El Nullstellensatz de Hilbert (alemán para "teorema de ceros", o más literalmente, "teorema del locus cero", ver Satz ) es un teorema que establece una relación fundamental entre geometría y álgebra . Esta relación es la base de la geometría algebraica , una rama de las matemáticas . Relaciona conjuntos algebraicos con ideales en anillos polinomiales sobre campos algebraicamente cerrados . Esta relación fue descubierta por David Hilbert, quien demostró el Nullstellensatz y varios otros teoremas relacionados importantes que llevan su nombre (como el teorema de la base de Hilbert ).
Formulación
Sea k un campo (como los números racionales ) y K una extensión de campo algebraicamente cerrado (como los números complejos ). Considere el anillo polinomial y dejar que ser un ideales en este anillo. El conjunto algebraico V ( I ) definida por este ideal consiste en todos los n -tuplas x = ( x 1 , ..., x n ) en K n tal que f ( x ) = 0 para todos f en I . Nullstellensatz de Hilbert establece que si p es algún polinomio enque anula en el conjunto V algebraica ( I ), es decir p ( x ) = 0 para todo x en V ( I ), entonces existe un número natural r tales que p r es en I .
Un corolario inmediato es el débil Nullstellensatz : el idealcontiene 1 si y solo si los polinomios en I no tienen ceros comunes en K n . También puede formularse de la siguiente manera: si I es un ideal adecuado enentonces V ( I ) no puede estar vacío , es decir, existe un cero común para todos los polinomios en el ideal en cada extensión algebraicamente cerrada de k . Esta es la razón del nombre del teorema, que puede demostrarse fácilmente a partir de la forma "débil" utilizando el truco de Rabinowitsch . El supuesto de considerar ceros comunes en un campo algebraicamente cerrado es esencial aquí; por ejemplo, los elementos del ideal propio ( X 2 + 1) en no tienen un cero común en
Con la notación común en la geometría algebraica, el Nullstellensatz también se puede formular como
para todo ideal J . Aquí,denota el radical de J y I ( T ) es el ideal de todos los polinomios que se desvanecen en el conjunto U .
De esta manera, obtenemos una correspondencia biyectiva de inversión de orden entre los conjuntos algebraicos en K n y los ideales radicales deDe hecho, de manera más general, se tiene una conexión de Galois entre subconjuntos del espacio y subconjuntos del álgebra, donde " cierre de Zariski " y "radical del ideal generado" son los operadores de cierre .
Como ejemplo particular, considere un punto . Luego. Más generalmente,
Por el contrario, todo ideal máximo del anillo polinomial (tenga en cuenta que está algebraicamente cerrado) tiene la forma para algunos .
Como otro ejemplo, un subconjunto algebraico W en K n es irreducible (en la topología de Zariski) si y solo si es un ideal primordial.
Prueba y generalización
Hay muchas pruebas conocidas del teorema. Una demostración usa el lema de Zariski , que afirma que si un campo se genera finitamente como un álgebra asociativa sobre un campo k , entonces es una extensión de campo finito de k (es decir, también se genera finitamente como un espacio vectorial ). Aquí hay un bosquejo de esta prueba. [1]
Dejar ( k campo algebraicamente cerrado), I un ideal de A, y V los ceros comunes de I en. Claramente,. Dejar. Luego por algún ideal primordial en A . Dejar y un ideal máximo en . Por el lema de Zariski,es una extensión finita de k ; por tanto, es k ya que k es algebraicamente cerrado. Dejar ser las imágenes de bajo el mapa natural . Resulta que y .
El Nullstellensatz también se sigue trivialmente de un desarrollo sistemático de los anillos de Jacobson , en los que un ideal radical es una intersección de ideales máximos. Dejarsea un anillo de Jacobson. Sies un finitamente generado R -algebra , entonceses un anillo de Jacobson. Además, si es un ideal máximo, entonces es un ideal máximo de R, y es un campo de extensión finito de .
Otra generalización afirma que un morfismo de esquemas fielmente plano localmente de tipo finito con X cuasi-compacto tiene una cuasi-sección , es decir, existeafín y fielmente plano y cuasi-finito sobre X junto con un morfismo X
Nullstellensatz efectivo
En todas sus variantes, el Nullstellensatz de Hilbert afirma que algún polinomio g pertenece o no a un ideal generado, digamos, por f 1 , ..., f k ; tenemos g = f r en la versión fuerte, g = 1 en la forma débil. Esto significa la existencia o no existencia de polinomios g 1 , ..., g k tales que g = f 1 g 1 + ... + f k g k . Las demostraciones habituales del Nullstellensatz no son constructivas, no efectivas, en el sentido de que no dan ninguna forma de calcular la g i .
Por tanto, es una pregunta bastante natural preguntarse si existe una forma eficaz de calcular g i (y el exponente r en la forma fuerte) o de demostrar que no existen. Para resolver este problema, basta con proporcionar un límite superior al grado total de g i : dicho límite reduce el problema a un sistema finito de ecuaciones lineales que puede resolverse mediante técnicas habituales de álgebra lineal . Cualquier límite superior de este tipo se denomina Nullstellensatz efectivo .
Un problema relacionado es el problema de pertenencia ideal , que consiste en probar si un polinomio pertenece a un ideal. También para este problema, se proporciona una solución mediante un límite superior en el grado de g i . Una solución general del problema de la membresía ideal proporciona un Nullstellensatz efectivo, al menos para la forma débil.
En 1925, Grete Hermann dio un límite superior para el problema de pertenencia ideal que es doblemente exponencial en el número de variables. En 1982, Mayr y Meyer dieron un ejemplo donde g i tiene un grado que es al menos doble exponencial, mostrando que cada límite superior general para el problema de pertenencia ideal es doblemente exponencial en el número de variables.
Dado que la mayoría de los matemáticos de la época asumieron que el Nullstellensatz efectivo era al menos tan difícil como la membresía ideal, pocos matemáticos buscaron un límite mejor que el doble exponencial. En 1987, sin embargo, W. Dale Brownawell dio un límite superior para el Nullstellensatz efectivo que es simplemente exponencial en el número de variables. [2] La demostración de Brownawell se basó en técnicas analíticas válidas sólo en la característica 0, pero, un año después, János Kollár dio una demostración puramente algebraica, válida en cualquier característica, de un límite ligeramente mejor.
En el caso del débil Nullstellensatz, el límite de Kollár es el siguiente: [3]
- Sean f 1 , ..., f s polinomios en n ≥ 2 variables, de grado total d 1 ≥ ... ≥ d s . Si existen polinomios g i tales que f 1 g 1 + ... + f s g s = 1 , entonces pueden elegirse de manera que
- Este límite es óptimo si todos los grados son mayores que 2.
Si d es el máximo de los grados de f i , este límite puede simplificarse a
El resultado de Kollár ha sido mejorado por varios autores. Al 14 de octubre de 2012[actualizar], la mejor mejora, debido a M. Sombra es [4]
Su salto mejora el de Kollár tan pronto como al menos dos de los grados involucrados son inferiores a 3.
Nullstellensatz proyectivo
Podemos formular una cierta correspondencia entre ideales homogéneos de polinomios y subconjuntos algebraicos de un espacio proyectivo, llamado Nullstellensatz proyectivo , que es análogo al afín. Para hacer eso, introducimos algunas notaciones. Dejar El ideal homogéneo,
se llama el ideal homogéneo máximo (ver también ideal irrelevante ). Como en el caso afín, dejamos: para un subconjuntoy un ideal homogéneo I de R ,
Por queremos decir: para todas las coordenadas homogéneas de un punto de S tenemos. Esto implica que las componentes homogéneas de f también son cero en S y, por tanto, quees un ideal homogéneo. Equivalentemente,es el ideal homogénea generada por polinomios homogéneos f que se desvanecen en S . Ahora, para cualquier ideal homogéneo, por el habitual Nullstellensatz, tenemos:
y así, como en el caso afín, tenemos: [5]
- Existe una correspondencia uno a uno que invierte el orden entre los ideales radicales homogéneos adecuados de R y los subconjuntos de de la forma La correspondencia está dada por y
Analítica Nullstellensatz
El Nullstellensatz también es válido para los gérmenes de funciones holomórficas en un punto de n- espacio complejo Precisamente, para cada subconjunto abierto dejar denotar el anillo de funciones holomorfas en U ; luegoes una gavilla en El tallo En, digamos, se puede demostrar que el origen es un anillo local noetheriano que es un dominio de factorización único .
Si es un germen representado por una función holomorfa , luego deja ser la clase de equivalencia del conjunto
donde dos subconjuntos se consideran equivalentes si para algún vecindario U de 0. Nota es independiente de la elección del representante Por cada ideal dejar denotar para algunos generadores de yo . Está bien definido; es decir, es independiente de la elección de los generadores.
Para cada subconjunto , dejar
Es fácil ver eso es un ideal de y eso Si en el sentido comentado anteriormente.
El analítico Nullstellensatz luego establece: [6] para cada ideal,
en el que el lado izquierdo es el radical del yo .
Ver también
- Positivstellensatz de Stengle
- Diferencial Nullstellensatz
- Nullstellensatz combinatorio
- Lema de Artin-Tate
- Real radical
- Serie de potencia restringida # Álgebra de Tate , un análogo del nullstellensatz de Hilbert que se aplica a las álgebras de Tate.
Notas
- ^ Atiyah – MacDonald 1969 , cap. 7
- ^ Brownawell, W. Dale (1987), "Límites para los grados en el Nullstellensatz", Ann. de Matemáticas. , 126 (3): 577–591, doi : 10.2307 / 1971361 , MR 0916719
- ^ Kollár, János (1988), "Sharp Effective Nullstellensatz" (PDF) , Journal of the American Mathematical Society , 1 (4): 963–975, doi : 10.2307 / 1990996 , MR 0944576 , archivado desde el original (PDF) en 2014 -03-03 , recuperado 10/14/2012
- ^ Sombra, Martín (1999), "A Sparse Effective Nullstellensatz", Advances in Applied Mathematics , 22 (2): 271-295, arXiv : alg-geom / 9710003 , doi : 10.1006 / aama.1998.0633 , MR 1659402
- ^ Esta formulación proviene de Milne, geometría algebraica [1] y difiere de Hartshorne 1977 , cap. Yo, ejercicio 2.4
- ^ Huybrechts , Proposición 1.1.29.
Referencias
- JM Almira , Nullstellensatz revisitado , Rend. Sem. Estera. Univ. Pol. Torino - Vol. 65 (3) (2007) 365-369
- M. Atiyah , IG Macdonald , Introducción al álgebra conmutativa , Addison-Wesley , 1994. ISBN 0-201-40751-5
- Shigeru Mukai (2003). Introducción a invariantes y módulos . Estudios de Cambridge en matemáticas avanzadas. 81 . William Oxbury (trad.). pag. 82. ISBN 0-521-80906-1. CS1 maint: parámetro desalentado ( enlace )
- David Eisenbud , Álgebra conmutativa con miras a la geometría algebraica , Nueva York: Springer-Verlag, 1999.
- Hartshorne, Robin (1977), Geometría Algebraica , Textos de Posgrado en Matemáticas , 52 , Nueva York: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-90244-9, MR 0463157
- Huybrechts, Daniel (2005). Geometría compleja: una introducción . Saltador. ISBN 3-540-21290-6.