En el análisis complejo de una y varias variables complejas , las derivadas de Wirtinger (a veces también llamadas operadores de Wirtinger [1] ), que llevan el nombre de Wilhelm Wirtinger, quien las introdujo en 1927 en el curso de sus estudios sobre la teoría de funciones de varias variables complejas , son parciales. operadores diferenciales de primer orden que se comportan de manera muy similar a las derivadas ordinarias con respecto a una variable real , cuando se aplican a funciones holomorfas , funciones antiholomorfas o funciones simplemente diferenciablesen dominios complejos . Estos operadores permiten la construcción de un cálculo diferencial para tales funciones que es completamente análogo al cálculo diferencial ordinario para funciones de variables reales . [2]
Notas históricas
Primeros días (1899-1911): obra de Henri Poincaré
Los derivados de Wirtinger se utilizaron en análisis complejos al menos ya en el artículo ( Poincaré 1899 ), como lo señalaron brevemente Cherry y Ye (2001 , p. 31) y Remmert (1991 , págs. 66-67). [3] De hecho, en el tercer párrafo de su artículo de 1899, [4] Henri Poincaré primero define la variable compleja eny su complejo conjugado de la siguiente manera
Luego escribe la ecuación que define las funciones él llama biharmonique , [5] previamente escrito usando derivadas parciales con respecto a las variables reales con que van de 1 a , exactamente de la siguiente manera [6]
Esto implica que usó implícitamente la definición 2 a continuación: para ver esto es suficiente comparar las ecuaciones 2 y 2 'de ( Poincaré 1899 , p. 112). Aparentemente, este artículo no fue notado por los primeros investigadores en la teoría de funciones de varias variables complejas : en los artículos de Levi-Civita (1905) , Levi (1910) (y Levi 1911 ) y de Amoroso (1912) todos los diferenciales parciales fundamentales Los operadores de la teoría se expresan directamente utilizando derivadas parciales con respecto a las partes real e imaginaria de las variables complejas involucradas. En el extenso estudio de Osgood (1966) (publicado por primera vez en 1913), [7] las derivadas parciales con respecto a cada variable compleja de una función holomórfica de varias variables complejas parecen entenderse como derivadas formales : de hecho, cuando Osgood expresa el operador pluriharmonic [8] y el operador Levi , sigue la práctica establecida de Amoroso , Levi y Levi-Civita .
La obra de Dimitrie Pompeiu en 1912 y 1913: una nueva formulación
Según Henrici (1993 , p. 294), Dimitrie Pompeiu dio un nuevo paso en la definición del concepto : en el trabajo ( Pompeiu 1912 ), dada una función diferenciable valorada compleja (en el sentido de análisis real ) de una variable compleja definido en la vecindad de un punto dado él define la derivada areolar como el siguiente límite
dónde es el límite de un disco de radiocontenido enteramente en el dominio de la definición dees decir, su círculo delimitador . [9] Evidentemente, esta es una definición alternativa de la derivada de Wirtinger con respecto a la variable conjugada compleja : [10] es más general, ya que, como señaló Henrici (1993 , p. 294), el límite puede existir para funciones que ni siquiera son diferenciables en[11] Según Fichera (1969 , p. 28), la primera en identificar la derivada areolar como una derivada débil en el sentido de Sobolev fue Ilia Vekua . [12] En su siguiente artículo, Pompeiu (1913) utiliza este concepto recién definido para introducir su generalización de la fórmula integral de Cauchy , la ahora llamada fórmula Cauchy-Pompeiu .
El trabajo de Wilhelm Wirtinger
La primera introducción sistemática de las derivadas de Wirtinger parece debida a Wilhelm Wirtinger en el artículo Wirtinger 1926 con el fin de simplificar los cálculos de cantidades que ocurren en la teoría de funciones de varias variables complejas : como resultado de la introducción de estos operadores diferenciales , la forma de todos los operadores diferenciales comúnmente utilizados en la teoría, como el operador de Levi y el operador de Cauchy-Riemann , se simplifican considerablemente y, en consecuencia, son más fáciles de manejar. El artículo está escrito deliberadamente desde un punto de vista formal, es decir, sin dar una derivación rigurosa de las propiedades deducidas.
Definicion formal
A pesar de su uso ubicuo, [13] parece que no hay un texto que enumere todas las propiedades de los derivados de Wirtinger: sin embargo, referencias bastante completas son el curso corto sobre análisis complejo multidimensional de Andreotti (1976 , pp. 3-5), [14 ] la monografía de Gunning & Rossi (1965 , págs. 3-6), [15] y la monografía de Kaup & Kaup (1983 , pág. 2,4) [16] que se utilizan como referencias generales en este y los siguientes secciones.
Funciones de una variable compleja
Definición 1. Considere el plano complejo Las derivadas de Wirtinger se definen como los siguientes operadores diferenciales parciales lineales de primer orden:
Claramente, el dominio natural de definición de estos operadores diferenciales parciales es el espacio de C 1 {\ Displaystyle C ^ {1}} funciones en un dominio pero, dado que estos operadores son lineales y tienen coeficientes constantes , pueden extenderse fácilmente a todos los espacios de funciones generalizadas .
Funciones de n > 1 variables complejas
Definición 2. Considere el espacio euclidiano en el campo complejo Las derivadas de Wirtinger se definen como los siguientes operadores diferenciales parciales lineales de primer orden:
En cuanto a las derivadas de Wirtinger para funciones de una variable compleja, el dominio natural de definición de estos operadores diferenciales parciales es nuevamente el espacio de C 1 {\ Displaystyle C ^ {1}} funciones en un dominio y nuevamente, dado que estos operadores son lineales y tienen coeficientes constantes , pueden extenderse fácilmente a todos los espacios de funciones generalizadas .
Propiedades básicas
En la presente sección y en las siguientes se asume que es un vector complejo y que dónde son vectores reales , con n ≥ 1: también se supone que el subconjunto puede pensarse como un dominio en el espacio euclidiano real o en su contraparte del complejo isomorfo Todas las demostraciones son consecuencias fáciles de la definición 1 y la definición 2 y de las propiedades correspondientes de las derivadas (ordinarias o parciales ).
Linealidad
Lema 1. Si y son números complejos , entonces para las siguientes igualdades se mantienen
Regla del producto
Lema 2. Si entonces para la regla del producto se mantiene
Esta propiedad implica que las derivadas de Wirtinger son derivaciones desde el punto de vista del álgebra abstracta , exactamente como lo son las derivadas ordinarias .
Cadena de reglas
Esta propiedad toma dos formas diferentes respectivamente para funciones de una y varias variables complejas : para el caso n > 1, para expresar la regla de la cadena en su generalidad completa es necesario considerar dos dominios y y dos mapas y tener requisitos de suavidad natural . [17]
Funciones de una variable compleja
Lema 3.1 Si y entonces la regla de la cadena se mantiene
Funciones de n > 1 variables complejas
Lema 3.2 Si y entonces para la siguiente forma de la regla de la cadena es válida
Conjugación
Lema 4. Si entonces para las siguientes igualdades se mantienen
Ver también
- Función CR
- Complejo Dolbeault
- Operador Dolbeault
- Función pluriharmónica
Notas
- ^ Ver referencias Fichera 1986 , p. 62 y Kracht & Kreyszig 1988 , p. 10.
- ^ Algunas de las propiedades básicas de las derivadas de Wirtinger son las mismas que las propiedades que caracterizan a las derivadas ordinarias (o parciales)y se utilizan para la construcción del cálculo diferencial habitual.
- ↑ La referencia a la obra Poincaré 1899 de Henri Poincaré es precisamente enunciada por Cherry & Ye (2001) , mientras que Reinhold Remmert no cita ninguna referencia para sustentar su afirmación.
- ^ Véase la referencia ( Poincaré 1899 , págs. 111-114)
- ^ Estas funciones son precisamente funciones pluriarmónicas , y el operador diferencial lineal que las define, es decir, el operador en la ecuación 2 de ( Poincaré 1899 , p. 112), es exactamente el operador pluriarmónico n - dimensional .
- ^ Ver ( Poincaré 1899 , p. 112), ecuación 2 ': tenga en cuenta que, en todo el documento, el símbolose usa para significar una diferenciación parcial con respecto a una variable dada , en lugar del símbolo ahora común ∂.
- ^ La edición de Dover corregidadel documento ( Osgood 1913 ) contiene mucha información histórica importante sobre el desarrollo temprano de la teoría de funciones de varias variables complejas y, por lo tanto, es una fuente útil.
- ↑ Véase Osgood (1966 , págs. 23-24): curiosamente, denomina ecuaciones de Cauchy-Riemann a este conjunto de ecuaciones.
- ↑ Ésta es la definición dada por Henrici (1993 , p. 294) en su aproximación a la obra de Pompeiu : como señala Fichera (1969 , p. 27), la definición original de Pompeiu (1912) no requiere que el dominio de integración sea un circulo . Consulte la entrada derivada areolar para obtener más información.
- ^ Consulte la sección " Definición formal " de esta entrada.
- ^ Ver problema 2 en Henrici 1993 , p. 294 para un ejemplo de tal función.
- ↑ Véase también el excelente libro de Vekua (1962 , p. 55), Teorema 1.31: Si la derivada generalizada L pag ( Ω ) {\ Displaystyle L_ {p} (\ Omega)} , p> 1, entonces la función tiene casi todas partes enuna derivada en el sentido de Pompeiu , siendo esta última igual a la derivada generalizada en el sentido de Sobolev .
- ↑ Con o sin la atribución del concepto a Wilhelm Wirtinger : ver, por ejemplo, la conocida monografía Hörmander 1990 , p. 1,23.
- ↑ En las conferencias de este curso, Aldo Andreotti utiliza las propiedades de los derivados de Wirtinger para demostrar el cierre del álgebra de funciones holomorfas bajo ciertas operaciones : este propósito es común a todas las referencias citadas en esta sección.
- ↑ Este es un trabajo clásico sobre la teoría de funciones de varias variables complejas que trata principalmente con susaspectos teóricos de haz : sin embargo, en las secciones introductorias, se introducen las derivadas de Wirtinger y algunas otras herramientas analíticas y se describe su aplicación a la teoría.
- ^ En este trabajo, los autores prueban algunas de las propiedades de los derivados de Wirtinger también para el caso general de funciones : en este único aspecto, su enfoque es diferente al adoptado por los otros autores citados en este apartado, y quizás más completo.
- ^ Ver Kaup y Kaup 1983 , p. 4 y también Gunning 1990 , p. 5: Gunning considera el caso general de C 1 {\ Displaystyle C ^ {1}} funciones pero solo para p = 1. Referencias Andreotti 1976 , p. 5 y Gunning y Rossi 1965 , p. 6, como ya se señaló, considere solo mapas holomórficos con p = 1: sin embargo, las fórmulas resultantes son formalmente muy similares.
Referencias
Referencias históricas
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- Levi, Eugenio Elia (1911), "Sulle ipersuperficie dello spazio a 4 dimensioni che possono essere frontiera del campo di esistenza di una funzione analitica di due variabili complesse", Annali di Matematica Pura ed Applicata , s. III (en italiano), XVIII (1): 69–79, doi : 10.1007 / BF02420535 , JFM 42.0449.02. " Sobre las hipersuperficies del espacio de 4 dimensiones que puede ser el límite del dominio de existencia de una función analítica de dos variables complejas " (traducción al inglés del título) es otro artículo importante en la teoría de funciones de varias variables complejas , investigando más la teoría comenzada en ( Levi 1910 ).
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Referencias científicas
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- Martinelli, Enzo (1984), Introduzione elementare alla teoria delle funzioni di variabili complesse con particolare riguardo alle rappresentazioni integrali , Contributi del Centro Linceo Interdisciplinare di Scienze Matematiche e Loro Applicazioni (en italiano), 67 , Roma: Accademia Linceiionale de , pp. 236 + II, archivado desde el original el 27 de septiembre de 2011 , consultado el 24 de agosto de 2010. " Introducción elemental a la teoría de funciones de variables complejas con especial atención a las representaciones integrales " (traducción al inglés del título) son las notas de un curso, publicado por la Accademia Nazionale dei Lincei , impartido por Martinelli cuando era " Professore Linceo " .
- Remmert, Reinhold (1991), Theory of Complex Functions , Graduate Texts in Mathematics, 122 (Cuarta edición corregida de 1998), Nueva York-Berlín-Heidelberg-Barcelona-Hong Kong-Londres-Milán-París-Singapur-Tokio: Springer Verlag , págs. Xx + 453, ISBN 0-387-97195-5, MR 1084167 , Zbl 0.780,30001ISBN 978-0-387-97195-7 . Un libro de texto sobre análisis complejo que incluye muchas notas históricas sobre el tema.
- Severi, Francesco (1958), Lezioni sulle funzioni analitiche di più variabili complesse - Tenute nel 1956–57 all'Istituto Nazionale di Alta Matematica en Roma (en italiano), Padua: CEDAM - Casa Editrice Dott. Antonio Milani, págs. XIV + 255, Zbl 0094.28002. Apuntes de un curso impartido por Francesco Severi en el Istituto Nazionale di Alta Matematica (que en la actualidad lleva su nombre), que contiene apéndices de Enzo Martinelli, Giovanni Battista Rizza y Mario Benedicty . Una traducción al inglés del título dice: - " Conferencias sobre funciones analíticas de varias variables complejas - Conferencista en 1956–57 en el Istituto Nazionale di Alta Matematica en Roma ".