En topología y áreas relacionadas de las matemáticas , una subred es una generalización del concepto de subsecuencia al caso de las redes . La definición no es completamente sencilla, pero está diseñada para permitir que tantos teoremas sobre subsecuencias se generalicen a las redes como sea posible.
Definiciones
Si y son redes de los conjuntos dirigidos A y B respectivamente, entonces es una subred de si existe una función final monótona
tal que
- para todos
Una función es monótono si imples y se llama final si su imagen es cofinal en A , es decir, para cada existe un tal que [nota 1]
Aplicaciones
La definición generaliza algunos teoremas clave sobre subsecuencias:
- Una red converge ax si y solo si cada subred deconverge ax .
- Una red tiene un punto de clúster y si y solo si tiene una subredque converge ay .
- Un espacio topológico X es compacto si y solo si cada red en X tiene una subred convergente (ver net para una prueba).
Una definición aparentemente más natural de una subred sería requerir que B sea un subconjunto cofinal de A y que h sea el mapa de identidad. Este concepto, conocido como subred cofinal , resulta inadecuado. Por ejemplo, el segundo teorema anterior falla para la tabla de Tychonoff si nos restringimos a subredes cofinales.
Mientras que una secuencia es una red, una secuencia tiene subredes que no son subsecuencias. Por ejemplo, la red (1, 1, 2, 3, 4, ...) es una subred de la red (1, 2, 3, 4, ...). La diferencia clave es que las subredes pueden usar el mismo punto en la red varias veces y el conjunto de indexación de la subred puede tener una cardinalidad mucho mayor . Usando la definición más general donde no requerimos monotonicidad, una secuencia es una subred de una secuencia dada, si y solo si se puede obtener de alguna subsecuencia repitiendo sus términos y reordenándolos. [1]
Ver también
Notas
- ^ Algunos autores utilizan una definición un poco más general de subred. En esta definición, el mapa se requiere para satisfacer la condición: Para cada existe un tal que cuando sea Dicho mapa es definitivo pero no necesariamente monótono.
Citas
- ^ Gähler, Werner (1977). Der Grundstrukturen I Análisis . Akademie-Verlag, Berlín., Satz 2.8.3, pág. 81
Referencias
- Engelking, Ryszard (1989). Topología general . Heldermann Verlag, Berlín. ISBN 3885380064.
- Kelley, John L. (1991). Topología general . Saltador. ISBN 3540901256.
- Runde, Volker (2005). Un poco de topología . Saltador. ISBN 978-0387-25790-7.
- Willard, Stephen (2004). Topología general . Publicaciones de Dover . ISBN 0486434796.