Para un movimiento ondulatorio puro en dinámica de fluidos , la velocidad de deriva de Stokes es la velocidad promedio cuando se sigue una parcela de fluido específica a medida que viaja con el flujo de fluido . Por ejemplo, una partícula que flota en la superficie libre de las ondas de agua , experimenta una velocidad de deriva de Stokes neta en la dirección de propagación de la onda .
De manera más general, la velocidad de deriva de Stokes es la diferencia entre la velocidad de flujo lagrangiana promedio de una parcela de fluido y la velocidad de flujo euleriana promedio del fluido en una posición fija. Este fenómeno no lineal lleva el nombre de George Gabriel Stokes , quien derivó expresiones para esta deriva en su estudio de 1847 sobre las ondas del agua .
La deriva de Stokes es la diferencia en las posiciones finales, después de una cantidad de tiempo predefinida (generalmente un período de onda ), según se deriva de una descripción en las coordenadas lagrangianas y eulerianas . La posición final en la descripción lagrangiana se obtiene siguiendo una parcela de fluido específica durante el intervalo de tiempo. La posición final correspondiente en la descripción euleriana se obtiene integrando la velocidad del flujo en una posición fija, igual a la posición inicial en la descripción lagrangiana, durante el mismo intervalo de tiempo.
La velocidad de deriva de Stokes es igual a la deriva de Stokes dividida por el intervalo de tiempo considerado. A menudo, la velocidad de deriva de Stokes se denomina vagamente deriva de Stokes. La deriva de Stokes puede ocurrir en todos los casos de flujo oscilatorio que no sean homogéneos en el espacio. Por ejemplo, en ondas de agua , mareas y ondas atmosféricas .
En la descripción de Lagrange , las parcelas fluidas pueden alejarse de sus posiciones iniciales. Como resultado, la definición inequívoca de una velocidad lagrangiana promedio y la velocidad de deriva de Stokes, que se puede atribuir a una determinada posición fija, no es de ninguna manera una tarea trivial. Sin embargo, una descripción tan inequívoca la proporciona la teoría de la media lagrangiana generalizada (GLM) de Andrews y McIntyre en 1978 . [2]
La deriva de Stokes es importante para la transferencia de masa de todo tipo de materiales y organismos mediante flujos oscilatorios. Además, la deriva de Stokes es importante para la generación de circulaciones de Langmuir . [3] Para ondas de agua no lineales y periódicas , se han calculado y tabulado resultados precisos sobre la deriva de Stokes. [4]
Descripción matemática
El movimiento lagrangiano de una parcela fluida con vector de posición x = ξ ( α , t) en las coordenadas eulerianas viene dado por: [5]
donde ∂ ξ / ∂t es la derivada parcial de ξ ( α , t) con respecto a t , y
- ξ ( α , t) es el vector de posición lagrangiano de una parcela fluida,
- u ( x , t) es la velocidad euleriana ,
- x es el vector de posición en el sistema de coordenadas euleriano ,
- α es el vector de posición en el sistema de coordenadas de Lagrange ,
- t es el tiempo .
A menudo, las coordenadas lagrangianas α se eligen para que coincidan con las coordenadas eulerianas x en el tiempo inicial t = t 0 : [5]
Pero también son posibles otras formas de etiquetar los paquetes de fluidos.
Si el valor promedio de una cantidad se denota con una barra superior, entonces el vector de velocidad euleriano promedio ū E y el vector de velocidad lagrangiano promedio ū L son:
Se pueden utilizar diferentes definiciones de la media , dependiendo del tema de estudio, ver teoría ergódica :
- promedio de tiempo ,
- promedio espacial ,
- promedio del conjunto y
- promedio de fase .
La velocidad de deriva de Stokes ū S se define como la diferencia entre la velocidad euleriana media y la velocidad lagrangiana media: [6]
En muchas situaciones, el mapeo de cantidades promedio desde alguna posición euleriana x hasta una posición lagrangiana correspondiente α constituye un problema. Dado que una parcela de fluido con la etiqueta α atraviesa una trayectoria de muchas posiciones eulerianas diferentes x , no es posible asignar α a una x única . La teoría de la media lagrangiana generalizada (GLM) de Andrews y McIntyre (1978) proporciona una base matemáticamente sólida para un mapeo inequívoco entre las cantidades promedio de Lagrangiano y Euleriano .
Ejemplo: un flujo compresible unidimensional
Para la velocidad euleriana como onda monocromática de cualquier naturaleza en un medio continuo: uno se obtiene fácilmente por la teoría de la perturbación - con como un pequeño parámetro - para la posición de la partícula
Aquí el último término describe la velocidad de deriva de Stokes [7]
Ejemplo: ondas de aguas profundas
La deriva de Stokes fue formulada para ondas de agua por George Gabriel Stokes en 1847. Para simplificar, se considera el caso de agua infinita -profunda, con propagación de onda lineal de una onda sinusoidal en la superficie libre de una capa de fluido: [8]
dónde
- η es la elevación de la superficie libre en la dirección z (metros),
- a es la amplitud de onda (metros),
- k es el número de onda : k = 2π / λ ( radianes por metro),
- ω es la frecuencia angular : ω = 2π / T ( radianes por segundo ),
- x es la coordenada horizontal y la dirección de propagación de la onda (metros),
- z es la coordenada vertical , con la dirección z positiva apuntando hacia fuera de la capa de fluido (metros),
- λ es la longitud de onda (metros), y
- T es el período de onda ( segundos ).
Como se deduce a continuación, el componente horizontal ū S ( z ) de la velocidad de deriva de Stokes para ondas de aguas profundas es aproximadamente: [9]
Como puede verse, la velocidad de deriva de Stokes ū S es una cantidad no lineal en términos de la amplitud de onda a . Además, la velocidad de deriva de Stokes decae exponencialmente con la profundidad: a una profundidad de un cuarto de longitud de onda, z = -¼ λ , es aproximadamente el 4% de su valor en la superficie libre media , z = 0 .
Derivación
Se asume que las ondas son de amplitud infinitesimal y la superficie libre oscila alrededor del nivel medio z = 0 . Las ondas se propagan bajo la acción de la gravedad, con un vector de aceleración constante por gravedad (apuntando hacia abajo en la dirección z negativa ). Además, se supone que el fluido es no viscoso [10] e incompresible , con una densidad de masa constante . El flujo de fluido es irrotacional . A profundidad infinita, el fluido se toma en reposo .
Ahora el flujo se puede representar por un potencial de velocidad φ , satisfaciendo la ecuación de Laplace y [8]
Para tener soluciones no triviales para este problema de valores propios , la longitud de onda y el período de onda no pueden elegirse arbitrariamente, sino que deben satisfacer la relación de dispersión en aguas profundas : [11]
con g la aceleración por gravedad en ( m / s 2 ). En el marco de la teoría lineal , los componentes horizontal y vertical, ξ x y ξ z respectivamente, de la posición lagrangiana ξ son: [9]
La componente horizontal ū S de la velocidad de deriva de Stokes se estima usando una expansión de Taylor alrededor de x de la componente de velocidad horizontal euleriana u x = ∂ξ x / ∂t en la posición ξ : [5]
Ver también
- Fuerza de Coriolis-Stokes
- Deriva de Darwin
- Coordenadas lagrangianas y eulerianas
- Derivado material
Referencias
Histórico
- AÑADIR Craik (2005). "George Gabriel Stokes sobre la teoría de las ondas de agua". Revisión anual de mecánica de fluidos . 37 (1): 23–42. Código Bibliográfico : 2005AnRFM..37 ... 23C . doi : 10.1146 / annurev.fluid.37.061903.175836 .
- GG Stokes (1847). "Sobre la teoría de las ondas oscilatorias". Transacciones de la Sociedad Filosófica de Cambridge . 8 : 441–455.
Reimpreso en: GG Stokes (1880). Matemática y física Papers, Volumen I . Prensa de la Universidad de Cambridge. págs. 197–229.
Otro
- DG Andrews y ME McIntyre (1978). "Una teoría exacta de ondas no lineales en un flujo medio lagrangiano". Revista de Mecánica de Fluidos . 89 (4): 609–646. Código bibliográfico : 1978JFM .... 89..609A . doi : 10.1017 / S0022112078002773 .
- AÑADIR Craik (1985). Interacciones de ondas y flujos de fluidos . Prensa de la Universidad de Cambridge. ISBN 978-0-521-36829-2.
- MS Longuet-Higgins (1953). "Transporte masivo en ondas de agua". Philosophical Transactions de la Royal Society A . 245 (903): 535–581. Código bibliográfico : 1953RSPTA.245..535L . doi : 10.1098 / rsta.1953.0006 .
- Phillips, OM (1977). La dinámica del océano superior (2ª ed.). Prensa de la Universidad de Cambridge. ISBN 978-0-521-29801-8.
- G. Falkovich (2011). Mecánica de fluidos (un curso corto para físicos) . Prensa de la Universidad de Cambridge. ISBN 978-1-107-00575-4.
- Kubota, M. (1994). "Un mecanismo para la acumulación de desechos marinos flotantes al norte de Hawai". Revista de Oceanografía Física . 24 (5): 1059–1064. Código Bibliográfico : 1994JPO .... 24.1059K . doi : 10.1175 / 1520-0485 (1994) 024 <1059: AMFTAO> 2.0.CO; 2 .
Notas
- ^ Ver Kubota (1994) .
- ^ Véase Craik (1985) , páginas 105-113.
- ^ Véase, por ejemplo, Craik (1985) , página 120.
- ^ Las soluciones de las trayectorias de las partículas en ondas periódicas totalmente no lineales y el período de ondas lagrangianas que experimentan se pueden encontrar, por ejemplo, en:
JM Williams (1981). "Limitación de ondas de gravedad en agua de profundidad finita". Philosophical Transactions de la Royal Society A . 302 (1466): 139–188. Código bibliográfico : 1981RSPTA.302..139W . doi : 10.1098 / rsta.1981.0159 .
JM Williams (1985). Tablas de ondas de gravedad progresivas . Minero. ISBN 978-0-273-08733-5. - ^ a b c Véase Phillips (1977) , página 43.
- ^ Véase, por ejemplo, Craik (1985) , página 84.
- ^ Véase Falkovich (2011) , páginas 71–72. Hay un error tipográfico en el coeficiente del término superarmónico en la ecuación. (2.20) en la página 71, es decir en vez de
- ^ a b Véase, por ejemplo, Phillips (1977) , página 37.
- ^ a b Véase Phillips (1977) , página 44. O Craik (1985) , página 110.
- ↑ La viscosidad tiene un efecto pronunciado sobre la velocidad euleriana media y la velocidad lagrangiana (o de transporte de masa) media, pero mucho menos sobre su diferencia: los Stokes se desplazan fuera de las capas límite cerca del lecho y la superficie libre, ver por ejemplo Longuet-Higgins (1953) . O Phillips (1977) , páginas 53–58.
- ^ Véase, por ejemplo, Phillips (1977) , página 38.