En geometría algebraica real , Krivine-Stengle Positivstellensatz (alemán para " teorema del lugar positivo ") caracteriza polinomios que son positivos en un conjunto semialgebraico , que está definido por sistemas de desigualdades de polinomios con coeficientes reales , o más generalmente, coeficientes de cualquier campo cerrado real .
Puede considerarse como un análogo real del Nullstellensatz de Hilbert (que se refiere a ceros complejos de ideales polinomiales), y esta analogía está en el origen de su nombre. Fue probado por el matemático francés Jean-Louis Krivine y luego redescubierto por el canadiense Gilbert Stengle .
Sea R un campo cerrado real , y F = { f 1 , f 2 , ..., f m } y G = { g 1 , g 2 , ..., g r } conjuntos finitos de polinomios sobre R en n variables. Sea W el conjunto semialgebraico
donde Σ 2 [ X 1 , ..., X n ] es el conjunto de polinomios de suma de cuadrados . En otras palabras, P ( F , G ) = C + I , donde C es el cono generado por F (es decir, el subsuelo de R [ X 1 , ..., X n ] generado por F y cuadrados arbitrarios) e I es el ideales generado por G .
El Positivstellensatz débil es la siguiente variante del Positivstellensatz . Sea R un campo cerrado real y F , G y H subconjuntos finitos de R [ X 1 , ..., X n ]. Deje C sea el cono generado por F , y I el ideal generado por G . Luego
(A diferencia de Nullstellensatz , la forma "débil" en realidad incluye la forma "fuerte" como un caso especial, por lo que la terminología es un nombre inapropiado).