Estrella desplegada

---

En geometría computacional , el despliegue en estrella de un poliedro convexo es una red obtenida cortando el poliedro a lo largo de geodésicas (caminos más cortos) a través de sus caras. También se le ha llamado el diseño interno del poliedro, o el despliegue de Alexandrov en honor a Aleksandr Danilovich Aleksandrov , quien lo consideró por primera vez. ^[1]

Más detalladamente, el despliegue de la estrella se obtiene a partir de un poliedro eligiendo un punto de partida en la superficie de , en posición general , lo que significa que hay una única geodésica más corta desde cada vértice de . ^{[2] [3] [4]} El polígono de estrella se obtiene cortando la superficie a lo largo de estas geodésicas y desplegando la superficie de corte resultante en un plano . La forma resultante forma un polígono simple en el plano. ^{[2] [3]}${\ Displaystyle P}$${\ Displaystyle p}$${\ Displaystyle P}$${\ Displaystyle p}$${\ Displaystyle P}$${\ Displaystyle P}$

El despliegue de estrellas puede usarse como base para algoritmos de tiempo polinomial para varios otros problemas que involucran geodésicas en poliedros convexos. ^{[2] [3]}

El despliegue en estrella debe distinguirse de otra forma de cortar un poliedro convexo en una red poligonal simple, el despliegue de la fuente . El despliegue de la fuente corta el poliedro en puntos que tienen múltiples geodésicas igualmente cortas hasta el punto base dado , y forma un polígono en su centro, preservando las geodésicas de . En cambio, la estrella que se despliega corta el poliedro a lo largo de las geodésicas y forma un polígono con múltiples copias de en sus vértices. ^[3] A pesar de sus nombres, el despliegue de la fuente siempre produce un polígono en forma de estrella , pero el despliegue de la estrella no. ^[1]${\ Displaystyle p}$${\ Displaystyle p}$${\ Displaystyle p}$${\ Displaystyle p}$

También se han estudiado las generalizaciones del despliegue de la estrella usando un geodésico o cuasigeodésico en lugar de un solo punto base. ^{[5] [6]} Otra generalización usa un solo punto base y un sistema de geodésicas que no son necesariamente las geodésicas más cortas. ^[7]

Ni el despliegue de la estrella ni el despliegue de la fuente restringen sus cortes a los bordes del poliedro. Es un problema abierto si cada poliedro se puede cortar y desplegar en un polígono simple usando solo cortes a lo largo de sus bordes. ^[3]

---