En matemáticas , un álgebra topológica es un álgebra y al mismo tiempo un espacio topológico , donde las estructuras algebraicas y topológicas son coherentes en un sentido específico.
Definición
Un álgebra topológica sobre un campo topológico es un espacio vectorial topológico junto con una multiplicación bilineal
- ,
que gira en un álgebra sobrey es continuo en un sentido definido. Por lo general, la continuidad de la multiplicación se expresa mediante uno de los siguientes requisitos (no equivalentes):
- continuidad conjunta : [1] para cada vecindario de cero hay barrios de cero y tal que (en otras palabras, esta condición significa que la multiplicación es continua como un mapa entre espacios topológicos ), o
- continuidad del estereotipo : [2] para cada conjunto totalmente acotado y para cada vecindario de cero hay un barrio de cero tal que y , o
- continuidad separada : [3] para cada elemento y para cada vecindario de cero hay un barrio de cero tal que y .
(Ciertamente, la continuidad conjunta implica la continuidad del estereotipo, y la continuidad del estereotipo implica una continuidad separada). En el primer caso se llama " álgebra topológica con multiplicación continua conjunta ", y en el último, " con multiplicación continua por separado ".
Un álgebra topológica asociativa unital se denomina (a veces) anillo topológico .
Historia
El término fue acuñado por David van Dantzig ; aparece en el título de su tesis doctoral (1931).
Ejemplos de
- 1. Las álgebras de Fréchet son ejemplos de álgebras topológicas asociativas con multiplicación continua conjunta.
- 2. Las álgebras de Banach son casos especiales de álgebras de Fréchet .
- 3. Las álgebras de estereotipos son ejemplos de álgebras topológicas asociativas con multiplicación continua de estereotipos.
Notas
enlaces externos
Referencias
- Beckenstein, E .; Narici, L .; Suél, C. (1977). Álgebras topológicas . Amsterdam: Holanda Septentrional. ISBN 9780080871356.
- Akbarov, SS (2003). "Dualidad de Pontryagin en la teoría de espacios vectoriales topológicos y en álgebra topológica". Revista de Ciencias Matemáticas . 113 (2): 179–349. doi : 10.1023 / A: 1020929201133 . S2CID 115297067 .
- Mallios, A. (1986). Álgebras topológicas . Amsterdam: Holanda Septentrional. ISBN 9780080872353.
- Balachandran, VK (2000). Álgebras topológicas . Amsterdam: Holanda Septentrional. ISBN 9780080543086.
- Fragoulopoulou, M. (2005). Álgebras topológicas con involución . Amsterdam: Holanda Septentrional. ISBN 9780444520258.