En teoría de números , las conjeturas de Stark , introducidas por Stark ( 1971 , 1975 , 1976 , 1980 ) y luego expandidas por Tate ( 1984 ), dan información conjetural sobre el coeficiente del término principal en la expansión de Taylor de una función L de Artin asociada. con una extensión de Galois K / k de campos numéricos algebraicos . Las conjeturas generalizan la fórmula analítica del número de clase.expresando el coeficiente principal de la serie de Taylor para la función zeta de Dedekind de un campo numérico como el producto de un regulador relacionado con las unidades S del campo y un número racional . Cuando K / k es una extensión abeliana y el orden de desaparición de la función L en s = 0 es uno, Stark refinó su conjetura, prediciendo la existencia de ciertas unidades S, llamadas unidades Stark . Rubin ( 1996 ) y Cristian Dumitru Popescu dieron extensiones de esta refinada conjetura a órdenes superiores de desaparición.
Formulación
Las conjeturas de Stark, en la forma más general, predicen que el coeficiente principal de una función L de Artin es el producto de un tipo de regulador, el regulador Stark , con un número algebraico . Cuando la extensión es abeliana y el orden de desaparición de una función L en s = 0 es uno, la conjetura refinada de Stark predice la existencia de las unidades Stark, cuyas raíces generan extensiones de Kummer de K que son abelianas sobre el campo base k (y no solo abeliano sobre K , como implica la teoría de Kummer). Como tal, este refinamiento de su conjetura tiene implicaciones teóricas para resolver el duodécimo problema de Hilbert . Además, es posible calcular unidades de Stark en ejemplos específicos, lo que permite verificar la veracidad de su refinada conjetura y proporciona una importante herramienta computacional para generar extensiones abelianas de campos numéricos. De hecho, algunos algoritmos estándar para calcular extensiones abelianas de campos numéricos implican producir unidades Stark que generan las extensiones (ver más abajo).
Cálculo
Las conjeturas de primer orden cero se utilizan en versiones recientes del sistema de álgebra computacional PARI / GP para calcular campos de clases de Hilbert de campos de números totalmente reales, y las conjeturas proporcionan una solución al duodécimo problema de Hilbert, que desafió a los matemáticos a mostrar cómo los campos de clases pueden construido sobre cualquier campo numérico mediante los métodos de análisis complejo .
Progreso
La conjetura principal de Stark ha sido probada en varios casos especiales, incluido el caso en el que el carácter que define la función L toma solo valores racionales. Excepto cuando el campo base es el campo de los números racionales o un campo cuadrático imaginario , las conjeturas abelianas de Stark aún no se han probado en los campos numéricos y se ha avanzado más en los campos funcionales de una variedad algebraica .
Manin ( 2004 ) relacionó las conjeturas de Stark con la geometría no conmutativa de Alain Connes . [1] Esto proporciona un marco conceptual para estudiar las conjeturas, aunque por el momento no está claro si las técnicas de Manin darán la prueba real.
Dasgupta y Kakde han logrado avances recientes. [1]
Notas
Referencias
- Burns, David; Sands, Jonathan; Salomón, David, eds. (2004), Conjeturas de Stark: trabajo reciente y nuevas direcciones , Contemporary Mathematics, 358 , Providence, RI: American Mathematical Society , doi : 10.1090 / conm / 358 , ISBN 978-0-8218-3480-0, MR 2090725 , archivado desde el original el 26 de abril de 2012
- Manin, Yuri Ivanovich (2004), "Multiplicación real y geometría no conmutativa (ein Alterstraum)", en Piene, Ragni; Laudal, Olav Arnfinn (eds.), The legacy of Niels Henrik Abel , Berlín, Nueva York: Springer-Verlag , págs. 685–727, arXiv : math / 0202109 , Bibcode : 2002math ... 2109M , ISBN 978-3-540-43826-7, MR 2077591
- Popescu, Cristian D. (1999), "Sobre una conjetura refinada de Stark para campos de función", Compositio Mathematica , 116 (3): 321–367, doi : 10.1023 / A: 1000833610462 , ISSN 0010-437X , MR 1691163
- Rubin, Karl (1996), "A Stark conjeture over Z for abelian L-functions with multiple ceros" , Annales de l'Institut Fourier , 46 (1): 33-62, doi : 10.5802 / aif.1505 , ISSN 0373- 0956 , MR 1385509
- Stark, Harold M. (1971), "Valores de funciones L en s = 1. I. Funciones L para formas cuadráticas", Advances in Mathematics , 7 (3): 301–343, doi : 10.1016 / S0001- 8708 (71) 80009-9 , ISSN 0001-8708 , MR 0289429
- Stark, Harold M. (1975), "Funciones L en s = 1. II. Funciones L de Artin con caracteres racionales", Advances in Mathematics , 17 (1): 60-92, doi : 10.1016 / 0001-8708 ( 75) 90087-0 , ISSN 0001-8708 , Sr. 0382194
- Stark, HM (1977), "Campos de clase y formas modulares de peso uno", en Serre, Jean-Pierre ; Zagier, DB (eds.), Modular Functions of One Variable V: Proceedings International Conference, Universidad de Bonn, Sonderforschungsbereich Theoretische Mathematik, julio de 1976 , Lecture Notes in Math, 601 , Berlín, Nueva York: Springer-Verlag , págs. 277– 287, doi : 10.1007 / BFb0063951 , ISBN 978-3-540-08348-1, MR 0450243
- Stark, Harold M. (1976), "Funciones L en s = 1. III. Campos totalmente reales y el duodécimo problema de Hilbert", Advances in Mathematics , 22 (1): 64-84, doi : 10.1016 / 0001-8708 ( 76) 90138-9 , ISSN desde 0001 hasta 8708 , MR 0437501
- Stark, Harold M. (1980), "Funciones L en s = 1. IV. Primeras derivadas en s = 0", Advances in Mathematics , 35 (3): 197-235, doi : 10.1016 / 0001-8708 (80 ) 90049-3 , ISSN 0001-8708 , MR 0563924
- Tate, John (1984), "Les conjectures de Stark sur les fonctions L d'Artin en s = 0" , Programación matemática , Progreso en matemáticas, Boston, MA: Birkhäuser Boston, 47 (1-3): 143-153, doi : 10.1007 / BF01580857 , ISBN 978-0-8176-3188-8, MR 0782485
enlaces externos
- Hayes, David R. (1999), Conferencias sobre las conjeturas de Stark , archivado desde el original el 4 de febrero de 2012CS1 maint: URL no apta ( enlace )