La paradoja de Stokes

En la ciencia del flujo de fluidos , la paradoja de Stokes es el fenómeno de que no puede haber un flujo progresivo de un fluido alrededor de un disco en dos dimensiones; o, de manera equivalente, el hecho de que no existe una solución de estado estacionario no trivial para las ecuaciones de Stokes alrededor de un cilindro infinitamente largo. Esto se opone al caso tridimensional, donde el método de Stokes proporciona una solución al problema del flujo alrededor de una esfera. ^{[1] [2]}

Derivación

El vector de velocidad del fluido se puede escribir en términos de la función de la corriente como${\displaystyle \mathbf {u} }$ ${\displaystyle \psi }$

${\displaystyle \mathbf {u} =\left({\frac {\partial \psi }{\partial y}},-{\frac {\partial \psi }{\partial x}}\right).}$

La función de corriente en un problema de flujo de Stokes satisface la ecuación biarmónica . ^[3] Al considerar el plano -como el plano complejo , el problema puede resolverse utilizando métodos de análisis complejo . En este enfoque, ¿ es la parte real o imaginaria de${\displaystyle \psi }$${\displaystyle (x,y)}$${\displaystyle \psi }$

${\displaystyle {\bar {z}}f(z)+g(z)}$. ^[4]

Aquí , donde está la unidad imaginaria , y son funciones holomorfas fuera del disco. Tomaremos la parte real sin perder la generalidad . Ahora se introduce la función , definida por . se puede escribir como , o (usando los derivados de Wirtinger ). Esto se calcula para ser igual a${\displaystyle z=x+iy}$${\displaystyle i}$${\displaystyle {\bar {z}}=x-iy}$${\displaystyle f(z),g(z)}$${\displaystyle u}$${\displaystyle u=u_{x}+iu_{y}}$${\displaystyle u}$${\displaystyle u=-2i{\frac {\partial \psi }{\partial {\bar {z}}}}}$${\displaystyle {\frac {1}{2}}iu={\frac {\partial \psi }{\partial {\bar {z}}}}}$

${\displaystyle {\frac {1}{2}}iu=f(z)+z{\bar {f\prime }}(z)+{\bar {g\prime }}(z).}$

Sin pérdida de generalidad, se puede suponer que el disco es el disco unitario , que consta de todos los números complejos z de valor absoluto menor o igual a 1.

Las condiciones de contorno son:

${\displaystyle \lim _{z\to \infty }u=1,}$

${\displaystyle u=0,}$

siempre que , ^{[1] [5]} y representando las funciones como serie Laurent : ^[6]${\displaystyle |z|=1}$${\displaystyle f,g}$

${\displaystyle f(z)=\sum _{n=-\infty }^{\infty }f_{n}z^{n},\quad g(z)=\sum _{n=-\infty }^{\infty }g_{n}z^{n},}$

la primera condición implica para todos .${\displaystyle f_{n}=0,g_{n}=0}$${\displaystyle n\geq 2}$

Usando la forma polar de resultados en . Después de derivar la forma de serie de u , sustituyéndola junto con algunos índices y cambiando algunos índices, la segunda condición de frontera se traduce en${\displaystyle z}$${\displaystyle z^{n}=r^{n}e^{in\theta },{\bar {z}}^{n}=r^{n}e^{-in\theta }}$${\displaystyle r=1}$

${\displaystyle \sum _{n=-\infty }^{\infty }e^{in\theta }\left(f_{n}+(2-n){\bar {f}}_{2-n}+(1-n){\bar {g}}_{1-n}\right)=0.}$

Dado que las funciones trigonométricas complejas componen un conjunto linealmente independiente , se deduce que todos los coeficientes de la serie son cero. Examinar estas condiciones para cada después de tener en cuenta la condición en el infinito muestra que y son necesariamente de la forma${\displaystyle e^{in\theta }}$${\displaystyle n}$${\displaystyle f}$${\displaystyle g}$

${\displaystyle f(z)=az+b,\quad g(z)=-bz+c,}$

donde es un número imaginario (opuesto a su propio conjugado complejo ), y y son números complejos. Sustituir esto en da el resultado de que globalmente, obligando a ambos y a ser cero. Por lo tanto, no puede haber movimiento; la única solución es que el cilindro esté en reposo en relación con todos los puntos del fluido.${\displaystyle a}$${\displaystyle b}$${\displaystyle c}$${\displaystyle u}$${\displaystyle u=0}$${\displaystyle u_{x}}$${\displaystyle u_{y}}$

Resolución

La paradoja es causada por la validez limitada de la aproximación de Stokes, como se explica en la crítica de Oseen : la validez de las ecuaciones de Stokes se basa en que el número de Reynolds es pequeño, y esta condición no puede ser válida para distancias arbitrariamente grandes . ^{[7] [2]}${\displaystyle r}$

Se derivó una solución correcta para un cilindro usando las ecuaciones de Oseen , y las mismas ecuaciones conducen a una aproximación mejorada de la fuerza de arrastre en una esfera . ^{[8] [9]}

Ver también

• Aproximación de Oseen
• Ley de Stokes

Referencias

1. Lamb, Horace (1945). Hidrodinámica (Sexta ed.). Nueva York: Publicaciones de Dover. págs.  602–604 .
2. Van Dyke, Milton (1975). Métodos de perturbación en mecánica de fluidos . Prensa parabólica.
3. Cordero, Horacio (1945). Hidrodinámica (Sexta ed.). Nueva York: Publicaciones de Dover. págs.  602 .
4. Weisstein, Eric W. (2002). Enciclopedia Concisa de Matemáticas CRC . Prensa CRC. ISBN 1584883472.
5. Cordero, Horacio (1945). Hidrodinámica (Sexta ed.). Nueva York: Publicaciones de Dover. págs.  615 .
6. Sarason, Donald (1994). Notas sobre la teoría de funciones complejas . Berkeley, California.
7. Cordero, Horacio (1945). Hidrodinámica (Sexta ed.). Nueva York: Publicaciones de Dover. págs.  608–609 .
8. Cordero, Horacio (1945). Hidrodinámica (Sexta ed.). Nueva York: Publicaciones de Dover. págs.  609–616 .
9. Goldstein, Sydney (1965). Desarrollos modernos en dinámica de fluidos . Publicaciones de Dover.