac {{\hat {\phi }}_{j}}{2k_{p}}}}$

son los valores aleatorios independientes con las incertidumbres RMS dadas por la Ec. ( 2 ).

Tras la reflexión, cada pulso de luz patea la masa de prueba, transfiriéndole un impulso de retroceso igual a

${\displaystyle {\hat {p}}_{j}^{\mathrm {after} }-{\hat {p}}_{j}^{\mathrm {before} }={\hat {p}}_{j}^{\mathrm {b.a.} }={\frac {2}{c}}{\hat {\mathcal {W}}}_{j}\,,}$

( 4 )

donde y son los valores del momento de la masa de prueba justo antes y justo después de la reflexión del pulso de luz, y es la energía del pulso -ésimo, que desempeña el papel de retroacción observable del medidor. La mayor parte de esta perturbación se debe a la presión de radiación clásica:${\displaystyle {\hat {p}}_{j}^{\mathrm {before} }}$${\displaystyle {\hat {p}}_{j}^{\mathrm {after} }}$${\displaystyle {\mathcal {W}}_{j}}$${\displaystyle j}$${\displaystyle {\hat {\mathcal {F}}}}$

${\displaystyle \langle {\hat {p}}_{j}^{\mathrm {b.a.} }\rangle ={\frac {2}{c}}{\mathcal {W}}\,,}$

con la energía media de los pulsos. Por lo tanto, se podría descuidar su efecto, ya que podría restarse del resultado de la medición o compensarse con un actuador. La parte aleatoria, que no se puede compensar, es proporcional a la desviación de la energía del pulso:${\displaystyle {\mathcal {W}}}$

${\displaystyle {\hat {p}}^{\mathrm {b.a.} }(t_{j})={\hat {p}}_{j}^{\mathrm {b.a.} }-\langle {\hat {p}}_{j}^{\mathrm {b.a.} }\rangle ={\frac {2}{c}}{\bigl (}{\hat {\mathcal {W}}}_{j}-{\mathcal {W}}{\bigr )}\,,}$

y su RMS inciertamente es igual a

${\displaystyle \Delta p_{\mathrm {b.a.} }={\frac {2\Delta {\mathcal {W}}}{c}}\,,}$

( 5 )

con la incertidumbre RMS de la energía del pulso.${\displaystyle \Delta {\mathcal {W}}}$

Suponiendo que el espejo está libre (lo cual es una buena aproximación si el intervalo de tiempo entre pulsos es mucho más corto que el período de oscilaciones del espejo suspendido ), se puede estimar un desplazamiento adicional causado por la acción hacia atrás del pulso -ésimo que contribuirá a la incertidumbre de la medición posterior por el tiempo del pulso más tarde:${\displaystyle \vartheta \ll T}$${\displaystyle j}$${\displaystyle j+1}$${\displaystyle \vartheta }$

${\displaystyle {\hat {x}}_{\mathrm {b.a.} }(t_{j})={\frac {{\hat {p}}^{\mathrm {b.a.} }(t_{j})\vartheta }{M}}\,.}$

Su incertidumbre será simplemente

${\displaystyle \Delta x_{\mathrm {b.a.} }(t_{j})={\frac {\Delta {p}_{\mathrm {b.a.} }(t_{j})\vartheta }{M}}\,.}$

Si ahora queremos estimar cuánto se ha movido el espejo entre los pulsos y , es decir , su desplazamiento , tendremos que lidiar con tres incertidumbres adicionales que limitan la precisión de nuestra estimación:${\displaystyle j}$${\displaystyle j+1}$ ${\displaystyle \delta {\tilde {x}}_{j+1,j}={\tilde {x}}(t_{j+1})-{\tilde {x}}(t_{j})}$

${\displaystyle \Delta {\tilde {x}}_{j+1,j}={\Bigl [}(\Delta x_{\rm {meas}}(t_{j+1}))^{2}+(\Delta x_{\rm {meas}}(t_{j}))^{2}+(\Delta x_{\rm {b.a.}}(t_{j}))^{2}{\Bigr ]}^{1/2}\,,}$

donde asumimos todas las contribuciones a nuestra incertidumbre de medición estadísticamente independientes y, por lo tanto, obtuvimos la incertidumbre total mediante la suma de las desviaciones estándar. Si además asumimos que todos los pulsos de luz son similares y tienen la misma incertidumbre de fase, entonces .${\displaystyle \Delta x_{\rm {meas}}(t_{j+1})=\Delta x_{\rm {meas}}(t_{j})\equiv \Delta x_{\rm {meas}}=\Delta \phi /(2k_{p})}$

Ahora bien, ¿cuál es el mínimo de esta suma y cuál es el error mínimo que se puede obtener en esta simple estimación? La respuesta se deriva de la mecánica cuántica, si recordamos que la energía y la fase de cada pulso son observables conjugados canónicamente y, por tanto, obedecen a la siguiente relación de incertidumbre:

${\displaystyle \Delta {\mathcal {W}}\Delta \phi \geq {\frac {\hbar \omega _{p}}{2}}\,.}$

Por lo tanto, se sigue de las Ecs. ( 2 y 5 ) que el error de medición de la posición y la perturbación del momento debido a la acción de retroceso también satisfacen la relación de incertidumbre:${\displaystyle \Delta x_{\mathrm {meas} }}$${\displaystyle \Delta p_{\mathrm {b.a.} }}$

${\displaystyle \Delta x_{\mathrm {meas} }\Delta p_{\mathrm {b.a.} }\geq {\frac {\hbar }{2}}\,.}$

Teniendo en cuenta esta relación, la mínima incertidumbre, que debe tener el pulso de luz para no perturbar demasiado el espejo, debe ser igual a ceder para ambos . Por lo tanto, el error de medición de desplazamiento mínimo que prescribe la mecánica cuántica dice:${\displaystyle \Delta x_{\mathrm {meas} }}$${\displaystyle \Delta x_{\mathrm {b.a.} }}$${\displaystyle \Delta x_{\mathrm {min} }={\sqrt {\frac {\hbar \vartheta }{2M}}}}$

${\displaystyle \Delta {\tilde {x}}_{j+1,j}\geqslant {\Bigl [}2(\Delta x_{\rm {meas}})^{2}+{\Bigl (}{\frac {\hbar \vartheta }{2M\Delta x_{\rm {meas}}}}{\Bigr )}^{2}{\Bigr ]}^{1/2}\geqslant {\sqrt {\frac {3\hbar \vartheta }{2M}}}\,.}$

Este es el límite cuántico estándar para dicho procedimiento de 2 pulsos. En principio, si limitamos nuestra medición a solo dos pulsos y no nos preocupamos por perturbar la posición del espejo después, la incertidumbre de la medición del segundo pulso , en teoría, puede reducirse a 0 (cederá, por supuesto, ) y el límite del error de medición de desplazamiento se reducirá a:${\displaystyle \Delta x_{\rm {meas}}(t_{j+1})}$${\displaystyle \Delta p_{\rm {b.a.}}(t_{j+1})\to \infty }$

${\displaystyle \Delta {\tilde {x}}_{SQL}={\sqrt {\frac {\hbar \vartheta }{M}}}\,,}$

que se conoce como el límite cuántico estándar para la medición del desplazamiento de masa libre.

Este ejemplo representa un caso particular simple de una medición lineal . Esta clase de esquemas de medición se puede describir completamente mediante dos ecuaciones lineales de la forma ~ ( 3 ) y ( 4 ), siempre que tanto la incertidumbre de la medición como la perturbación de la acción inversa del objeto ( y en este caso) sean estadísticamente independientes de la prueba. estado cuántico inicial del objeto y satisfacen la misma relación de incertidumbre que el observable medido y su contraparte conjugada canónicamente (la posición y el momento del objeto en este caso).${\displaystyle {\hat {x}}_{\mathrm {fl} }(t_{j})}$${\displaystyle {\hat {p}}^{\mathrm {b.a.} }(t_{j})}$

Uso en óptica cuántica

En el contexto de la interferometría u otras mediciones ópticas, el límite cuántico estándar generalmente se refiere al nivel mínimo de ruido cuántico que se puede obtener sin estados comprimidos . ^[4]

Además, existe un límite cuántico para el ruido de fase , al que solo se puede acceder mediante un láser a altas frecuencias de ruido.

En espectroscopia , la longitud de onda más corta en un espectro de rayos X se llama límite cuántico. ^[5]

Relación engañosa con el límite clásico

Tenga en cuenta que debido a una sobrecarga de la palabra "límite", el límite clásico no es lo opuesto al límite cuántico. En "límite cuántico", "límite" se utiliza en el sentido de una limitación física (por ejemplo, el límite de Armstrong ). En "límite clásico", "límite" se usa en el sentido de un proceso de limitación . (Tenga en cuenta que no existe un límite matemático riguroso simple que recupere completamente la mecánica clásica de la mecánica cuántica, a pesar del teorema de Ehrenfest . Sin embargo, en la formulación del espacio de fase de la mecánica cuántica, tales límites son más sistemáticos y prácticos).

Ver también

• Límite clásico
• Límite de Heisenberg
• Límite ultrarelativista

referencias y notas

1. Braginsky, VB; Khalili, F. Ya. (1992). Medición cuántica . Prensa de la Universidad de Cambridge . ISBN 978-0521484138.
2. Danilishin, SL; Khalili F. Ya. (2012). "Teoría de la medición cuántica en detectores de ondas gravitacionales" . Reseñas vivientes en relatividad (5): 60. arXiv : 1203.1706 . Código bibliográfico : 2012LRR .... 15 .... 5D . doi : 10.12942 / lrr-2012-5 .
3. Chen, Yanbei (2013). "Mecánica cuántica macroscópica: teoría y conceptos experimentales de la optomecánica". J. Phys. Murciélago. Mol. Optar. Phys . 46 : 104001. arXiv : 1302.1924 . Código bibliográfico : 2013JPhB ... 46j4001C . doi : 10.1088 / 0953-4075 / 46/10/104001 .
4. Jaekel, MT; Reynaud, S. (1990). "Límites cuánticos en mediciones interferométricas". Cartas de Europhysics . 13 (4): 301. arXiv : quant-ph / 0101104 . Código Bibliográfico : 1990EL ..... 13..301J . doi : 10.1209 / 0295-5075 / 13/4/003 .
5. Pistón, DS (1936). "La polarización de rayos X de blancos delgados". Revisión física . 49 (4): 275. Bibcode : 1936PhRv ... 49..275P . doi : 10.1103 / PhysRev.49.275 .