En matemáticas , un subconjunto cofinito de un conjunto X es un subconjunto A cuyo complemento en X es un conjunto finito . En otras palabras, A contiene todos los elementos de X, salvo una cantidad finita . Si el complemento no es finito, pero es contable, entonces se dice que el conjunto es contable .
Estos surgen naturalmente cuando se generalizan estructuras en conjuntos finitos a conjuntos infinitos, particularmente en productos infinitos, como en la topología de productos o suma directa .
Álgebras booleanas
El conjunto de todos los subconjuntos de X que son finitos o cofinitos forma un álgebra booleana , es decir, está cerrado bajo las operaciones de unión , intersección y complementación. Esta álgebra de Boole es el álgebra finito-cofinite en X . Un álgebra de Boole A tiene un no principal único ultrafiltro (es decir, un máximo de filtro no generada por un solo elemento del álgebra) si y sólo si existe un conjunto infinito X tal que A es isomorfo al álgebra finito-cofinite en X . En este caso, el ultrafiltro no principal es el conjunto de todos los conjuntos de cofinitos.
Topología cofinita
La topología cofinite (a veces llamada la topología complemento finita ) es una topología que se puede definir en cada serie X . Tiene precisamente el conjunto vacío y todos los subconjuntos cofinitos de X como conjuntos abiertos. Como consecuencia, en la topología cofinite, los subconjuntos solamente cerrados son conjuntos finitos, o la totalidad de X . Simbólicamente, uno escribe la topología como
Esta topología ocurre naturalmente en el contexto de la topología de Zariski . Dado que los polinomios en una variable sobre un campo K son cero en conjuntos finitos, o la totalidad de K , la topología de Zariski en K (considerada como línea afín ) es la topología cofinita. Lo mismo es cierto para cualquier curva algebraica irreducible ; no es cierto, por ejemplo, para XY = 0 en el plano.
Propiedades
- Subespacios: cada topología subespacial de la topología cofinita es también una topología cofinita.
- Compacidad: Dado que cada conjunto abierto contiene todos, excepto un número finito de puntos de X , el espacio X es compacto y secuencialmente compacto .
- Separación: La topología cofinita es la topología más burda que satisface el axioma T 1 ; es decir, es la topología más pequeña para la que todos los conjuntos únicos están cerrados. De hecho, una topología arbitraria en X satisface el axioma T 1 si y solo si contiene la topología cofinita. Si X es finito, entonces la topología cofinita es simplemente la topología discreta . Si X no es finito, entonces esta topología no es T 2 , regular o normal , ya que no hay dos conjuntos abiertos no vacíos disjuntos (es decir, están hiperconectados ).
Topología de cofinita de doble punta
La topología de cofinita de doble punta es la topología de cofinita con cada punto duplicado; es decir, es el producto topológico de la topología cofinita con la topología indiscreta en un conjunto de dos elementos. No es T 0 o T 1 , ya que los puntos del doblete son topológicamente indistinguibles . Sin embargo, es R 0 ya que los puntos topológicamente distinguibles son separables.
Un ejemplo de una topología de cofinita de doble punta contable es el conjunto de enteros pares e impares, con una topología que los agrupa. Deje que X sea el conjunto de los enteros, y dejó O Un ser un subconjunto de los números enteros cuyo complemento es el conjunto A . Defina una subbase de conjuntos abiertos G x para que cualquier entero x sea G x = O { x , x +1} si x es un número par , y G x = O { x -1, x } si x es impar. Entonces, los conjuntos base de X se generan mediante intersecciones finitas, es decir, para A finito , los conjuntos abiertos de la topología son
El espacio resultante no es T 0 (y por tanto no T 1 ), porque los puntos x y x + 1 (por x pares) son topológicamente indistinguibles. El espacio es, sin embargo, un espacio compacto , ya que cada U A contiene todos menos un número finito de puntos.
Otros ejemplos
Topología de producto
La topología del producto sobre un producto de espacios topológicos.tiene base dónde está abierto, y cofinitly muchos .
Lo análogo (sin requerir que cofinitivamente muchos sean el espacio completo) es la topología de caja .
Suma directa
Los elementos de la suma directa de módulos son secuencias donde cofinitly muchos .
El análogo (sin requerir que cofinitivamente muchos sean cero) es el producto directo .
Ver también
- Lista de topologías
Referencias
- Steen, Lynn Arthur ; Seebach, J. Arthur Jr. (1995) [1978], Contraejemplos en topología ( reimpresión de Dover de 1978 ed.), Berlín, Nueva York: Springer-Verlag , ISBN 978-0-486-68735-3, MR 0507446 (Ver ejemplo 18)