Norma de matriz

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En matemáticas , una norma matricial es una norma vectorial en un espacio vectorial cuyos elementos (vectores) son matrices (de dimensiones dadas).

Dado un campo de cualquiera reales o números complejos , dejar que sea el K - espacio vectorial de las matrices con filas y columnas y entradas en el campo . Una norma matricial es una norma en${\ Displaystyle K}$${\displaystyle K^{m\times n}}$${\displaystyle m}$${\displaystyle n}$${\displaystyle K}$${\displaystyle K^{m\times n}}$

Este artículo siempre escribirá tales normas con barras verticales dobles (así :) . Por tanto, la norma matricial es una función que debe satisfacer las siguientes propiedades: ^{[1] [2]}${\displaystyle \|A\|}$ ${\displaystyle \|\cdot \|:K^{m\times n}\to \mathbb {R} }$

La única característica que distingue a las matrices de los vectores reorganizados es la multiplicación . Las normas matriciales son particularmente útiles si también son sub-multiplicativas : ^{[1] [2] [3]}

Cada norma en K ^{n × n} puede reescalarse para ser sub-multiplicativa; en algunos libros, la norma matricial terminológica se reserva para las normas sub-multiplicativas. ^[4]

Suponga que se da una norma vectorial on y una norma vectorial on . Cualquier matriz A induce un operador lineal de a con respecto a la base estándar, y se define la norma inducida correspondiente o la norma del operador o la norma subordinada en el espacio de todas las matrices de la siguiente manera:${\displaystyle \|\cdot \|_{\alpha }}$${\displaystyle K^{n}}$${\displaystyle \|\cdot \|_{\beta }}$${\displaystyle K^{m}}$${\displaystyle m\times n}$${\displaystyle K^{n}}$${\displaystyle K^{m}}$${\displaystyle K^{m\times n}}$${\displaystyle m\times n}$

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