Teorema de Stolz-Cesàro

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En matemáticas , el teorema de Stolz-Cesàro es un criterio para probar la convergencia de una secuencia . El teorema lleva el nombre de los matemáticos Otto Stolz y Ernesto Cesàro , quienes lo establecieron y demostraron por primera vez.

El teorema de Stolz-Cesàro puede verse como una generalización de la media de Cesàro , pero también como una regla de l'Hôpital para secuencias.

Sean y dos secuencias de números reales . Suponga que es una secuencia estrictamente monótona y divergente (es decir, estrictamente creciente y acercándose , o estrictamente decreciente y acercándose ) y existe el siguiente límite :${\ Displaystyle (a_ {n}) _ {n \ geq 1}}$${\ Displaystyle (b_ {n}) _ {n \ geq 1}}$${\ Displaystyle (b_ {n}) _ {n \ geq 1}}$${\displaystyle +\infty }$${\displaystyle -\infty }$

Sean y dos secuencias de números reales . Suponga ahora que y while es estrictamente decreciente . Si ${\displaystyle (a_{n})_{n\geq 1}}$${\displaystyle (b_{n})_{n\geq 1}}$${\displaystyle (a_{n})\to 0}$${\displaystyle (b_{n})\to 0}$${\displaystyle (b_{n})_{n\geq 1}}$

Caso 1: suponga estrictamente creciente y divergente a , y . Por hipótesis, tenemos que para todo existe tal que${\displaystyle (b_{n})}$${\displaystyle +\infty }$${\displaystyle -\infty <l<\infty }$${\displaystyle \epsilon /2>0}$${\displaystyle \nu >0}$${\displaystyle \forall n>\nu }$

Dado que es estrictamente creciente, y lo siguiente es válido${\displaystyle (b_{n})}$${\displaystyle b_{n+1}-b_{n}>0}$

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