Simplex

Para otros usos, consulte Simplex (desambiguación) .

Generalización multidimensional del triángulo

Los cuatro símplex que se pueden representar completamente en el espacio 3D.

En geometría , un simplex (plural: simplexes o simplices ) es una generalización de la noción de triángulo o tetraedro a dimensiones arbitrarias . El símplex se llama así porque representa el politopo más simple posible en cualquier espacio dado.

Por ejemplo,

• un 0-simplex es un punto ,
• un 1-simplex es un segmento de línea ,
• un 2-simplex es un triángulo ,
• un 3-simplex es un tetraedro ,
• un 4-simplex es un 5-celdas .

Específicamente, un k -simplex es un politopo k -dimensional que es el casco convexo de sus k  + 1 vértices . Más formalmente, suponga que los  puntos k + 1 son afinamente independientes , lo que significa que son linealmente independientes . Entonces, el simplex determinado por ellos es el conjunto de puntos${\displaystyle u_{0},\dots ,u_{k}\in \mathbb {R} ^{k}}$${\displaystyle u_{1}-u_{0},\dots ,u_{k}-u_{0}}$

${\displaystyle C=\left\{\theta _{0}u_{0}+\dots +\theta _{k}u_{k}~{\Bigg |}~\sum _{i=0}^{k}\theta _{i}=1{\mbox{ and }}\theta _{i}\geq 0{\mbox{ for }}i=0,\dots ,k\right\}}$

Esta representación en términos de vértices ponderados se conoce como sistema de coordenadas baricéntrico .

Un simplex regular ^[1] es un simplex que también es un politopo regular . Un k -simplex regular se puede construir a partir de un regular ( k  - 1) -simplex conectando un nuevo vértice a todos los vértices originales por la longitud del borde común.

El simplex estándar o simplex de probabilidad ^[2] es el simplex k - 1 dimensional cuyos vértices son los k vectores unitarios estándar, o

${\displaystyle \left\{x\in \mathbb {R} ^{k}:x_{0}+\dots +x_{k-1}=1,x_{i}\geq 0{\text{ for }}i=0,\dots ,k-1\right\}.}$

En topología y combinatoria , es común "pegar" simplices para formar un complejo simplicial . La estructura combinatoria asociada se denomina complejo simplicial abstracto , en cuyo contexto la palabra "simplex" simplemente significa cualquier conjunto finito de vértices.

Historia

El concepto de simplex era conocido por William Kingdon Clifford , quien escribió sobre estas formas en 1886, pero las llamó "límites principales". Henri Poincaré , escribiendo sobre topología algebraica en 1900, los llamó "tetraedros generalizados". En 1902 Pieter Hendrik Schoute describió el concepto primero con el superlativo latino simplicissimum ("más simple") y luego con el mismo adjetivo latino en la forma normal simplex ("simple"). ^[3]

La familia simplex regular es la primera de tres familias de politopos regulares , etiquetadas por Donald Coxeter como α _n , las otras dos son la familia de politopos cruzados , etiquetadas como β _n , y los hipercubos , etiquetados como γ _n . Una cuarta familia, la teselación del espacio n -dimensional por un número infinito de hipercubos , la etiquetó como δ _n . ^[4]

Elementos

El casco convexo de cualquier subconjunto no vacío de los n  + 1 puntos que definen un n -simplex se llama cara del simplex. Los rostros son simples en sí mismos. En particular, el casco convexo de un subconjunto de tamaño m  + 1 (de los n  + 1 puntos de definición) es un m -simplex, llamado m -face del n -simplex. Las caras 0 (es decir, los puntos definitorios en sí mismos como conjuntos de tamaño 1) se denominan vértices (singular: vértice), las caras 1 se denominan aristas , las caras ( n  - 1) se denominan facetas, y el único n -face es el n -simplex completo en sí mismo. En general, el número de m- caras es igual al coeficiente binomial . ^[5] En consecuencia, el número de m- caras de un n -simplex se puede encontrar en la columna ( m  + 1) de la fila ( n  + 1) del triángulo de Pascal . A simplex A es un coface de un simplex B si B es una cara de A . La cara y la faceta pueden tener diferentes significados cuando se describen tipos de simplices en un${\displaystyle {\tbinom {n+1}{m+1}}}$complejo simplicial ; consulte el complejo simplificado para obtener más detalles.

El número de 1 caras (aristas) del n- simple es el n -ésimo número de triángulo , el número de 2 caras del n- simple es el ( n  - 1) número de tetraedro , el número de 3 caras del n -simplex es el ( n  - 2) número de 5 celdas, y así sucesivamente.

n -Elementos simples ^[6]

Δ n	Nombre	Schläfli Coxeter	0- caras (vértices)	1- caras (aristas)	2- caras (caras)	3- caras (celdas)	4- caras	5- caras	6- caras	7- caras	8- caras	9- caras	10- caras	Suma = 2 n +1  - 1
Δ 0	0- simplex ( punto )	()	1											1
Δ 1	1- simplex ( segmento de línea )	{} = () ∨ () = 2 ⋅ ()	2	1										3
Δ 2	2- simplex ( triángulo )	{3} = 3 ⋅ ()	3	3	1									7
Δ 3	3- simplex ( tetraedro )	{3,3} = 4 ⋅ ()	4	6	4	1								15
Δ 4	4- simplex ( 5 celdas )	{3 3 } = 5 ⋅ ()	5	10	10	5	1							31
Δ 5	5- simplex	{3 4 } = 6 ⋅ ()	6	15	20	15	6	1						63
Δ 6	6-simplex	{3 5 } = 7 ⋅ ()	7	21	35	35	21	7	1					127
Δ 7	7-simplex	{3 6 } = 8 ⋅ ()	8	28	56	70	56	28	8	1				255
Δ 8	8- simplex	{3 7 } = 9 ⋅ ()	9	36	84	126	126	84	36	9	1			511
Δ 9	9 simplex	{3 8 } = 10 ⋅ ()	10	45	120	210	252	210	120	45	10	1		1023
Δ 10	10- simplex	{3 9 } = 11 ⋅ ()	11	55	165	330	462	462	330	165	55	11	1	2047

En términos sencillos , un n- simple es una forma simple (un polígono) que requiere n dimensiones. Considere un segmento de línea AB como una "forma" en un espacio unidimensional (el espacio unidimensional es la línea en la que se encuentra el segmento). Se puede colocar un nuevo punto C en algún lugar fuera de la línea. La nueva forma, triángulo ABC , requiere dos dimensiones; no puede caber en el espacio unidimensional original. El triángulo es el 2-simplex, una forma simple que requiere dos dimensiones. Considere un triángulo ABC , una forma en un espacio bidimensional (el plano en el que reside el triángulo). Se puede colocar un nuevo punto D en algún lugar fuera del avión. La nueva forma, tetraedro ABCD, requiere tres dimensiones; no puede caber en el espacio bidimensional original. El tetraedro es el 3-simplex, una forma simple que requiere tres dimensiones. Considere el tetraedro ABCD , una forma en un espacio tridimensional (el espacio tridimensional en el que se encuentra el tetraedro). Se puede colocar un nuevo punto E en algún lugar fuera del espacio tridimensional. La nueva forma ABCDE, llamado 5 celdas, requiere cuatro dimensiones y se llama 4-simplex; no cabe en el espacio tridimensional original. (Tampoco se puede visualizar fácilmente). Esta idea se puede generalizar, es decir, agregar un único punto nuevo fuera del espacio actualmente ocupado, lo que requiere ir a la siguiente dimensión superior para mantener la nueva forma. Esta idea también se puede trabajar hacia atrás: el segmento de línea con el que comenzamos es una forma simple que requiere un espacio unidimensional para sostenerlo; el segmento de recta es el 1-simplex. El segmento de línea en sí se formó comenzando con un solo punto en el espacio de 0 dimensiones (este punto inicial es el 0-simplex) y agregando un segundo punto, lo que requería el aumento al espacio de 1 dimensión.

Más formalmente, un ( n  + 1) -simplex se puede construir como una unión (operador ∨) de un n -simplex y un punto, (). Un ( m  +  n  + 1) -simplex se puede construir como una unión de un m -simplex y un n -simplex. Los dos simples están orientados para ser completamente normales entre sí, con traslación en una dirección ortogonal a ambos. Un 1-simplex es la unión de dos puntos: () ∨ () = 2 ⋅ (). Un 2-simplex general (triángulo escaleno) es la unión de tres puntos: () ∨ () ∨ (). Un triángulo isósceles es la unión de un 1-simplex y un punto: {} ∨ (). Un triángulo equiláteroes 3 ⋅ () o {3}. Un 3-simplex general es la unión de 4 puntos: () ∨ () ∨ () ∨ (). Un 3-simplex con simetría especular se puede expresar como la unión de una arista y dos puntos: {} ∨ () ∨ (). Un 3-simplex con simetría triangular se puede expresar como la unión de un triángulo equilátero y 1 punto: 3. () ∨ () o {3} ∨ (). Un tetraedro regular es 4 ⋅ () o {3,3} y así sucesivamente.

Los números de caras en la tabla anterior son los mismos que en el triángulo de Pascal , sin la diagonal izquierda.

El número total de caras es siempre una potencia de dos menos uno. Esta figura (una proyección del tesseract ) muestra los centroides de las 15 caras del tetraedro.

En algunas convenciones, ^[7] el conjunto vacío se define como un (−1) -simplex. La definición del simplex anterior todavía tiene sentido si n  = −1. Esta convención es más común en aplicaciones a la topología algebraica (como la homología simplicial ) que al estudio de politopos.

Gráficas simétricas de simples simples

Estos polígonos de Petrie (proyecciones ortogonales sesgadas) muestran todos los vértices del simplex regular en un círculo y todos los pares de vértices conectados por aristas.

1	2	3	4	5
6	7	8	9	10
11	12	13	14	15
dieciséis	17	18	19	20

El simplex estándar

El estándar 2-simplex en R ³

El estándar n- simple (o unidad n- simple ) es el subconjunto de R ^{n +1} dado por

${\displaystyle \Delta ^{n}=\left\{(t_{0},\dots ,t_{n})\in \mathbb {R} ^{n+1}~{\Bigg |}~\sum _{i=0}^{n}t_{i}=1{\text{ and }}t_{i}\geq 0{\text{ for }}i=0,\ldots ,n\right\}}$

El simplex Δ ^{n se} encuentra en el hiperplano afín obtenido al eliminar la restricción t _i ≥ 0 en la definición anterior.

Los n  + 1 vértices del n- simple estándar son los puntos e _i ∈ R ^{n +1} , donde

e ₀ = (1, 0, 0,…, 0),

e ₁ = (0, 1, 0,…, 0),

⋮

e _n = (0, 0, 0,…, 1).

Hay un mapa canónico del estándar n- simple a un n- simple arbitrario con vértices ( v ₀ ,…, v _n ) dado por

${\displaystyle (t_{0},\ldots ,t_{n})\mapsto \sum _{i=0}^{n}t_{i}v_{i}}$

Los coeficientes t _i se denominan coordenadas baricéntricas de un punto en el n- simple. Este simplex general a menudo se denomina n -simplex afín , para enfatizar que el mapa canónico es una transformación afín . A veces también se le llama n -simplex afín orientado para enfatizar que el mapa canónico puede preservar o invertir la orientación .

De manera más general, hay un mapa canónico desde el estándar -simplex (con n vértices) a cualquier politopo con n vértices, dado por la misma ecuación (modificando la indexación):${\displaystyle (n-1)}$

${\displaystyle (t_{1},\ldots ,t_{n})\mapsto \sum _{i=1}^{n}t_{i}v_{i}}$

Estas se conocen como coordenadas baricéntricas generalizadas y expresan cada politopo como la imagen de un simplex:${\displaystyle \Delta ^{n-1}\twoheadrightarrow P.}$

Una función comúnmente utilizada desde R ⁿ hasta el interior del estándar -simplex es la función softmax , o función exponencial normalizada; esto generaliza la función logística estándar .${\displaystyle (n-1)}$

Ejemplos de

• Δ ⁰ es el punto 1 en R ¹ .
• Δ ¹ es el segmento de línea que une (1, 0) y (0, 1) en R ² .
• Δ ² es el triángulo equilátero con vértices (1, 0, 0), (0, 1, 0) y (0, 0, 1) en R ³ .
• Δ ³ es el tetraedro regular con vértices (1, 0, 0, 0), (0, 1, 0, 0), (0, 0, 1, 0) y (0, 0, 0, 1) en R ⁴ .

Coordenadas crecientes

Se da un sistema de coordenadas alternativo tomando la suma indefinida :

${\displaystyle {\begin{aligned}s_{0}&=0\\s_{1}&=s_{0}+t_{0}=t_{0}\\s_{2}&=s_{1}+t_{1}=t_{0}+t_{1}\\s_{3}&=s_{2}+t_{2}=t_{0}+t_{1}+t_{2}\\&\;\;\vdots \\s_{n}&=s_{n-1}+t_{n-1}=t_{0}+t_{1}+\cdots +t_{n-1}\\s_{n+1}&=s_{n}+t_{n}=t_{0}+t_{1}+\cdots +t_{n}=1\end{aligned}}}$

Esto produce la presentación alternativa por orden, es decir , como n tuplas no decrecientes entre 0 y 1:

${\displaystyle \Delta _{*}^{n}=\left\{(s_{1},\ldots ,s_{n})\in \mathbb {R} ^{n}\mid 0=s_{0}\leq s_{1}\leq s_{2}\leq \dots \leq s_{n}\leq s_{n+1}=1\right\}.}$

Geométricamente, este es un subconjunto n- dimensional de (dimensión máxima, codimensión 0) en lugar de (codimensión 1). Las facetas, que en el simplex estándar corresponden a una coordenada que desaparece, aquí corresponden a coordenadas sucesivas que son iguales, mientras que el interior corresponde a las desigualdades que se vuelven estrictas (secuencias crecientes).${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{n+1}}$${\displaystyle t_{i}=0,}$${\displaystyle s_{i}=s_{i+1},}$

Una distinción clave entre estas presentaciones es el comportamiento bajo las coordenadas de permutación: el símplex estándar se estabiliza permutando coordenadas, mientras que los elementos de permutación del "símplex ordenado" no lo dejan invariante, ya que permutar una secuencia ordenada generalmente la desordena. De hecho, el simplex ordenado es un dominio fundamental (cerrado) para la acción del grupo simétrico en el n -cube, lo que significa que la órbita del simplex ordenado debajo del n ! Los elementos del grupo simétrico dividen el n -cube en simplices en su mayoría disjuntos (disjuntos excepto por los límites), lo que muestra que este símplex tiene volumen${\displaystyle n!}$${\displaystyle 1/n!}$ Alternativamente, el volumen se puede calcular mediante una integral iterada, cuyos integrandos sucesivos son ${\displaystyle 1,x,x^{2}/2,x^{3}/3!,\dots ,x^{n}/n!}$

Una propiedad adicional de esta presentación es que usa el orden pero no la suma, y ​​por lo tanto se puede definir en cualquier dimensión sobre cualquier conjunto ordenado y, por ejemplo, se puede usar para definir un simplex de dimensión infinita sin problemas de convergencia de sumas.

Proyección sobre el simplex estándar

Especialmente en aplicaciones numéricas de la teoría de la probabilidad, es de interés una proyección sobre el simplex estándar. Dado con entradas posiblemente negativas, el punto más cercano en el símplex tiene coordenadas ${\displaystyle (p_{i})_{i}}$${\displaystyle \left(t_{i}\right)_{i}}$

${\displaystyle t_{i}=\max\{p_{i}+\Delta \,,0\},}$

donde se elige de tal manera que${\displaystyle \Delta }$${\textstyle \sum _{i}\max\{p_{i}+\Delta \,,0\}=1.}$

${\displaystyle \Delta }$se puede calcular fácilmente a partir de la clasificación . ^[8] El enfoque de clasificación requiere complejidad, que se puede mejorar a complejidad mediante algoritmos de búsqueda de medianas . ^[9] Proyectar sobre el simplex es computacionalmente similar a proyectar sobre la pelota.${\displaystyle p_{i}}$${\displaystyle O(n\log n)}$${\displaystyle O(n)}$${\displaystyle \ell _{1}}$

Esquina del cubo

Finalmente, una variante simple es reemplazar "sumando a 1" por "sumando a como máximo 1"; esto aumenta la dimensión en 1, por lo que para simplificar la notación, la indexación cambia:

${\displaystyle \Delta _{c}^{n}=\left\{(t_{1},\ldots ,t_{n})\in \mathbb {R} ^{n}~{\Bigg |}~\sum _{i=1}^{n}t_{i}\leq 1{\text{ and }}t_{i}\geq 0{\text{ for all }}i\right\}.}$

Esto produce un n- simplex como una esquina del n -cube, y es un simplex ortogonal estándar. Este es el simplex utilizado en el método simplex , que se basa en el origen y modela localmente un vértice en un politopo con n facetas.

Coordenadas cartesianas para un simplex regular n- dimensional en R ⁿ

Una forma de escribir un n -simplex regular en R ⁿ es elegir dos puntos para que sean los dos primeros vértices, elegir un tercer punto para formar un triángulo equilátero, elegir un cuarto punto para formar un tetraedro regular, y así sucesivamente. Cada paso requiere ecuaciones satisfactorias que aseguren que cada vértice recién elegido, junto con los vértices elegidos previamente, forme un símplex regular. Hay varios conjuntos de ecuaciones que se pueden escribir y utilizar para este propósito. Estos incluyen la igualdad de todas las distancias entre vértices; la igualdad de todas las distancias desde los vértices hasta el centro del símplex; el hecho de que el ángulo subtendido a través del nuevo vértice por dos vértices elegidos previamente es${\displaystyle \pi /3}$; y el hecho de que el ángulo subtendido a través del centro del símplex por dos vértices cualesquiera es .${\displaystyle \arccos(-1/n)}$

También es posible escribir directamente un n -simplex regular particular en R ⁿ que luego se puede traducir, rotar y escalar como se desee. Una forma de hacerlo es la siguiente. Denote los vectores base de R ⁿ por e ₁ a e _n . Comience con el estándar ( n - 1) -simplex que es el casco convexo de los vectores base. Al agregar un vértice adicional, estos se convierten en una cara de un n- simple regular . El vértice adicional debe estar en la línea perpendicular al baricentro del símplex estándar, por lo que tiene la forma ( α /n ,…, α / n ) para algún número real α . Dado que la distancia al cuadrado entre dos vectores base es 2, para que el vértice adicional forme un n- simpleregular, la distancia al cuadrado entre él y cualquiera de los vectores base también debe ser 2. Esto produce una ecuación cuadrática para α . Resolver esta ecuación muestra que hay dos opciones para el vértice adicional:

${\displaystyle {\frac {1}{n}}\left(1\pm {\sqrt {n+1}}\right)\cdot (1,\dots ,1).}$

Cualquiera de estos, junto con los vectores base estándar, produce un n -simplex regular .

El n -simplex regular anterior no está centrado en el origen. Se puede traducir al origen restando la media de sus vértices. Al cambiar la escala, se le puede dar la longitud del lado de la unidad. Esto da como resultado el simplex cuyos vértices son:

${\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {2}}}\mathbf {e} _{i}-{\frac {1}{n{\sqrt {2}}}}{\bigg (}1\pm {\frac {1}{\sqrt {n+1}}}{\bigg )}\cdot (1,\dots ,1),}$

para y${\displaystyle 1\leq i\leq n}$

${\displaystyle \mp {\frac {1}{\sqrt {2(n+1)}}}\cdot (1,\dots ,1).}$

Tenga en cuenta que aquí se describen dos conjuntos de vértices. Un conjunto se utiliza en los primeros cálculos de coordenadas y en el último cálculo. El otro conjunto reemplaza por y viceversa.${\displaystyle +}$${\displaystyle n}$${\displaystyle -}$${\displaystyle -}$${\displaystyle +}$

Este símplex está inscrito en una hiperesfera de radio .${\displaystyle {\sqrt {n/(2(n+1))}}}$

Un cambio de escala diferente produce un simplex que se inscribe en una unidad de hiperesfera. Cuando se hace esto, sus vértices son

${\displaystyle {\sqrt {1+n^{-1}}}\cdot \mathbf {e} _{i}-n^{-3/2}({\sqrt {n+1}}\pm 1)\cdot (1,\dots ,1),}$

donde y${\displaystyle 1\leq i\leq n}$

${\displaystyle \mp n^{-1/2}\cdot (1,\dots ,1).}$

La longitud del lado de este simplex es .${\textstyle {\sqrt {2(n+1)/n}}}$

Una forma muy simétrica de construir un n- simple regular es usar una representación del grupo cíclico Z _{n +1} por matrices ortogonales . Esta es una matriz Q ortogonal n × n tal que Q ^{n +1} = I es la matriz identidad , pero ninguna potencia menor de Q lo es. La aplicación de las potencias de esta matriz a un vector v apropiado producirá los vértices de un n- simple regular . Para llevar a cabo esto, primero observe que para cualquier matriz ortogonal Q, hay una opción de base en la que Q es una matriz diagonal de bloques

${\displaystyle Q=\operatorname {diag} (Q_{1},Q_{2},\dots ,Q_{k}),}$

donde cada Q _i es ortogonal y 2 × 2 o 1 ÷ 1 . Para que Q tenga el orden n + 1 , todas estas matrices deben tener un orden que divida n + 1 . Por lo tanto, cada Q _i es una matriz de 1 × 1 cuya única entrada es 1 o, si n es impar , −1 ; o es una matriz de 2 × 2 de la forma

${\displaystyle {\begin{pmatrix}\cos {\frac {2\pi \omega _{i}}{n+1}}&-\sin {\frac {2\pi \omega _{i}}{n+1}}\\\sin {\frac {2\pi \omega _{i}}{n+1}}&\cos {\frac {2\pi \omega _{i}}{n+1}}\end{pmatrix}},}$

donde cada ω _i es un número entero entre cero y n inclusive. Una condición suficiente para que la órbita de un punto sea un simplex regular es que las matrices Q _i formen una base para las representaciones reales irreductibles no triviales de Z _{n +1} , y el vector que se está rotando no sea estabilizado por ninguna de ellas.

En términos prácticos, para n incluso esto significa que toda matriz Q _i es 2 × 2 , hay una igualdad de conjuntos

${\displaystyle \{\omega _{1},n+1-\omega _{1},\dots ,\omega _{n/2},n+1-\omega _{n/2}\}=\{1,\dots ,n\},}$

y, para cada Q _i , las entradas de v sobre las que actúa Q _i no son ambas cero. Por ejemplo, cuando n = 4 , una posible matriz es

${\displaystyle {\begin{pmatrix}\cos(2\pi /5)&-\sin(2\pi /5)&0&0\\\sin(2\pi /5)&\cos(2\pi /5)&0&0\\0&0&\cos(4\pi /5)&-\sin(4\pi /5)\\0&0&\sin(4\pi /5)&\cos(4\pi /5)\end{pmatrix}}.}$

Aplicar esto al vector (1, 0, 1, 0) da como resultado el simplex cuyos vértices son

${\displaystyle {\begin{pmatrix}1\\0\\1\\0\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}\cos(2\pi /5)\\\sin(2\pi /5)\\\cos(4\pi /5)\\\sin(4\pi /5)\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}\cos(4\pi /5)\\\sin(4\pi /5)\\\cos(8\pi /5)\\\sin(8\pi /5)\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}\cos(6\pi /5)\\\sin(6\pi /5)\\\cos(2\pi /5)\\\sin(2\pi /5)\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}\cos(8\pi /5)\\\sin(8\pi /5)\\\cos(6\pi /5)\\\sin(6\pi /5)\end{pmatrix}},}$

cada uno de los cuales tiene una distancia √5 de los demás. Cuando n es impar, la condición significa que exactamente uno de los bloques diagonales es 1 × 1 , igual a −1 , y actúa sobre una entrada distinta de cero de v ; mientras que los bloques diagonales restantes, digamos Q ₁ ,…, Q _{( n - 1) / 2} , son 2 × 2 , hay una igualdad de conjuntos

${\displaystyle \left\{\omega _{1},-\omega _{1},\dots ,\omega _{(n-1)/2},-\omega _{n-1)/2}\right\}=\left\{1,\dots ,(n-1)/2,(n+3)/2,\dots ,n\right\},}$

y cada bloque diagonal actúa sobre un par de entradas de v que no son ambas cero. Entonces, por ejemplo, cuando n = 3 , la matriz puede ser

${\displaystyle {\begin{pmatrix}0&-1&0\\1&0&0\\0&0&-1\\\end{pmatrix}}.}$

Para el vector (1, 0, 1 / √ 2 ) , el simplex resultante tiene vértices

${\displaystyle {\begin{pmatrix}1\\0\\1/\surd 2\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}0\\1\\-1/\surd 2\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}-1\\0\\1/\surd 2\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}0\\-1\\-1/\surd 2\end{pmatrix}},}$

cada uno de los cuales tiene una distancia 2 de los demás.

Propiedades geometricas

Volumen

El volumen de un n- simple en un espacio n -dimensional con vértices ( v ₀ ,…, v _n ) es

${\displaystyle \mathrm {Volume} ={\frac {1}{n!}}\left|\det {\begin{pmatrix}v_{1}-v_{0}&&v_{2}-v_{0}&&\cdots &&v_{n}-v_{0}\end{pmatrix}}\right|}$

donde cada columna del determinante n  ×  n es la diferencia entre los vectores que representan dos vértices. ^[10] Esta fórmula es particularmente útil cuando es el origen.${\displaystyle v_{0}}$

Una forma más simétrica de escribirlo es

${\displaystyle \mathrm {Volume} ={1 \over n!}\left|\det {\begin{pmatrix}v_{0}&v_{1}&\cdots &v_{n}\\1&1&\cdots &1\end{pmatrix}}\right|={1 \over n!}\left(\det \left[{\begin{pmatrix}v_{0}^{T}&1\\v_{1}^{T}&1\\\vdots &\vdots \\v_{n}^{T}&1\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}v_{0}&v_{1}&\cdots &v_{n}\\1&1&\cdots &1\end{pmatrix}}\right]\right)^{1/2}\,,}$

donde la última expresión funciona incluso cuando los n -vértices del simple se encuentran en un espacio euclidiano con más de n dimensiones.

Otra forma común de calcular el volumen del simplex es mediante el determinante de Cayley-Menger . También puede calcular el volumen de un simplex incrustado en un espacio de mayor dimensión, por ejemplo, un triángulo en . ^[11]${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$

¡Sin el 1 / n ! es la fórmula para el volumen de un n - paralelootopo . Esto puede entenderse como sigue: Suponga que P es un n -paralelotopo construido sobre la base de . Dada una permutación de , llame a una lista de vértices una ruta n si ${\displaystyle (v_{0},e_{1},\ldots ,e_{n})}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle \sigma }$${\displaystyle \{1,2,\ldots ,n\}}$${\displaystyle v_{0},\ v_{1},\ldots ,v_{n}}$

${\displaystyle v_{1}=v_{0}+e_{\sigma (1)},\ v_{2}=v_{1}+e_{\sigma (2)},\ldots ,v_{n}=v_{n-1}+e_{\sigma (n)}}$

(por lo que hay n !  n- caminos y no depende de la permutación). Las siguientes afirmaciones son válidas:${\displaystyle v_{n}}$

Si P es la unidad n- hipercubo, entonces la unión de los n- simples formados por el casco convexo de cada n- camino es P , y estos símplex son congruentes y por pares no se superponen. ^[12] En particular, el volumen de tal simplex es

${\displaystyle {\frac {\operatorname {Vol} (P)}{n!}}={\frac {1}{n!}}.}$

Si P es un paraleloótopo general, se mantienen las mismas afirmaciones, excepto que ya no es cierto, en la dimensión> 2, que los símplex deben ser congruentes por pares; sin embargo, sus volúmenes siguen siendo iguales, porque el n -parallelotopo es la imagen de la unidad n -hipercubo por el isomorfismo lineal que envía la base canónica de to . Como anteriormente, esto implica que el volumen de un simplex procedente de una n- ruta es:${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$${\displaystyle e_{1},\ldots ,e_{n}}$

${\displaystyle {\frac {\operatorname {Vol} (P)}{n!}}={\frac {\det(e_{1},\ldots ,e_{n})}{n!}}.}$

A la inversa, dado un n -simplex de , se puede suponer que los vectores forman una base de . Considerando el paralelootopo construido a partir de y , se ve que la fórmula anterior es válida para todo simplex.${\displaystyle (v_{0},\ v_{1},\ v_{2},\ldots v_{n})}$${\displaystyle \mathbf {R} ^{n}}$${\displaystyle e_{1}=v_{1}-v_{0},\ e_{2}=v_{2}-v_{1},\ldots e_{n}=v_{n}-v_{n-1}}$${\displaystyle \mathbf {R} ^{n}}$${\displaystyle v_{0}}$${\displaystyle e_{1},\ldots ,e_{n}}$

Finalmente, la fórmula al comienzo de esta sección se obtiene observando que

${\displaystyle \det(v_{1}-v_{0},v_{2}-v_{0},\ldots ,v_{n}-v_{0})=\det(v_{1}-v_{0},v_{2}-v_{1},\ldots ,v_{n}-v_{n-1}).}$

De esta fórmula, se deduce inmediatamente que el volumen bajo un estándar n- simplex (es decir, entre el origen y el simplex en R ^{n +1} ) es

${\displaystyle {1 \over (n+1)!}}$

El volumen de un n- simple regular con longitud de lado unitario es

${\displaystyle {\frac {\sqrt {n+1}}{n!{\sqrt {2^{n}}}}}}$

como se puede ver al multiplicar la fórmula anterior por x ^{n +1} , para obtener el volumen bajo el n -simplex en función de su distancia al vértice x desde el origen, diferenciando con respecto a x , en   (donde el lado n -simplex length es 1), y normalizando por la longitud del incremento , a lo largo del vector normal.${\displaystyle x=1/{\sqrt {2}}}$${\displaystyle dx/{\sqrt {n+1}}}$${\displaystyle (dx/(n+1),\ldots ,dx/(n+1))}$

Ángulos diedros del n-simplex regular

Cualquier  cara de dos ( n - 1) dimensiones de un simplex regular n- dimensional son en sí mismas simples simples regulares ( n  - 1) -dimensionales, y tienen el mismo ángulo diedro de cos ⁻¹ (1 / n ). ^{[13] [14]}

Esto se puede ver si se observa que el centro del símplex estándar es , y los centros de sus caras son permutaciones de coordenadas de . Entonces, por simetría, el vector que apunta de a es perpendicular a las caras. Entonces, los vectores normales a las caras son permutaciones de , a partir de las cuales se calculan los ángulos diedros.${\textstyle \left({\frac {1}{n+1}},\dots ,{\frac {1}{n+1}}\right)}$${\textstyle \left(0,{\frac {1}{n}},\dots ,{\frac {1}{n}}\right)}$${\textstyle \left({\frac {1}{n+1}},\dots ,{\frac {1}{n+1}}\right)}$${\textstyle \left(0,{\frac {1}{n}},\dots ,{\frac {1}{n}}\right)}$${\displaystyle (-n,1,\dots ,1)}$

Simplices con una "esquina ortogonal"

Una "esquina ortogonal" significa aquí que hay un vértice en el que todos los bordes adyacentes son ortogonales por pares. De ello se deduce inmediatamente que todas las caras adyacentes son ortogonales por pares. Tales simples son generalizaciones de triángulos rectángulos y para ellos existe una versión n- dimensional del teorema de Pitágoras :

La suma de los  volúmenes cuadrados ( n - 1) dimensionales de las facetas adyacentes a la esquina ortogonal es igual al  volumen cuadrado ( n - 1) dimensional de la faceta opuesta a la esquina ortogonal.

${\displaystyle \sum _{k=1}^{n}|A_{k}|^{2}=|A_{0}|^{2}}$

donde las facetas son por pares ortogonales entre sí pero no ortogonales a , que es la faceta opuesta a la esquina ortogonal.${\displaystyle A_{1}\ldots A_{n}}$${\displaystyle A_{0}}$

Para un 2-simplex, el teorema es el teorema de Pitágoras para triángulos con un ángulo recto y para un 3-simplex es el teorema de Gua para un tetraedro con una esquina ortogonal.

Relación con el ( n  + 1) -hipercubo

El diagrama de Hasse del entramado de caras de un n- simplex es isomórfico al gráfico de los bordes del ( n  + 1) - hipercubo , con los vértices del hipercubo mapeando cada uno de los n -elementos del simplex, incluyendo el simplex completo y el politopo nulo como los puntos extremos de la celosía (asignados a dos vértices opuestos en el hipercubo). Este hecho se puede utilizar para enumerar de manera eficiente la red de caras del símplex, ya que los algoritmos de enumeración de redes de caras más generales son más costosos computacionalmente.

El n- simple es también la figura del vértice del ( n  + 1) -hipercubo. También es la faceta del ( n  + 1) - ortoplex .

Topología

Topológicamente , un n- simple es equivalente a una n- bola . Cada n- simple es una variedad n- dimensional con esquinas .

Probabilidad

Artículo principal: Distribución categórica

En la teoría de la probabilidad, los puntos del n -simplex estándar en el espacio ( n  + 1) forman el espacio de posibles distribuciones de probabilidad en un conjunto finito que consta de n  + 1 resultados posibles. La correspondencia es la siguiente: Para cada distribución descrita como una tupla ordenada ( n  + 1) de probabilidades cuya suma es (necesariamente) 1, asociamos el punto del símplex cuyas coordenadas baricéntricas son precisamente esas probabilidades. Es decir, el k- ésimo vértice del simplex se asigna para tener la k- ésima probabilidad de la  tupla ( n + 1) como su coeficiente baricéntrico. Esta correspondencia es un homeomorfismo afín.

Compuestos

Dado que todos los simples son auto-duales, pueden formar una serie de compuestos;

• Dos triángulos forman un hexagrama {6/2}.
• Dos tetraedros forman un compuesto de dos tetraedros o stella octangula .
• Dos 5 celdas forman un compuesto de dos 5 celdas en cuatro dimensiones.

Topología algebraica

En topología algebraica , los simples se utilizan como bloques de construcción para construir una clase interesante de espacios topológicos llamados complejos simpliciales . Estos espacios se construyen a partir de simples pegados entre sí de forma combinatoria . Los complejos simpliciales se utilizan para definir un cierto tipo de homología llamada homología simplicial .

Un conjunto finito de k -simplexes incrustados en un subconjunto abierto de R ⁿ se llama cadena k afín . Los símplex de una cadena no tienen por qué ser únicos; pueden ocurrir con multiplicidad . En lugar de usar la notación de conjunto estándar para denotar una cadena afín, la práctica estándar es usar signos más para separar a cada miembro del conjunto. Si algunos de los símplex tienen la orientación opuesta , estos están precedidos por un signo menos. Si algunos de los símplex aparecen en el conjunto más de una vez, estos tienen el prefijo de un número entero. Por tanto, una cadena afín toma la forma simbólica de una suma con coeficientes enteros.

Tenga en cuenta que cada faceta de un n -simplex es un afín ( n  - 1) -simplex y, por lo tanto, el límite de un n -simplex es una  cadena afín ( n - 1). Por lo tanto, si denotamos un simplex afín positivamente orientado como

${\displaystyle \sigma =[v_{0},v_{1},v_{2},\ldots ,v_{n}]}$

con el denotando los vértices, entonces el límite de σ es la cadena${\displaystyle v_{j}}$${\displaystyle \partial \sigma }$

${\displaystyle \partial \sigma =\sum _{j=0}^{n}(-1)^{j}[v_{0},\ldots ,v_{j-1},v_{j+1},\ldots ,v_{n}].}$

De esta expresión, y de la linealidad del operador de límite, se deduce que el límite del límite de un símplex es cero:

${\displaystyle \partial ^{2}\sigma =\partial \left(\sum _{j=0}^{n}(-1)^{j}[v_{0},\ldots ,v_{j-1},v_{j+1},\ldots ,v_{n}]\right)=0.}$

Del mismo modo, el límite de la frontera de una cadena es cero: .${\displaystyle \partial ^{2}\rho =0}$

De manera más general, un simplex (y una cadena) se pueden incrustar en una variedad mediante un mapa suave y diferenciable . En este caso, tanto la convención de suma para denotar el conjunto como la operación de límite conmutan con la incrustación . Es decir,${\displaystyle f\colon \mathbb {R} ^{n}\to M}$

${\displaystyle f\left(\sum \nolimits _{i}a_{i}\sigma _{i}\right)=\sum \nolimits _{i}a_{i}f(\sigma _{i})}$

donde son los números enteros que denotan orientación y multiplicidad. Para el operador de límite , uno tiene:${\displaystyle a_{i}}$${\displaystyle \partial }$

${\displaystyle \partial f(\rho )=f(\partial \rho )}$

donde ρ es una cadena. La operación de límite conmuta con el mapeo porque, al final, la cadena se define como un conjunto y poco más, y la operación de conjunto siempre conmuta con la operación de mapa (por definición de mapa).

Un mapa continuo de un espacio topológico X se denomina frecuentemente n- simple singular . (Un mapa generalmente se llama "singular" si no tiene alguna propiedad deseable como la continuidad y, en este caso, el término pretende reflejar el hecho de que el mapa continuo no necesita ser una incrustación). ^[15]${\displaystyle f:\sigma \to X}$

Geometría algebraica

Dado que la geometría algebraica clásica permite hablar de ecuaciones polinomiales, pero no de desigualdades, el estándar algebraico n-simplex se define comúnmente como el subconjunto del  espacio afín ( n + 1) -dimensional, donde todas las coordenadas suman 1 (omitiendo así el parte de la desigualdad). La descripción algebraica de este conjunto es

${\displaystyle \Delta ^{n}:=\left\{x\in \mathbb {A} ^{n+1}~{\Bigg |}~\sum _{i=1}^{n+1}x_{i}=1\right\},}$

que equivale al esquema -descripción teórica con${\displaystyle \Delta _{n}(R)=\operatorname {Spec} (R[\Delta ^{n}])}$

${\displaystyle R[\Delta ^{n}]:=R[x_{1},\ldots ,x_{n+1}]\left/\left(1-\sum x_{i}\right)\right.}$

el anillo de funciones regulares en el n- simple algebraico (para cualquier anillo ).${\displaystyle R}$

Utilizando las mismas definiciones que para el n- simple clásico , los n -simplicios para diferentes dimensiones n se ensamblan en un objeto simple , mientras que los anillos se ensamblan en un objeto cosimplicial (en la categoría de esquemas o anillos, ya que la cara y la degeneración los mapas son todos polinomios).${\displaystyle R[\Delta ^{n}]}$${\displaystyle R[\Delta ^{\bullet }]}$

Los n -simplices algebraicos se utilizan en la teoría K superior y en la definición de grupos Chow superiores .

Aplicaciones

Esta sección necesita expansión . Puedes ayudar agregando más . ( Diciembre de 2009 )

• En estadística , los simples son espacios muestrales de datos de composición y también se utilizan para trazar cantidades que suman 1, como proporciones de subpoblaciones, como en un diagrama ternario .
• En estadística industrial , los simples surgen en la formulación de problemas y en la solución algorítmica. En el diseño del pan, el productor debe combinar levadura, harina, agua, azúcar, etc. En tales mezclas , solo importan las proporciones relativas de los ingredientes: para una mezcla de pan óptima, si la harina se duplica, la levadura debe duplicarse. Este problema de mezcla a menudo se formula con restricciones normalizadas, de modo que los componentes no negativos suman uno, en cuyo caso la región factible forma un símplex. La calidad de las mezclas de pan se puede estimar usando la metodología de superficie de respuesta , y luego se puede calcular un máximo local usando un método de programación no lineal , como la programación cuadrática secuencial .^[dieciséis]
• En la investigación de operaciones , los problemas de programación lineal pueden resolverse mediante el algoritmo simplex de George Dantzig .
• En diseño geométrico y gráficos por computadora , muchos métodos primero realizan triangulaciones simples del dominio y luego ajustan polinomios de interpolación a cada símplex. ^[17]
• En química , los hidruros de la mayoría de los elementos del bloque p pueden parecerse a un simplex si se conecta cada átomo. El neón no reacciona con el hidrógeno y, como tal, es un punto , el flúor se une con un átomo de hidrógeno y forma un segmento de línea, el oxígeno se une con dos átomos de hidrógeno en una forma doblada que se asemeja a un triángulo, el nitrógeno reacciona para formar un tetraedro y el carbono forma un estructura que se asemeja a un diagrama de Schlegelde las 5 celdas. Esta tendencia continúa para los análogos más pesados ​​de cada elemento, así como si el átomo de hidrógeno se reemplaza por un átomo de halógeno .
• En algunos enfoques de la gravedad cuántica , como el cálculo de Regge y las triangulaciones dinámicas causales , los simples se utilizan como bloques de construcción de discretizaciones del espacio-tiempo; es decir, construir variedades simpliciales .

Ver también

• Geometría de Aitchison
• Gráfico completo
• Triangulación dinámica causal
• Geometría de distancia
• Triangulación de Delaunay
• Tetraedro de la colina
• Otros n - politopos regulares
  • Hipercubo
  • Politopo cruzado
  • Tesseract
• Hipersimplex
• Politopo
• Ley de metcalfe
• Lista de politopos regulares
• Schläfli orthoscheme
• Algoritmo simplex : un método para resolver problemas de optimización con desigualdades.
• Complejo simplicial
• Homología simplicial
• Conjunto simple
• Parcela ternaria
• 3 esferas

Notas

1. Elte, EL (2006) [1912]. "IV. Politopo semirregular de cinco dimensiones". Los politopos semirregulares de los hiperespacios . Simon y Schuster. ISBN 978-1-4181-7968-7.
2. Boyd y Vandenberghe 2004
3. Miller, Jeff, "Simplex" , primeros usos conocidos de algunas de las palabras de las matemáticas , consultado el 8 de enero de 2018
4. Coxeter 1973 , págs. 120-124, §7.2.
5. Coxeter 1973 , p. 120.
6. Sloane, N. J. A. (ed.). "Secuencia A135278 (triángulo de Pascal con su borde izquierdo eliminado)" . La enciclopedia en línea de secuencias de enteros . Fundación OEIS.
7. Kozlov, Dimitry, Topología algebraica combinatoria , 2008, Springer-Verlag (Serie: algoritmos y computación en matemáticas)
8. Yunmei Chen; Xiaojing Ye (2011). "Proyección sobre un simplex". arXiv : 1101.6081 [ math.OC ].
9. MacUlan, N .; De Paula, GG (1989). "Un algoritmo de búsqueda de la mediana de tiempo lineal para proyectar un vector en el simplex de n". Cartas de investigación operativa . 8 (4): 219. doi : 10.1016 / 0167-6377 (89) 90064-3 .
10. Se puede encontrar una derivación de una fórmula muy similar en Stein, P. (1966). "Una nota sobre el volumen de un simplex". American Mathematical Monthly . 73 (3): 299-301. doi : 10.2307 / 2315353 . JSTOR 2315353 . 
11. Colins, Karen D. "Determinante de Cayley-Menger" . MathWorld .
12. Cada n -path que corresponde a una permutaciónes la imagen de la n -pathpor la isometría afín que envíaa, y cuyo lineal parte partidosapor todo  i . por lo tanto, cada dos n caminos son isométricos, al igual que sus cascos convexos; esto explica la congruencia de los símplex. Para mostrar las otras afirmaciones, basta con señalar que el interior del simplex determinado por el n- caminoes el conjunto de puntos, cony${\displaystyle \scriptstyle \sigma }$${\displaystyle \scriptstyle v_{0},\ v_{0}+e_{1},\ v_{0}+e_{1}+e_{2},\ldots v_{0}+e_{1}+\cdots +e_{n}}$${\displaystyle \scriptstyle v_{0}}$${\displaystyle \scriptstyle v_{0}}$${\displaystyle \scriptstyle e_{i}}$${\displaystyle \scriptstyle e_{\sigma (i)}}$${\displaystyle \scriptstyle v_{0},\ v_{0}+e_{\sigma (1)},\ v_{0}+e_{\sigma (1)}+e_{\sigma (2)}\ldots v_{0}+e_{\sigma (1)}+\cdots +e_{\sigma (n)}}$${\displaystyle \scriptstyle v_{0}+(x_{1}+\cdots +x_{n})e_{\sigma (1)}+\cdots +(x_{n-1}+x_{n})e_{\sigma (n-1)}+x_{n}e_{\sigma (n)}}$${\displaystyle \scriptstyle 0<x_{i}<1}$${\displaystyle \scriptstyle x_{1}+\cdots +x_{n}<1.}$Por tanto, los componentes de estos puntos con respecto a cada base permutada correspondiente están estrictamente ordenados en orden decreciente. Eso explica por qué los símplex no se superponen. El hecho de que la unión de los símplex es la unidad completa n -hipercubo también se sigue, reemplazando las desigualdades estrictas anteriores por " ". Los mismos argumentos también son válidos para un paralelootopo general, excepto la isometría entre los símplex.${\displaystyle \scriptstyle \leq }$
13. Parques, Harold R .; Wills, Dean C. (octubre de 2002). "Un cálculo elemental del ángulo diedro del regular n- simple". American Mathematical Monthly . 109 (8): 756–8. doi : 10.2307 / 3072403 . JSTOR 3072403 . 
14. Testamentos, Harold R .; Parks, Dean C. (junio de 2009). Conexiones entre combinatoria de permutaciones y algoritmos y geometría (PhD). La Universidad Estatal de Oregon. hdl : 1957/11929 .
15. Lee, John M. (2006). Introducción a los colectores topológicos . Saltador. págs. 292–3. ISBN 978-0-387-22727-6.
16. Cornell, John (2002). Experimentos con mezclas: diseños, modelos y análisis de datos de mezclas (tercera edición). Wiley. ISBN 0-471-07916-2.
17. Vondran, Gary L. (abril de 1998). "Técnicas de interpolación tetraédrica radial y podada" (PDF) . Informe técnico de HP . HPL-98-95: 1–32.

Referencias

• Rudin, Walter (1976). Principios del análisis matemático (3ª ed.). McGraw-Hill. ISBN 0-07-054235-X. (Consulte el capítulo 10 para obtener una revisión simple de las propiedades topológicas).
• Tanenbaum, Andrew S. (2003). "§2.5.3". Redes informáticas (4ª ed.). Prentice Hall. ISBN 0-13-066102-3.
• Devroye, Luc (1986). Generación variable aleatoria no uniforme . ISBN 0-387-96305-7. Archivado desde el original el 5 de mayo de 2009.
• Coxeter, HSM (1973). Politopos regulares (3ª ed.). Dover. ISBN 0-486-61480-8.
  • págs. 120-121, §7.2. ver ilustración 7-2 A
  • pag. 296, Tabla I (iii): Politopos regulares, tres politopos regulares en n dimensiones ( n  ≥ 5)
• Weisstein, Eric W. "Simplex" . MathWorld .
• Boyd, Stephen ; Vandenberghe, Lieven (2004). Optimización convexa . Prensa de la Universidad de Cambridge. ISBN 978-1-107-39400-1.Como PDF

enlaces externos

• Olshevsky, George. "Símplex" . Glosario de hiperespacio . Archivado desde el original el 4 de febrero de 2007.

v t mi Politopos regulares y uniformes convexos fundamentales en dimensiones 2–10
Familia	Un n	B n	Yo 2 (p) / D n	E 6 / E 7 / E 8 / F 4 / G 2	H n
Polígono regular	Triángulo	Cuadrado	p-gon	Hexágono	Pentágono
Poliedro uniforme	Tetraedro	Octaedro • Cubo	Demicubo		Dodecaedro • Icosaedro
Policoron uniforme	Pentacoron	16 celdas • Tesseract	Demitesseract	24 celdas	120 celdas • 600 celdas
5 politopos uniformes	5 simplex	5-ortoplex • 5-cubo	5-demicubo
6 politopos uniformes	6-simplex	6 ortoplex • 6 cubos	6-demicubo	1 22 • 2 21
7 politopos uniformes	7-simplex	7-ortoplex • 7-cubo	7-demicubo	1 32 • 2 31 • 3 21
Politopo uniforme de 8	8 simplex	8 ortoplex • 8 cubos	8-demicubo	1 42 • 2 41 • 4 21
9 politopos uniformes	9 simplex	9-ortoplex • 9-cubo	9-demicubo
Politopo uniforme 10	10-simplex	10-ortoplex • 10-cubo	10-demicubo
Uniforme n - politopo	n - simplex	n - ortoplejo • n - cubo	n - demicube	1 k2 • 2 k1 • k 21	n - politopo pentagonal
Temas: familias Polytope • politopo regular • Lista de politopos regulares y compuestos