Use of filters to describe and characterize all basic topological notions and results.
La celosía del conjunto de energía del conjunto. con el conjunto superiorde color verde oscuro. Es un filtro , e incluso un filtro principal . No es un ultrafiltro , ya que se puede extender al filtro no trivial más grande. incluyendo también los elementos de color verde claro. Porque no se puede extender más, es un ultrafiltro.
En topología , un subcampo de las matemáticas , los filtros son familias especiales de subconjuntos de un conjunto.que se puede utilizar para estudiar espacios topológicos y definir todas las nociones topológicas básicas como convergencia, continuidad , compacidad y más. Los filtros también proporcionan un marco común para definir varios tipos de límites de funciones , como límites desde la izquierda / derecha, hasta el infinito, hasta un punto o un conjunto, y muchos otros. Los tipos especiales de filtros llamados ultrafiltros tienen muchas propiedades técnicas útiles y, a menudo, pueden usarse en lugar de filtros arbitrarios.
Los filtros tienen generalizaciones llamadas prefiltros (también conocidas como bases de filtro ) y subbases de filtro , todas las cuales aparecen de forma natural y repetida en la topología. Los ejemplos incluyen filtros / bases / sub - bases de vecindad y uniformidades . Cada filtro es un prefiltro y ambos son subbases de filtro. Cada prefiltro y subbase de filtro está contenido en un filtro más pequeño único, que se dice que generan . Esto establece una relación entre los filtros y los prefiltros que a menudo se pueden explotar para permitir que uno use cualquiera de estas dos nociones que sea técnicamente más conveniente. Un pedido anticipadoen familias de conjuntos ayuda a determinar exactamente cuándo y cómo una noción (filtro, prefiltro, etc.) puede o no puede usarse en lugar de otra. La importancia de este preorden se amplifica por el hecho de que define la noción de convergencia de filtros, donde, por definición, un filtro (o prefiltro)converge a un punto si y solo si dónde es el filtro de vecindad de ese punto . En consecuencia, la subordinación también juega un papel importante en muchos conceptos relacionados con la convergencia, como los puntos de agrupación y los límites de funciones. Además, la relación que denota y se expresa diciendo que está subordinado a también establece una relación en la que Es para como una subsecuencia es a una secuencia (es decir, la relación que se llama subordinación , es para filtros el análogo de "es una subsecuencia de").
Los filtros fueron introducidos por Henri Cartan en 1937 [1] [2] y posteriormente utilizados por Bourbaki en su libro Topologie Générale como una alternativa a la noción similar de una red desarrollada en 1922 por EH Moore y HL Smith . Los filtros también se pueden utilizar para caracterizar las nociones de secuencia y convergencia neta . Pero a diferencia de la secuencia [nota 1] y la convergencia neta, la convergencia del filtro se define completamente en términos de subconjuntos del espacio topológicoy así proporciona una noción de convergencia que es completamente intrínseca al espacio topológico. Cada red induce un filtro canónico y doblemente, cada filtro induce una red canónica, donde esta red inducida (resp. Filtro inducido) converge a un punto si y sólo si lo mismo es cierto para el filtro original (resp. Net). Esta caracterización también es válida para muchas otras definiciones, como puntos de agrupamiento . Estas relaciones hacen posible cambiar entre filtros y redes y, a menudo, también permiten elegir cuál de estas dos nociones (filtro o red) es más conveniente para el problema en cuestión. Sin embargo, en general, esta relación no se extiende a los filtros y subredes subordinados porque, como se detalla a continuación , existen filtros subordinados cuya relación filtro / subordinado-filtro no se puede describir en términos de la relación red / subred correspondiente (aquí se supone que "subred "se define utilizando cualquiera de sus definiciones más populares, que se dan en este artículo).
Motivación
Ejemplo arquetípico de un filtro
El ejemplo arquetípico de un filtro es el filtro de vecindad en un punto en un espacio topológico que es la familia de conjuntos que consta de todos los vecindarios dePor definición, una vecindad de algún punto (o subconjunto) dado es cualquier subconjuntocuyo interior topológico contiene este punto (o subconjunto); lo que es más importante, no se requiere que los vecindarios sean conjuntos abiertos (a estos se les llama vecindarios abiertos ). Las propiedades fundamentales compartidas por los filtros de vecindario, que se enumeran a continuación, finalmente se convirtieron en la definición de un "filtro". Un filtro en es un conjunto de subconjuntos de que cumpla todas las condiciones siguientes:
No vacio : - Tal como desde es siempre un barrio (abierto) de (y de cualquier otra cosa que contenga);
No contiene el conjunto vacío : - al igual que ningún barrio de esta vacio;
Cerrado en intersecciones finitas : Si luego - al igual que la intersección de dos vecindarios de es de nuevo un barrio de ;
Cerrado hacia arriba : Si y luego - al igual que cualquier subconjunto de que contiene un barrio de necesariamente ser un barrio de (porque y por definición de "vecindario de ").
Generalizar la convergencia de secuencias mediante el uso de conjuntos: determinar la convergencia de secuencias sin la secuencia
Una secuencia enes por definición un mapade los números naturales al espacioLa noción original de convergencia en un espacio topológico era la de una secuencia que converge hacia algún punto dado en un espacio, como un espacio métrico . Con los espacios metrizables (o más generalmente los primeros espacios contables o espacios de Fréchet-Urysohn ), las secuencias suelen ser suficientes para caracterizar, o "describir", la mayoría de las propiedades topológicas, como los cierres de subconjuntos o la continuidad de funciones. Pero hay muchos espacios donde las secuencias no pueden usarse para describir incluso propiedades topológicas básicas como el cierre o la continuidad. Este fracaso de las secuencias fue la motivación para definir nociones como redes y filtros, que nunca dejan de caracterizar las propiedades topológicas.
Las redes generalizan directamente la noción de secuencia, ya que las redes son, por definición, mapas. de un conjunto dirigido arbitrario en el espacio Una secuencia es solo una red cuyo dominio es con el ordenamiento natural. Las redes tienen su propia noción de convergencia , que es una generalización directa de la convergencia de secuencias.
Los filtros generalizan la convergencia de secuencias de una manera diferente al considerar solo los valores de una secuencia. Para ver cómo se hace esto, considere una secuencia en que es por definición solo una función cuyo valor en se denota por en lugar de la notación entre paréntesis que se usa comúnmente para funciones arbitrarias. Conociendo solo la imagen (es decir, "rango")de la secuencia no es suficiente para caracterizar su convergencia; se necesitan varios juegos. Resulta que los conjuntos necesarios son los siguientes, [nota 2] que se denominan colas de la secuencia:
Estos conjuntos determinan completamente la convergencia (o no convergencia) de esta secuencia porque dado cualquier punto, esta secuencia converge a él si y solo si para cada vecindario (de este punto), hay un número entero tal que contiene todos los puntos Esto se puede reformular como:
cada barrio debe contener algún conjunto del formulario como un subconjunto.
Es la caracterización anterior la que se puede utilizar con la familia de colas anterior para determinar la convergencia (o no convergencia) de la secuencia. En concreto, con estos conjuntos en la mano, la función ya no es necesario para determinar la convergencia de esta secuencia (no importa qué topología se coloque en ). Generalizando esta observación, la noción de "convergencia" puede extenderse de funciones a familias de conjuntos.
El conjunto anterior de colas de una secuencia no es en general un filtro, pero " genera " un filtro tomando su cierre hacia arriba . Lo mismo ocurre con otras familias importantes de conjuntos como cualquier base de vecindad en un punto dado, que en general tampoco es un filtro pero genera un filtro a través de su cierre hacia arriba (en particular, genera el filtro de vecindad en ese punto) . Las propiedades que comparten estas familias llevaron a la noción de un filtro base , también llamado prefiltro , que por definición es cualquier familia que tenga las propiedades mínimas necesarias y suficientes para generar un filtro tomando únicamente su cierre hacia arriba .
Redes frente a filtros: ventajas y desventajas
Los filtros y las redes tienen cada uno sus propias ventajas e inconvenientes y no hay razón para usar una noción exclusivamente sobre la otra. [nota 3] Dependiendo de lo que se esté probando, una demostración puede ser significativamente más fácil usando una de estas nociones en lugar de la otra. [3] Tanto los filtros como las redes se pueden utilizar para caracterizar completamente cualquier topología dada . Las redes son generalizaciones directas de secuencias y, a menudo, se pueden usar de manera similar a las secuencias, por lo que la curva de aprendizaje de las redes suele ser mucho menos empinada que la de los filtros. Sin embargo, los filtros, y especialmente los ultrafiltros , tienen muchas más aplicaciones fuera de la topología, como en la teoría de conjuntos , la lógica matemática , la teoría de modelos (por ejemplo ultraproductos ), álgebra abstracta , [4] teoría de la orden , espacios de convergencia generalizadas , espacios de Cauchy , y en la definición y uso de números hiperreales .
Al igual que las secuencias, las redes son funciones y, por lo tanto, tienen las ventajas de las funciones . Por ejemplo, al igual que las secuencias, las redes se pueden "conectar" a otras funciones, donde "conectar" es simplemente la composición de la función . Los teoremas relacionados con las funciones y la composición de funciones se pueden aplicar a las redes. Un ejemplo es la propiedad universal de los límites inversos , que se define en términos de composición de funciones en lugar de conjuntos y se aplica más fácilmente a funciones como redes que a conjuntos como filtros (un ejemplo destacado de un límite inverso es el producto cartesiano ). . Los filtros pueden ser incómodos de usar en ciertas situaciones, como cuando se cambia entre un filtro en un espacio. y subespacio denso [5]
A diferencia de las redes, los filtros (y prefiltros) son familias de conjuntos y, por lo tanto, tienen las ventajas de los conjuntos . Por ejemplo, sies sobreyectiva, entonces la preimagen o el retroceso de un filtro o prefiltro arbitrario se define fácilmente y se garantiza que es un prefiltro, mientras que es menos claro cómo definir el retroceso de una secuencia arbitraria (o red) para que sea una vez más una secuencia o red (a menos que es también inyectiva y, en consecuencia, biyección, que es un requisito estricto). Porque los filtros se componen de subconjuntos del propio espacio topológicoque se está considerando, las operaciones de conjuntos topológicos (como cierre o interior ) pueden aplicarse a los conjuntos que constituyen el filtro. Tomar el cierre de todos los conjuntos en un filtro a veces es útil en el análisis funcional, por ejemplo. Los teoremas sobre imágenes o preimágenes de conjuntos bajo funciones (por ejemplo , definiciones de continuidad en términos de imágenes o preimágenes de conjuntos) también se pueden aplicar a los filtros. Los tipos especiales de filtros llamados ultrafiltros tienen muchas propiedades útiles que pueden ayudar significativamente a demostrar los resultados. Una desventaja de las redes es su dependencia de los conjuntos dirigidos que constituyen sus dominios, que en general pueden no tener ninguna relación con el espacio. De hecho, la clase de redes en un conjunto dado es demasiado grande para siquiera ser un conjunto (es una clase adecuada ); esto se debe a que las redes enpuede tener dominios de cualquier cardinalidad . Por el contrario, la recopilación de todos los filtros (y de todos los prefiltros) en es un conjunto cuya cardinalidad no es mayor que la de ℘ ( ℘ ( X ) ) . {\ Displaystyle \ wp (\ wp (X)).}
Similar a una topología en un filtro en es "intrínseco a "en el sentido de que ambas estructuras consisten enteramente en subconjuntos de y ninguna definición requiere ningún conjunto que no pueda construirse a partir de (como u otros lances dirigidos, que requieran secuencias y redes).
Preliminares, notación y nociones básicas
En este artículo, letras romanas mayúsculas como y denotar conjuntos (pero no familias a menos que se indique lo contrario) y denotará el conjunto de potencia deUn subconjunto de un conjunto de potencia se llama una familia de conjuntos (o, simplemente, una familia ), donde es más si es un subconjunto de Las familias de conjuntos se denotarán mediante letras de caligrafía en mayúsculas, como y Siempre que se necesiten estos supuestos, se debe suponer que no está vacío y que etc.son familias de conjuntos sobre
Los términos "prefiltro" y "base de filtro" son sinónimos y se usarán indistintamente.
Advertencia sobre definiciones y notación que compiten
Desafortunadamente, hay varios términos en la teoría de los filtros que son definidos de manera diferente por diferentes autores. Estos incluyen algunos de los términos más importantes, como "filtro". Si bien las diferentes definiciones del mismo término suelen tener una superposición significativa, debido a la naturaleza muy técnica de los filtros (y la topología de conjunto de puntos), estas diferencias en las definiciones, no obstante, a menudo tienen consecuencias importantes. Al leer literatura matemática, se recomienda que los lectores comprueben cómo el autor define la terminología relacionada con los filtros. Por esta razón, este artículo indicará claramente todas las definiciones que se utilizan en este artículo. Desafortunadamente, no toda la notación relacionada con los filtros está bien establecida y alguna notación varía mucho a lo largo de la literatura (por ejemplo, la notación para el conjunto de todos los prefiltros en un conjunto) por lo que en tales casos este artículo usa cualquier notación que sea más autodescriptiva o fácil de recordar.
La teoría de los filtros y prefiltros está bien desarrollada y tiene una plétora de definiciones y notaciones, muchas de las cuales ahora se enumeran sin ceremonias para evitar que este artículo se vuelva prolijo y permitir la búsqueda fácil de notación y definiciones. Sus propiedades importantes se describen más adelante.
Establece operaciones
La cierre ascendente o isotonizaciónen [6] [7] de una familia de subconjuntos es
y de manera similar el cierre a la baja de es
Notación y definición
Supuestos
Nombre
Núcleo de[7]
Conjunto de potencia de un conjunto[7]
es un conjunto
Rastro de en [8] o la restricción de a
[9]
Elementwise ( conjunto ) intersección ( denotará la intersección habitual)
[9]
Elementwise ( conjunto ) Unión ( denotará la unión habitual)
Elementwise ( conjunto ) de resta (denotará la resta habitual de conjuntos )
es un conjunto
Dual de en [8]
Parrilla de en [10]
El preorder se define en familias de conjuntos, digamos y declarando que si y solo si para cada hay algunos tal que en cuyo caso se dice que es más grueso quees más fino que (o subordinado a ) [11] [12] [13] y puede estar escrito. Dos familias y de conjuntos de malla [8] si para todos y
A lo largo de, es un mapa.
Notación y definición
Supuestos
Nombre
Preimagen de debajo [14]
es un conjunto arbitrario.
Preimagen a debajo
Imagen de debajo [14]
es un conjunto arbitrario.
Imagen a debajo
Imagen de
Notación de topología
El conjunto de todas las topologías será denotado por Suponer es una topología en
Notación y definición
Supuestos
Nombre
Establecer o prefiltrar [nota 4] de vecindarios abiertos de en
Establecer o prefiltro de vecindarios abiertos de en
Establecer o filtrar [nota 4] de vecindarios de en
Conjunto o filtro de barrios de en
Si luego y
Redes y sus colas
Un conjunto dirigido es un conjunto junto con un pedido anticipado , que se indicará con (a menos que se indique explícitamente lo contrario), eso hace en un conjunto dirigido ( hacia arriba ) ; [15] esto significa que para todos existe algo tal que y Para cualquier índice y la notación se define para significar tiempo se define para significar que sostiene pero es no cierto que (Si es antisimétrico, entonces esto es equivalente a y ).
Una red en[15] es un mapa de un conjunto dirigido no vacío en
Notación y definición
Supuestos
Nombre
y es un conjunto dirigido
Cola o sección de a partir de
y es una red
Cola o sección de a partir de [dieciséis]
y es una red
Cola o sección de a partir de
es una red
Establecer oprefiltro de colas /seccionesdeTambién llamada base de filtro de eventualidad generada por (las colas de) Si es una secuencia entonces se llama el en su lugar, base de filtro secuencial . [dieciséis]
es una red
( Eventualidad ) filtro de / generado por (colas de)[dieciséis]
Advertencia sobre el uso de una comparación estricta
Si es una red y entonces es posible que el conjunto que se llama la cola dedespués, para estar vacío (por ejemplo, esto sucede si es un límite superior del conjunto dirigido ). En este caso, la familiacontendría el conjunto vacío, lo que evitaría que sea un prefiltro (definido más adelante). Esta es la (importante) razón para definir como en vez de o incluso y es por ello que en general, cuando se trata del prefiltro de colas de una red, la desigualdad estricta no puede usarse indistintamente con la desigualdad
Filtros y prefiltros
La siguiente es una lista de propiedades que una familia de conjuntos pueden poseer y forman las propiedades definitorias de filtros, prefiltros y subbases de filtros. Siempre que sea necesario, se debe asumir que
La familia de conjuntos es:
Adecuado ono degenerado si De lo contrario, si entonces se le llama impropio [17] o degenerado .
Dirigido hacia abajo [15] si siempre entonces existe algo tal que
Alternativamente, dirigido hacia abajo (resp. dirigido hacia arriba ) si y solo sise dirige (hacia arriba) con respecto al pedido anticipado (resp. ), donde por definición esto significa que para todos existe algo "mayor" tal que y (resp. tal que y ), - donde el elemento "mayor" está siempre en el lado derecho - que se puede reescribir como (resp. ). Esto explica la palabra "dirigido".
Si una familia tiene un elemento mayor con respecto a (por ejemplo, si ) entonces se dirige necesariamente hacia abajo.
Cerrado bajo intersecciones finitas (resp.Uniones) si la intersección (resp. Unión) de dos elementos cualesquiera de es un elemento de
Si está cerrado bajo intersecciones finitas, entonces se dirige necesariamente hacia abajo. Lo contrario es generalmente falso.
Hacia arriba cerrado oisotonoen[6] si y o de manera equivalente, si siempre y satisface luego Similar, está cerrado hacia abajo siUn conjunto cerrado hacia arriba (respectivamente, hacia abajo) también se denomina conjunto superior o malestar (resp. Conjunto inferior o conjunto hacia abajo ).
La familia que es el cierre hacia arriba de en es el único más pequeño (con respecto a) familia isotónica de conjuntos sobre teniendo como un subconjunto.
Muchas de las propiedades de definido arriba (y abajo), como "adecuado" y "dirigido hacia abajo", no dependen de así que mencionando el set es opcional cuando se utilizan dichos términos. Definiciones que implican estar "cerrado hacia arriba en"como el de" filtrar en "depende de entonces el set debe mencionarse si no está claro por el contexto.
Ultrafiltros ( X ) = Filtros ( X ) ∩ UltraPrefiltros ( X ) ⊆ Filtros ( X ) ∪ UltraPrefiltros ( X ) ⊆ Prefiltros ( X ) ⊆ Subbases de filtro ( X ) .
Una familia es / es un (n):
Ideal [17][18]si está cerrado hacia abajo y cerrado bajo uniones finitas.
Doble ideal encendido[19] si está cerrado hacia arriba en y también cerrado bajo intersecciones finitas. Equivalentemente, es un ideal dual si para todos los subconjuntos si y solo si [10]
Explicación de la palabra "dual": una familia es un ideal dual (resp. un ideal) en si y solo si el dual de en cual es la familia
es un ideal (resp. un ideal dual) en En otras palabras, ideal dual significa " dual de un ideal ". La familia no debe confundirse con porque estos dos conjuntos no son iguales en general; por ejemplo, si y solo si El dual del dual es la familia original, lo que significa El conjunto pertenece al dual de si y solo si [17]
Filtrar por[19] [8] sies un ideal dual apropiado en Es decir, un filtro en es un subconjunto no vacío de que se cierra bajo intersecciones finitas y se cierra hacia arriba en De manera equivalente, es un prefiltro que está cerrado hacia arriba en En palabras, un filtro en es una familia de conjuntos sobre que (1) no está vacío (o equivalentemente, contiene ), (2) está cerrado bajo intersecciones finitas, (3) está cerrado hacia arriba en y (4) no tiene el conjunto vacío como elemento.
Advertencia : algunos autores, particularmente los algebristas, usan "filtro" para referirse a un ideal dual; otros, particularmente los topólogos, usan "filtro" para referirse a un ideal dual propio / no degenerado . [20] Se recomienda que los lectores siempre verifiquen cómo se define "filtro" al leer literatura matemática. Sin embargo, las definiciones de "ultrafiltro", "prefiltro" y "subbase de filtro" siempre requieren no degeneración . Este artículo utiliza la definición original de filtro de Henri Cartan , que requería no degeneración.
Un filtro dual en es una familia cuyo dual es un filtro en De manera equivalente, es un ideal en que no contiene como elemento.
Prefiltro obase de filtro [8] [21] sies adecuado y está dirigido hacia abajo. Equivalentemente, es un prefiltro si su cierre hacia arriba es un filtro. También se puede definir como cualquier familia que sea equivalente (con respecto a) a algún filtro. [9] Una familia adecuada es un prefiltro si y solo si [9]
Si es un prefiltro entonces su cierre hacia arriba es el único más pequeño (relativo a ) filtrar en conteniendo y se llama filtro generado por Un filtro se dice que es generado por un prefiltro Si en el cual se llama base de filtro para
A diferencia de un filtro, un prefiltro no está necesariamente cerrado en intersecciones finitas.
π –sistema siestá cerrado bajo intersecciones finitas. Cada familia no vacíaestá contenido en una única pequeña π -sistema llama el π -sistema generada por que a veces se denota por Es igual a la intersección de todos los sistemas π que contienen y también al conjunto de todas las posibles intersecciones finitas de conjuntos de :
Un sistema π es un prefiltro si y solo si es adecuado. Cada filtro es un sistema π adecuado y todo sistema π adecuado es un prefiltro, pero lo contrario no se cumple en general.
Un prefiltro es equivalente (con respecto a ) al sistema π generado por él y ambas familias generan el mismo filtro en
Filtrar subbase [8] [22] ycentrar [9] si y cumple cualquiera de las siguientes condiciones equivalentes:
tiene la propiedad de intersección finita , lo que significa que la intersección de cualquier familia finita de (uno o más) se establece enno está vacío; explícitamente, esto significa que siempre que y luego
El sistema π generado por es apropiado (es decir no es un elemento).
El sistema π generado por es un prefiltro.
es un subconjunto de algún prefiltro.
es un subconjunto de algún filtro.
Asumiendo es una subbase de filtro, el filtro generado por es el único más pequeño (relativo a ) filtro en conteniendo Es igual a la intersección de todos los filtros en que son superconjuntos de El sistema π generado por denotado por será un prefiltro y un subconjunto de Además, el filtro generado por es el cierre hacia arriba de significado [9]
A –Más pequeño (es decir, el más pequeño en relación con ) prefiltro que contiene una subbase de filtroexistirá solo bajo ciertas circunstancias. Existe, por ejemplo, si la subbase del filtropasa a ser también un prefiltro. También existe si el filtro (o equivalentemente, el sistema π ) generado pores principal , en cuyo caso es el prefiltro más pequeño que contiene De lo contrario, en general, un –El prefiltro más pequeño que contienepuede no existir. Por esta razón, algunos autores pueden referirse al sistema π generado por como el prefiltro generado por Sin embargo, como se muestra en un ejemplo a continuación, si un -Smallest prefiltro existe entonces contrario a las expectativas habituales, no necesariamente igual a " el prefiltro generada por B . {\ Displaystyle {\ mathcal {B}}.}
"Desafortunadamente", el prefiltro generado por "un prefiltro podria no ser por lo que este artículo se prefiere la terminología precisa y sin ambigüedades del" π -sistema generada por".
Subfiltro de un filtro y eso es un superfiltro de[17] [23] si es un filtro y donde para los filtros, si y solo si
Es importante destacar que la expresión "es un superfiltro de" es para filtros el análogo de "es una subsecuencia de". Así que a pesar de tener el prefijo "sub" en común "es una sub filtro de" es en realidad la inversa de "es una sub secuencia de". Sin emabargo, también se puede escribir que se describe diciendo " está subordinado a "Con esta terminología," está subordinado a "se convierte para los filtros (y también para los prefiltros) el análogo de" es una subsecuencia de ", [24] lo que hace que esta situación en la que se utiliza el término" subordinado "y el símbolo puede ser útil.
No hay prefiltros en (ni hay redes valoradas en ), por lo que este artículo, como la mayoría de los autores, asumirá automáticamente sin comentarios que siempre que se necesite esta suposición.
Ejemplos básicos
Ejemplos nombrados
El conjunto singleton se llama indiscreto ofiltro trivial en[25] [11] Es elfiltro mínimo únicoen porque es un subconjunto de cada filtro en ; sin embargo, no es necesario que sea un subconjunto de cada prefiltro en
El ideal dual también se llama filtro degenerado en[10] (a pesar de que en realidad no es un filtro). Es el único ideal dual en eso no es un filtro en
Si es un espacio topológico y luego el filtro de barrio a es un filtro en Por definición, una familia de subconjuntos de se llama base de vecindario (resp. subbase de vecindario ) en por si y solo si es un prefiltro (resp. es una subbase de filtro) y el filtro en que genera es igual al filtro de vecindad La subfamilia de barrios abiertos es una base de filtro para Ambos prefiltros y también forman una base para topologías en con la topología generada siendo más tosco que Este ejemplo se generaliza inmediatamente de vecindarios de puntos a vecindarios de subconjuntos no vacíos.
es un prefiltro elemental [26] si por alguna secuencia en
es un filtro elemental o unFiltro secuencial de[27] si es un filtro en generado por algún prefiltro elemental. El filtro de colas generadas por una secuencia que no es el tiempo constante es necesariamente no un ultrafiltro. [28] Cada filtro principal en un conjunto contable es secuencial como lo es cada filtro cofinito en un conjunto infinito numerable. [10] La intersección de un número finito de filtros secuenciales es nuevamente secuencial. [10]
El conjunto de todos los subconjuntos cofinitos de (es decir, aquellos conjuntos cuyo complemento en es finito) es apropiado si y solo si es infinito (o equivalentemente, es infinito), en cuyo caso es un filtro en conocido como el filtro de Fréchet o el
filtro cofinite en[11] [25] Si es finito entonces es igual al ideal dual que no es un filtro. Si es infinito entonces la familia de complementos de conjuntos singleton es una subbase de filtro que genera el filtro Fréchet en Como con cualquier familia de sets eso contiene el núcleo del filtro Fréchet en es el conjunto vacío:
La intersección de todos los elementos de cualquier familia no vacía. es en sí mismo un filtro en llamado el límite inferior mínimo o mayor de en razón por la cual se puede denotar por Dicho de otra manera, Porque cada filtro en posee como subconjunto, esta intersección nunca está vacía. Por definición, el mínimo es el más fino / más grande (en relación con y ) filtro contenido como un subconjunto de cada miembro de [11]
Si y son filtros, entonces su mínimo en es el filtro [9] Si y son prefiltros entonces es un prefiltro y uno de los mejores (con respecto a ) prefiltros más gruesos (con respecto a ) que ambos y ; eso es, si es un prefiltro tal que y luego [9] De manera más general, si y son familias no vacías y si luego y es un elemento mayor (con respecto a) de [9]
Dejar y deja El supremum o menos límite superior de en denotado por es el más pequeño (relativo a ) doble ideal en que contiene cada elemento de como un subconjunto; es decir, es el más pequeño (relativo a) doble ideal en conteniendo como un subconjunto. Este doble ideal es dónde es el sistema π generado por Al igual que con cualquier familia de conjuntos no vacíos, está contenido en algún filtro en si y solo si es una subbase de filtro, o de manera equivalente, si y solo si es un filtro en en cuyo caso esta familia es la más pequeña (en relación con ) filtrar en que contiene cada elemento de como un subconjunto y necesariamente
Dejar y deja El supremum o menos límite superior de en denotado por si existe, es por definicin el ms pequeo (relativo a ) filtrar en que contiene cada elemento de como un subconjunto. Si existe entonces necesariamente[11] (como se define arriba) y también será igual a la intersección de todos los filtros en conteniendo Este supremo de en existe si y solo si el ideal dual es un filtro en El límite superior mínimo de una familia de filtros puede no ser un filtro. [11] De hecho, si contiene al menos 2 elementos distintos, entonces existen filtros y en para el cual no existe un filtro en que contiene ambos y Si no es una subbase de filtro, entonces el supremo de en no existe y lo mismo es cierto de su supremo en pero su supremo en el conjunto de todos los ideales duales en existirá (siendo el filtro degenerado ). [10]
Si y son prefiltros (resp. filtros en ) luego es un prefiltro (resp. un filtro) si y solo si no es degenerado (o dicho de otra manera, si y solo si y malla), en cuyo caso es uno de los prefiltros más gruesos (resp. el filtro más grueso) en (con respecto a ) que es más fino (con respecto a ) que ambos y ; esto significa que si es cualquier prefiltro (resp. cualquier filtro) tal que y entonces necesariamente [9] en cuyo caso se denota por[10]
Dejar y ser conjuntos no vacíos y para cada dejar ser un ideal dual en Si es cualquier ideal dual en luego es un ideal dual en llamado ideal dual de Kowalsky o filtro de Kowalsky . [17]
Otros ejemplos
Dejar y deja que hace un prefiltro y una subbase de filtro que no está cerrada bajo intersecciones finitas. Porque es un prefiltro, el prefiltro más pequeño que contiene es El sistema π generado por es En particular, el prefiltro más pequeño que contiene la subbase del filtro no es igual al conjunto de todas las intersecciones finitas de conjuntos en El filtro en generado por es Los tres de el π -sistema genera, y son ejemplos de prefiltros ultra prefiltros fijos que son principales en el punto ; también es un ultrafiltro en
Dejar ser un espacio topológico, y definir dónde es necesariamente más fino que [29] Si no está vacío (resp. no degenerado, una subbase de filtro, un prefiltro, cerrado bajo uniones finitas), entonces lo mismo es cierto para Si es un filtro en luego es un prefiltro pero no necesariamente un filtro en aunque es un filtro en equivalente a
El conjunto de todos los subconjuntos abiertos densos de un espacio topológico (no vacío) es un sistema π adecuado y, por lo tanto, también un prefiltro. Si (con ), luego el conjunto de todo tal que tiene una medida de Lebesgue finita es un sistema π adecuado y un prefiltro que también es un subconjunto adecuado de Los prefiltros y generar el mismo filtro en
Este ejemplo ilustra una clase de subbase de filtros. donde todo se pone en ambos y su sistema π generado se puede describir como conjuntos de la forma de modo que, en particular, no más de dos variables (es decir, y ) son necesarios para describir el sistema π generado. Sin embargo, esto no es típico y, en general, no se debe esperar de una subbase de filtro.eso no es un sistema π . Más a menudo, una intersección de conjuntos de normalmente requerirá una descripción que involucre variables que no se pueden reducir a sólo dos (considere, por ejemplo, si ). Para todos dejar dónde por lo que no se pierde ninguna generalidad al agregar la suposición Por todo real y Si o luego [nota 5] Para cada dejar y deja [nota 6] Deja y supongo no es un conjunto singleton. Luego es una subbase de filtro pero no un prefiltro y es el sistema π que genera, de modo que es el filtro más pequeño único en conteniendo Sin emabargo, no es un filtro en (tampoco es un prefiltro porque no está dirigido hacia abajo, aunque es una subbase de filtro) y es un subconjunto adecuado del filtro Si son intervalos no vacíos, entonces las subbases de filtro y generar el mismo filtro en si y solo si Si es una familia tal que luego es un prefiltro si y solo si es real existen reales tal que y Si es un prefiltro de este tipo para cualquier la familia también es un prefiltro que satisface Esto muestra que no puede existir un mínimo (con respecto a ) prefiltro que ambos contienen y es un subconjunto del sistema π generado por Esto sigue siendo cierto incluso si el requisito de que el prefiltro sea un subconjunto de es removido.
Ultrafiltros
Hay muchas otras caracterizaciones de "ultrafiltro" y "ultraprefiltro", que se enumeran en el artículo sobre ultrafiltros . En ese artículo también se describen propiedades importantes de los ultrafiltros.
Una familia no vacía de conjuntos es / es un:
Ultra [8] [30] si y se cumple alguna de las siguientes condiciones equivalentes:
Para cada set existe un conjunto tal que o (o de manera equivalente, tal que es igual a o ).
Para cada set existe un conjunto tal que es igual a o
Esta caracterización de " es ultra "no depende del conjunto así que mencionando el set es opcional cuando se usa el término "ultra".
Para cada set (no necesariamente incluso un subconjunto de ) existe algún conjunto tal que es igual a o
Si satisface esta condición entonces también lo hace cada superconjunto En particular, un conjunto es ultra si y solo si y contiene como subconjunto algunos conjuntos de ultrafamilia.
Ultra prefiltro [8] [30] si es un prefiltro que también es ultra. De manera equivalente, es una subbase de filtro ultra. Un prefiltro es ultra si y solo si cumple alguna de las siguientes condiciones equivalentes:
es máximo en con respecto a lo que significa que si luego implica
Si luego implica
es ultra (y por lo tanto un ultrafiltro).
es equivalente (con respecto a ) a algún ultrafiltro.
Una subbase de filtro que es ultra es necesariamente un prefiltro. Una subbase de filtro es ultra si y solo si es una subbase de filtro máxima con respecto a(como anteriormente). [31]
Ultrafiltro encendido[8] [30] si es un filtro eneso es ultra. De manera equivalente, un ultrafiltro en es un filtro en que satisfaga cualquiera de las siguientes condiciones equivalentes:
es generado por un ultra prefiltro.
Para cualquier o [17]
Esta condición se puede reformular como: está dividido por y es dual
Los conjuntos y son disjuntos siempre que es un prefiltro.
es un ideal. [31]
Para cualquier Si luego o
Para cualquier Si luego o (un filtro con esta propiedad se denomina filtro principal ).
Esta propiedad se extiende a cualquier unión finita de dos o más conjuntos.
Para cualquier Si y entonces tampoco o
es un filtro máximo en; lo que significa que si es un filtro en tal que luego
Un ultra prefiltro tiene una caracterización similar en términos de maximalidad con respecto a donde en el caso especial de los filtros, si y solo si
Porque es para filtros el análogo de "es una subred de" (específicamente, "subred" debe significar "subred AA", que se define a continuación) un ultrafiltro puede interpretarse como análogo a algún tipo de "red de máxima profundidad". Esta idea es realmente rigurosa gracias a las ultranets .
Cualquier familia no degenerada que tenga un conjunto singleton como elemento es ultra, en cuyo caso será un prefiltro ultra si y solo si también tiene la propiedad de intersección finita. El filtro trivial en es ultra si y solo si es un conjunto singleton.
El lema del ultrafiltro
El siguiente teorema importante se debe a Alfred Tarski (1930). [32]
El lema / principal / teorema del ultrafiltro [11] ( Tarski ) - Cada filtro en un conjunto es un subconjunto de algunos ultrafiltros en
Una consecuencia del lema del ultrafiltro es que cada filtro es igual a la intersección de todos los ultrafiltros que lo contienen. [11] [prueba 1] Suponiendo los axiomas de Zermelo-Fraenkel (ZF) , el lema del ultrafiltro se deriva del axioma de elección (en particular del lema de Zorn ) pero es estrictamente más débil que él. El lema del ultrafiltro implica el axioma de elección para conjuntos finitos. Si solo se trata de espacios de Hausdorff , entonces la mayoría de los resultados básicos (como se encuentran en los cursos introductorios) en topología (como el teorema de Tychonoff para espacios compactos de Hausdorff y el teorema de la subbase de Alexander ) y en el análisis funcional (como el teorema de Hahn-Banach ) pueden ser probado usando solo el lema del ultrafiltro; Puede que no se necesite toda la fuerza del axioma de elección.
Gratis, principal y kernels
El kernel es útil para clasificar propiedades de prefiltros y otras familias de conjuntos.
El núcleo [6] de una familia de conjuntos es la intersección de todos los conjuntos que son elementos de
Si entonces para cualquier punto si y solo si
Propiedades de los granos
Si luego y este conjunto también es igual al núcleo del sistema π que es generado por En particular, si es una subbase de filtro, entonces los núcleos de todos los siguientes conjuntos son iguales:
(1) (2) el sistema π generado por y (3) el filtro generado por
Si es un mapa entonces y Si luego mientras que si y son equivalentes entonces Si y son principales, entonces son equivalentes si y solo si
Clasificación de familias de conjuntos por sus núcleos
Una familia de conjuntos es / es un:
Gratis [7] si o de manera equivalente, si ; esto se puede reformular como
Un filtro en es gratis si y solo si es infinito y contiene el filtro Fréchet en como un subconjunto.
Fijo si en ese caso, se dice que está fijado por cualquier punto
Cualquier familia fija es necesariamente una subbase de filtro.
Principal [7] si
Una familia de conjuntos principal adecuada es necesariamente un prefiltro.
Discreto oPrincipal en[25] si
El filtro principal en en es el filtro Un filtro es director en si y solo si
Contablemente profundo si cuando sea es un subconjunto contable entonces [10]
Familia de ejemplos: para cualquier la familia es gratis pero es una subbase de filtro si y solo si no hay unión finita de la forma cubre en cuyo caso el filtro que genera también será gratuito. En particular, es una subbase de filtro si es contable (p. ej. los primos), un escaso conjunto en un conjunto de medida finita, o un subconjunto acotado de Si es un conjunto singleton entonces es una subbase para el filtro Fréchet en
Para cada filtro en existe un par único de ideales duales y en tal que está libre, es principal, y y y no mallas (es decir ). El ideal dualse llama la parte libre de tiempo se denomina parte principal [10] donde se filtra al menos uno de estos ideales duales. Si es principal entonces y ; de lo contrario, y es un filtro gratuito (no degenerado). [10]
Caracterizaciones de ultra prefiltros fijos
Si una familia de conjuntos es fijo (es decir ) luego es ultra si y solo si algún elemento de es un conjunto singleton, en cuyo caso será necesariamente un prefiltro. Cada prefiltro principal es fijo, por lo que un prefiltro principal es ultra si y solo si es un conjunto singleton.
Cada filtro activado que es principal en un solo punto es un ultrafiltro, y si además es finito, entonces no hay ultrafiltros en que no sean estos. [7]
El siguiente teorema muestra que cada ultrafiltro cae en una de dos categorías: o es gratis o es un filtro principal generado por un solo punto.
Proposición - Si es un ultrafiltro en Entonces los siguientes son equivalentes:
es fijo, o equivalentemente, no libre, lo que significa
es principal, significado
Algún elemento de es un conjunto finito.
Algún elemento de es un conjunto singleton.
es principal en algún momento de lo que significa para algunos
no no contener el filtro de Fréchet
es secuencial. [10]
Prefiltros finitos y conjuntos finitos
Si una subbase de filtro es finito, entonces es fijo (es decir, no libre); esto es porque es una intersección finita y la subbase del filtro tiene la propiedad de intersección finita. Un prefiltro finito es necesariamente principal, aunque no tiene que estar cerrado en intersecciones finitas.
Si es finito, entonces todas las conclusiones anteriores son válidas para cualquier En particular, en un conjunto finito no hay subbases de filtros libres (o prefiltros), todos los prefiltros son principales y todos los filtros están activados son filtros principales generados por sus núcleos (no vacíos).
El filtro trivial es siempre un filtro finito en y si es infinito, entonces es el único filtro finito porque un filtro finito no trivial en un conjunto es posible si y solo si es finito. Sin embargo, en cualquier conjunto infinito hay subbases de filtros no triviales y prefiltros que son finitos (aunque no pueden ser filtros). Si es un conjunto singleton, entonces el filtro trivial es el único subconjunto adecuado de Este conjunto es un ultra prefiltro principal y cualquier superconjunto (dónde y ) con la propiedad de intersección finita también será un ultra prefiltro principal (incluso si es infinito).
Más fino / más grueso, subordinado y entrelazado
El preorder que se define a continuación es de fundamental importancia para el uso de prefiltros (y filtros) en topología. Por ejemplo, este preorden se usa para definir el prefiltro equivalente de "subsecuencia", [24] donde ""se puede interpretar como" es una subsecuencia de "(por lo que" subordinado a "es el prefiltro equivalente a" subsecuencia de "). También se utiliza para definir la convergencia del prefiltro en un espacio topológico. La definición de encaja con que está estrechamente relacionado con el pedido anticipado se utiliza en Topología para definir puntos de clúster .
{{Marco de cotización | 1 = Dos familias de conjuntos y mesh [8] y son compatibles , indicado por escrito Si para todos y Si y no se engranan, entonces se disocian . Si y luego y se dice que se enredan si y malla, o de manera equivalente, si el rastro de en cual es la familia
no contiene el conjunto vacío, donde la traza también se llama restricción de a
Declarar que y declarado como es más grueso que y es más fino que (o subordinado a ) [11] [12] [13] [9] [10] si se cumple alguna de las siguientes condiciones equivalentes:
Definición: Cada contiene algunos Explícitamente, esto significa que para cada hay algunos tal que
Dicho más brevemente en un inglés sencillo, si cada set en es más grande que algunos establecidos en Aquí, un "conjunto más grande" significa un superconjunto.
para cada
En palabras, dice exactamente que es más grande que algunos establecidos en La equivalencia de (a) y (b) sigue inmediatamente.
De esta caracterización se deduce que si son familias de conjuntos, entonces si y solo si para todos
que es equivalente a ;
;
que es equivalente a ;
y si ademas está cerrado hacia arriba, lo que significa que entonces esta lista se puede ampliar para incluir:
[6]
Entonces, en este caso, esta definición de "es más fino que"sería idéntica a la definición topológica de" más fino " si y han estado topologías en
Si una familia cerrada ascendente es más fino que (es decir ) pero luego se dice que es estrictamente más fino que y es estrictamente más tosco que
Dos familias y son comparables si uno de estos conjuntos es más fino que el otro. [11]
Prueba
A lo largo de esta prueba, "conjunto" significará "subconjunto de "a menos que se indique lo contrario. Un" conjunto más grande "significa un superconjunto. Esta prueba está escrita con el objetivo de hacer la prueba de cada implicación lo más clara intuitivamente como sea posible. Por esta razón, está escrita en un estilo más conversacional y también intenta para limitar la asignación de símbolos a conjuntos en Debido a la caracterización (b), no sería beneficioso intentar esto con conjuntos en
La declaración (a) define donde por definición, si y solo si
cada set en es más grande que algunos establecidos en
( def )
Si es un conjunto entonces si y solo si es más grande que algunos establecidos en La equivalencia de (b) y (def) sigue inmediatamente. Los corolarios de la parte (b) dados en el enunciado de la proposición ahora son válidos y se usarán más adelante.
Si (def) es verdadero, entonces seguirá siendo verdadero sies reemplazado por una subfamilia más pequeña. Por esta razón, implica que es exactamente (d) ⇒ (def) . De manera similar, (e) ⇒ (c) .
Si (def) es verdadero, entonces seguirá siendo verdadero sise agranda. Por esta razón, implica que es exactamente (def) ⇒ (c) . De manera similar, (d) ⇒ (e) .
Si es un conjunto que es más grande que algunos conjuntos en entonces también lo es cada superconjunto de Por definición, consiste exactamente en todos los superconjuntos de Por esta razón, utilizando el corolario de (b) , si luego En consecuencia, si (def) se cumple entonces para cada así que tomando la unión de estas familias como se extiende sobre el corolario de (b) da
Esto prueba que (def) ⇒ (d) . Aplicando (def) ⇒ (d) con en lugar de prueba (c) ⇒ (e) . Hasta ahora hemos establecido que (d) ⇔ (a) ⇔ (b) y (c) ⇔ (e) así como (a) ⇒ (c) . Queda por mostrar (c) ⇒ (a) y justificar por qué puede ser reemplazado con en los enunciados (c) y (e).
Por definición, el cierre al alza consta de todos los conjuntos más grandes que algunos conjuntos en Dicho de otra manera, si es un conjunto entonces
es más grande que algunos establecidos en
( ↑ X def )
Restringiendo sobrepasar se sigue de (↑ X def) que(def) se cumple, donde el lado izquierdo de esta equivalencia es el enunciado (c). Acabamos de demostrar que
si y solo si
Por definición, está cerrado hacia arriba si y solo si en cuyo caso la equivalencia anterior se convierte en: (f) ⇔ (a) . En particular, porque la familia siempre está cerrado hacia arriba, esto da inmediatamente:
y tambien que
Queda por mostrar (c) ⇒ (a) . Por (↑ X def) , si un conjunto es en luego es más grande que algunos establecidos en En particular, si algunos establecen es más grande que algunos establecidos en (llámalo ) luego será necesariamente más grande que algunos establecidos en En breve, implica El corolario de (b) nos permite concluir que implica que es (c) ⇒ (a) .
Asumir que y son familias de conjuntos que satisfacen y Luego y implica y también implica Si además de es una subbase de filtro y luego es una subbase de filtro [9] y también y malla. [19] [prueba 2] De manera más general, si ambos y y si la intersección de dos elementos cualesquiera de no está vacío, entonces y malla. [prueba 2] Cada subbase de filtro es más burda que el sistema π que genera y el filtro que genera. [9]
Si y son familias tales que la familia es ultra, y luego es necesariamente ultra. De ello se deduce que cualquier familia que es equivalente a una familia de ultra necesariamente ser Ultra. En particular, si es un prefiltro, entonces ambos y el filtro que genera son ultra o ninguno es ultra. Si una subbase de filtro es ultra entonces es necesariamente un prefiltro, en cuyo caso el filtro que genera también será ultra. Una subbase de filtroque no es un prefiltro no puede ser ultra; pero, no obstante, es posible que el prefiltro y el filtro generados porser ultra. Si y está cerrado hacia arriba en luego si y solo si [10]
Propiedades relacionales de la subordinación
La relación es reflexivo y transitivo , lo que lo convierte en un preorden en[33]
Simetría : para cualquier si y solo si Entonces el set tiene más de un punto si y solo si la relación en no es simétrico .
Antisimetría : Si luego pero si bien lo contrario no se cumple en general, sí se cumple si está cerrado hacia arriba (como si es un filtro). Dos filtros son equivalentes si y solo si son iguales, lo que hace que la restricción de a antisimétrico . Pero en general,no es antisimétrico en ni en ; es decir, y no no implica necesariamente; ni siquiera si ambos y son prefiltros. [13] Por ejemplo, si es un prefiltro pero no un filtro, entonces y pero
Familias equivalentes de conjuntos
El preorder induce su relación de equivalencia canónica en donde para todos es equivalente asi se cumple alguna de las siguientes condiciones equivalentes: [9] [6]
y
Los cierres al alza de y son iguales.
Dos cerrados hacia arriba (en ) subconjuntos de son equivalentes si y solo si son iguales. [9] Si entonces necesariamente y es equivalente a Cada clase de equivalencia que no sea contiene un representante único (es decir, elemento de la clase de equivalencia) que está cerrado hacia arriba en [9]
Propiedades conservadas entre familias equivalentes
Dejar ser arbitrario y dejar ser cualquier familia de conjuntos. Si y son equivalentes (lo que implica que ) entonces, para cada una de las declaraciones / propiedades enumeradas a continuación, es cierto para ambas y o si no es falso de ambos y : [33]
No vacío
Adecuado (es decir no es un elemento)
Además, dos familias degeneradas cualesquiera son necesariamente equivalentes.
Filtrar subbase
Prefiltro
En ese caso y generar el mismo filtro en (es decir, sus cierres al alza en son iguales).
Libre
Principal
Ultra
Es igual al filtro trivial
En palabras, esto significa que el único subconjunto de que es equivalente al filtro trivial es el filtro trivial. En general, esta conclusión de igualdad no se extiende a los filtros no triviales (a menos que ambas familias sean filtros).
Malla con
Es más fino que
Es más tosco que
Es equivalente a
En la lista anterior falta la palabra "filtro" porque esta propiedad no se conserva mediante equivalencia. Sin embargo, si y son filtros activados entonces son equivalentes si y solo si son iguales; esta caracterización no se extiende a los prefiltros.
Equivalencia de prefiltros y subbases de filtro
Si es un prefiltro en entonces las siguientes familias son siempre equivalentes entre sí:
;
el sistema π generado por;
el filtro en generado por ;
Además, estas tres familias generan el mismo filtro en (es decir, los cierres al alza en de estas familias son iguales).
En particular, cada prefiltro es equivalente al filtro que genera. Por transitividad, dos prefiltros son equivalentes si y solo si generan el mismo filtro. [9] [prueba 3] Cada prefiltro equivale exactamente a un filtro encuál es el filtro que genera (es decir, el cierre hacia arriba del prefiltro). Dicho de otra manera, cada clase de equivalencia de prefiltros contiene exactamente un representante que es un filtro. De esta manera, los filtros pueden considerarse simplemente elementos distinguidos de estas clases de equivalencia de prefiltros. [9]
Una subbase de filtro que no sea también un prefiltro no puede ser equivalente al prefiltro (o filtro) que genera. Por el contrario, cada prefiltro es equivalente al filtro que genera. Esta es la razón por la que los prefiltros pueden, en general, usarse indistintamente con los filtros que generan, mientras que las subbase de filtros no. Cada filtro es tanto un π -system y un anillo de conjuntos .
Ejemplos de determinación de equivalencia / no equivalencia
Ejemplos: Let y deja ser el set de enteros (o el conjunto ). Definir los conjuntos
y
Los tres conjuntos son subbase de filtros, pero ninguno tiene filtros en y solo es prefiltro (de hecho, es incluso un libre y cerrado bajo intersecciones finitas). El conjunto se fija mientras es gratis (a menos que ). Satisfacenpero no hay dos de estos conjuntos equivalentes; además, no hay dos de los filtros generados por estas tres subbases de filtros que sean equivalentes / iguales. Se puede llegar a esta conclusión mostrando que los sistemas π que generan no son equivalentes. A diferencia decada conjunto en los sistemas π generados por contiene como un subconjunto, [nota 7] que es lo que evita que sus sistemas π generados (y por lo tanto sus filtros generados) sean equivalentes. Si fue en cambio o entonces las tres familias serían libres y aunque los conjuntos y permanecerían no equivalentes entre sí, sus sistemas π generados serían equivalentes y, en consecuencia, generarían el mismo filtro en; Sin embargo, este filtro común aún sería estrictamente más tosco que el filtro generado por
Establecer propiedades teóricas, ejemplos y construcciones con prefiltros.
Rastreo y mallado
Rastreo y mallado
Si es un prefiltro (resp. filtro) en y entonces el rastro de en cual es la familia es un prefiltro (resp. un filtro) si y solo si y malla (es decir [11] ), en cuyo caso el rastro de en se dice que es inducido por. Si es ultra y si y malla entonces el rastro es ultra. Si es un ultrafiltro en entonces el rastro de en es un filtro en si y solo si
Por ejemplo, suponga que es un filtro en y es tal que y Luego y malla y genera un filtro en que es estrictamente más fino que [11]
Cuando los prefiltros engranan
Dadas familias no vacías y la familia
satisface y Si es apropiado (resp. un prefiltro, una subbase de filtro) entonces esto también es cierto para ambos y Con el fin de hacer deducciones significativas sobre de y debe ser adecuado (es decir que es la motivación para la definición de "malla". En este caso, es un prefiltro (resp. subbase de filtro) si y solo si esto es cierto para ambos y Dicho de otra manera, si y son prefiltros, entonces se engranan si y solo si es un prefiltro. La generalización da una caracterización bien conocida de "malla" enteramente en términos de subordinación (es decir,):
Dos prefiltros (resp. Subbase de filtros) y Malla si y solo si existe un prefiltro (resp. subbase de filtro) tal que y
Si el límite superior mínimo de dos filtros y existe en entonces este límite superior mínimo es igual a [28]
Productos y otros ejemplos
Productos de prefiltros
Suponer es una familia de uno o más conjuntos no vacíos, cuyo producto será denotado por y para cada índice dejar
denotar la proyección canónica. Dejar ser familias no vacías, también indexadas por tal que para cada El producto de las familias[11] se define de manera idéntica a cómo se definen los subconjuntos abiertos básicos de la topología del producto (si todos estossido topologías). Es decir, ambas notaciones
denotar la familia de todos los subconjuntos tal que para todos, pero para un número finito y donde para cualquiera de estos finitamente muchos que satisfacen es necesariamente cierto que Esta familia también es igual a [11]
Si es una subbase de filtro, entonces el filtro en que genera se llama filtro generado por. [11] Si cada es un prefiltro en luego será un prefiltro en y además, este prefiltro es igual al prefiltro más grueso en tal que para cada [11] Sin embargo, puede no ser un filtro en incluso si cada es un filtro en [11]
Establecer restando un subconjunto del kernel
Si es un prefiltro en y luego es un prefiltro, donde este último conjunto es un filtro si y solo si es un filtro y En particular, si es una base de vecindario en un punto en un espacio topológico tener al menos 2 puntos, entonces es un prefiltro en Esta construcción se utiliza para definir en términos de convergencia del prefiltro.
Relación dual y cierre hacia abajo
Hay una relación dual o que se define para significar que cada está contenido en algunos Explícitamente, esto significa que para cada , hay algunos tal que Esta relación es dual para en el sentido de que si y solo si [6] La relación está estrechamente relacionado con el cierre descendente de una familia de una manera similar a cómo está relacionado con la familia de cierre ascendente.
Usando la dualidad entre ideales e ideales duales
Dejar ser un mapa y supongamos que Definir
que contiene el conjunto vacío si y solo si lo hace. Es posible que ser un ultrafiltro y para estar vacío o no cerrado en intersecciones finitas (ver nota a pie de página, por ejemplo). [nota 8] Aunque no conserva muy bien las propiedades de los filtros, si está cerrado hacia abajo (resp. cerrado bajo uniones finitas, un ideal) entonces esto también será cierto para El uso de la dualidad entre ideales e ideales duales permite la construcción del siguiente filtro.
Suponer es un filtro en y deja ser su dual en Si luego es dual será un filtro.
Otros ejemplos topológicos
Ejemplo: el conjunto de todos los subconjuntos densos abiertos de un espacio topológico es un sistema π adecuado y un prefiltro. Si el espacio es un espacio de Baire , entonces el conjunto de todas las intersecciones contables de subconjuntos abiertos densos es un sistema π y un prefiltro que es más fino que
Ejemplo: la familia de todos los conjuntos abiertos densos de tener una medida de Lebesgue finita es un sistema π adecuado y un prefiltro libre. El prefiltro está correctamente contenido en, y no es equivalente a, el prefiltro que consta de todos los subconjuntos abiertos densos de Desde es un espacio de Baire , cada intersección contable de conjuntos en es denso en (y también comeagre y no escaso) por lo que el conjunto de todas las intersecciones contables de elementos dees un prefiltro y un sistema π ; también es más fino y no equivalente a,
Imágenes y preimágenes de filtros y prefiltros
A lo largo de, y serán mapas entre conjuntos no vacíos.
Imágenes de prefiltros
Dejar Muchas de las propiedades que pueden haber sido preservados bajo imágenes de mapas; las excepciones notables incluyen estar cerrado hacia arriba, estar cerrado bajo intersecciones finitas y ser un filtro, que no necesariamente se conservan.
Explícitamente, si una de las siguientes propiedades es verdadera de en entonces necesariamente también será cierto de en (aunque posiblemente no en el codominio a no ser que es sobreyectiva): [11] [14] [34] [35] [36] [32]
Propiedades del filtro: ultra, ultrafiltro, filtro, prefiltro, subbase de filtro, doble ideal, cerrado hacia arriba, adecuado / no degenerado.
Propiedades ideales: ideal, cerrado bajo uniones finitas, cerrado hacia abajo, dirigido hacia arriba.
Además, si es un prefiltro, entonces también lo son ambos y [11] La imagen debajo de un mapa de un ultra set es de nuevo ultra y si es un prefiltro ultra, entonces también lo es
Si es un filtro entonces es un filtro en la gama pero es un filtro en el codominio si y solo si es sobreyectiva. [34] De lo contrario, es solo un prefiltro en y su cierre hacia arriba debe tomarse en para obtener un filtro. El cierre ascendente de en es
donde si está cerrado hacia arriba en (es decir, un filtro) entonces esto se simplifica a:
Si luego tomando ser el mapa de inclusión muestra que cualquier prefiltro (resp. ultra prefiltro, subbase de filtro) en es también un prefiltro (resp. ultra prefiltro, subbase de filtro) en [11]
Preimágenes de prefiltros
Dejar Bajo el supuesto de que es sobreyectiva :
es un prefiltro (resp. filtro subbase, π - sistema, cerrado bajo uniones finitas, propiamente dicho) si y solo si esto es cierto de
Sin embargo, si es un ultrafiltro en entonces incluso si es sobreyectiva (lo que haría un prefiltro), aún es posible que el prefiltro no ser ni ultra ni un filtro en [35] (véase esta nota a pie de página [nota 9] como ejemplo).
Si no es sobreyectiva, entonces denota el rastro de en por donde en este caso particular la traza satisface:
y consecuentemente también:
Esta igualdad y el hecho de que el rastro es una familia de conjuntos sobre significa que sacar conclusiones sobre el rastro se puede utilizar en lugar de y la sobreyeccion se puede utilizar en lugar de Por ejemplo: [14] [11] [36]
es un prefiltro (resp. filtro subbase, π –sistema, adecuado) si y solo si esto es cierto de
De esta manera, el caso donde no es (necesariamente) sobreyectiva puede reducirse al caso de una función sobreyectiva.
Incluso si es un ultrafiltro en Si no es sobreyectiva, entonces es posible que que haría también degenerado. La siguiente caracterización muestra que la degeneración es el único obstáculo. Sies un prefiltro, entonces los siguientes son equivalentes: [14] [11] [36]
es un prefiltro;
es un prefiltro;
;
encaja con
y además, si es un prefiltro, entonces también lo es [14] [11]
Si y si denota el mapa de inclusión, luego el rastro de en es igual a la preimagen [11] Esta observación permite que los resultados de esta subsección se apliquen a la investigación de la traza en un lance.
Biyecciones, inyecciones y sobreyecciones
Todas las propiedades que involucran filtros se conservan bajo biyecciones. Esto significa que si y es una biyección, entonces es un prefiltro (resp. ultra, ultra prefiltro, filtro en ultrafiltro encendido filtro subbase, sistema π , ideal en etc.) si y solo si lo mismo es cierto de en [35]
Un mapa es inyectable si y solo si para todos los prefiltros en es equivalente a [28] La imagen de una ultrafamilia de conjuntos bajo una inyección es de nuevo ultra.
El mapa es una sobreyección si y solo si siempre es un prefiltro en entonces lo mismo es cierto de en (este resultado no requiere el lema del ultrafiltro).
La subordinación se conserva mediante imágenes y preimágenes
La relación se conserva tanto bajo imágenes como preimágenes de familias de conjuntos. [11] Esto significa que para cualquier familia y
implica [36] y [36]
Además, las siguientes relaciones siempre son válidas para cualquier familia de conjuntos:
[36]
donde la igualdad se mantendrá si es sobreyectiva. [36] Además,
y
Si y luego
si y solo si [10]
y [36] donde se mantendrá la igualdad sies inyectable. [36]
Convergencia, límites y puntos de agrupación
A lo largo de, es un espacio topológico .
Prefiltros vs.filtros
Con respecto a los mapas y subconjuntos, la propiedad de ser un prefiltro en general se comporta mejor y se conserva mejor que la propiedad de ser un filtro. Por ejemplo, la imagen de un prefiltro debajo de algún mapa es nuevamente un prefiltro; pero la imagen de un filtro bajo un mapa no sobreyectivo nunca es un filtro en el codominio, aunque será un prefiltro. La situación es la misma con las preimágenes en mapas no inyectables (incluso si el mapa es sobreyectivo). Si es un subconjunto adecuado, entonces cualquier filtro en no será un filtro en aunque será un prefiltro.
Una ventaja que tienen los filtros es que son representantes distinguidos de su clase de equivalencia (en relación con ), lo que significa que cualquier clase de equivalencia de prefiltros contiene un filtro único. Esta propiedad puede ser útil cuando se trata de clases de equivalencia de prefiltros (por ejemplo, son útiles para completar construcciones utilizando filtros de Cauchy). Las numerosas propiedades que caracterizan a los ultrafiltros también suelen ser útiles. Se utilizan para, por ejemplo, construir la compactación Stone-Čech . El uso de ultrafiltros generalmente requiere que se asuma el lema del ultrafiltro. Pero en los muchos campos en los que se asume el axioma de elección (o el teorema de Hahn-Banach ), el lema del ultrafiltro se cumple necesariamente y no requiere una suposición adicional.
Una nota sobre la intuición
Suponer que es un filtro no principal en un conjunto infinito tiene una propiedad "hacia arriba" (la de estar cerrado hacia arriba) y una propiedad "hacia abajo" (la de estar dirigido hacia abajo). Comenzando con cualquier siempre existe algo que es un subconjunto adecuado de; esto puede continuar ad infinitum para obtener una secuencia de conjuntos en con cada siendo un subconjunto adecuado deLo mismo no es cierto yendo "hacia arriba", porque si entonces no hay set en eso contiene como un subconjunto adecuado. Por lo tanto, cuando se trata de limitar el comportamiento (que es un tema central en el campo de la topología), ir "hacia arriba" conduce a un callejón sin salida , mientras que ir "hacia abajo" suele ser fructífero. Entonces, para comprender e intuir cómo los filtros (y el prefiltro) se relacionan con los conceptos en topología, la propiedad "descendente" suele ser en la que hay que concentrarse. Esta es también la razón por la que se pueden describir tantas propiedades topológicas utilizando solo prefiltros, en lugar de requerir filtros (que solo se diferencian de los prefiltros en que también están cerrados hacia arriba). La propiedad "ascendente" de los filtros es menos importante para la intuición topológica, pero a veces es útil tenerla por razones técnicas. Por ejemplo, con respecto a cada subbase de filtro está contenida en un filtro más pequeño único, pero es posible que no exista un prefiltro más pequeño único que lo contenga.
Límites y convergencia
La siguiente definición bien conocida se generalizará a los prefiltros. Si y luego se denomina punto límite , punto de agrupación o punto de acumulación de si cada barrio de en contiene un punto de diferente de o de manera equivalente, si El conjunto de todos los puntos límite de se llama el conjunto derivado de en El cierre de un set es igual a la unión de junto con el conjunto de todos los puntos límite de
Una familia se dice que converge en un punto en [8] escrito o en [29] si en ese caso se dice que es un límite o un punto límite de
En palabras, converge a un punto si y solo si es más fino que el filtro de vecindad en ese punto. Explícitamente, significa que cada barrio de contiene algunos como un subconjunto; lo siguiente entonces es válido:
Notación: o denotará [8] el conjunto de todos los puntos límite de en
Notación: como de costumbre, se define para significar que en y es el único punto límite de en (es decir, si en luego ). [29] (Si la notación " "tampoco exigía que el límite ser único, entonces el signo igual = ya no se garantizaría que sea transitivo).
De manera más general, dado
Si luego se dice que converge a en y se llama un límite de donde esto se expresa por escrito en
En las definiciones anteriores, basta con comprobar que es más fina que algunas (o equivalentemente, más fina que todas) las bases de vecindario en de o (por ejemplo, como o ). Si entonces porque una familia converge a si y solo si para todos Una familia converge a si y solo si razón por la cual cuando se trata de la convergencia de prefiltros (o subbases de filtro), generalmente se asume (a menudo sin mencionarlo) que
Dado los siguientes son equivalentes para un prefiltro :
converge a
converge al conjunto
converge a
Existe una familia equivalente a que converge a
Si es un prefiltro y luego converge a un punto (o subconjunto) de si y solo si esto es cierto de la traza [37] Si es una subbase de filtro que converge a o entonces esto también es cierto para el filtro que genera (y también para cualquier prefiltro equivalente a este filtro, como el sistema π generado por).
Debido a que la subordinación es transitiva, si luego y además, por cada ambas cosas y el máximo / ultrafiltro converger a en Así, cada espacio topológico induce una convergencia canónica definido por si y solo si En el otro extremo, el filtro de barrio es el filtro más pequeño (es decir, más grueso) en que converge a en es decir, cualquier filtro que converja en debe contener como un subconjunto. Dicho de otra manera, la familia de filtros que convergen para consiste exactamente en los que se filtran en que contienen como un subconjunto. En consecuencia, cuanto más fina sea la topología enentonces existen menos prefiltros que tengan puntos límite en
Puntos de clúster
Dilo es un punto de agrupación o punto de acumulación de una familia [8] si encaja con el filtro de vecindario en ; eso es, si
Explícitamente, esto significa que para cada y cada barrio de Cuándo es un prefiltro, entonces la definición de " y mesh "se puede caracterizar completamente en términos de preorden
Notación: el conjunto de todos los puntos de clúster de se denota por o
De manera más general, dado
dilo agrupaciones en Si encaja con el filtro de vecindad de ; eso es, si
En las definiciones anteriores, basta con comprobar que mallas con algunas (o de manera equivalente, mallas con cada) base de vecindario en de o Dos familias equivalentes de conjuntos tienen exactamente los mismos puntos límite y también los mismos puntos de agrupación. No importa la topología, para cada ambas cosas y el ultrafiltro principal agruparse en Para cualquier Si grupos en algunos luego agrupaciones en No hay grupos familiares en y si luego
Dado los siguientes son equivalentes para un prefiltro en :
agrupaciones en
racimos en el set
La familia generado por agrupaciones en
Existe una familia equivalente a que se agrupa en
para cada barrio de
Si es un filtro en luego si y solo si para cada barrio de
Existe un prefiltro subordinado a (es decir ) tal que
Este es el filtro equivalente a "es un punto de agrupación de una secuencia si y solo si existe una subsecuencia que converge a
En particular, si es un punto de agrupación de un prefiltro luego es un prefiltro subordinado a que converge a en
Si es un prefiltro ultra en y luego es un punto de agrupación de si y solo si en [30]
El conjunto de todos los puntos de clúster de un prefiltro en satisface
que en particular muestra que el conjunto de todos los puntos de clúster de cualquier prefiltro es un subconjunto cerrado de [38] [8] Esto también justifica la notaciónpara el conjunto de puntos de clúster. [8]
Propiedades y relaciones
Al igual que las secuencias y las redes, es posible para un prefiltro en un espacio topológico de cardinalidad infinita para no tener ningún puntos racimo o puntos límite. [38]
Si es un punto límite de luego es necesariamente un punto límite de cualquier familia más fino que (es decir, si y luego ). [38] Por el contrario, si es un punto de agrupación de luego es necesariamente un punto de agrupación de cualquier familia más grueso que (es decir, si y malla y luego y malla).
Familias equivalentes y subordinación
Dos familias equivalentes cualesquiera y se puede utilizar indistintamente en las definiciones de "límite de" y "agrupación en" porque su equivalencia garantiza que si y solo si y tambien que si y solo si En esencia, el preorder es incapaz de distinguir entre familias equivalentes. Dados dos prefiltros, si se entrelazan o no, se puede caracterizar completamente en términos de subordinación. Por lo tanto, los dos conceptos más fundamentales relacionados con los (pre) filtros de la topología (es decir, los puntos límite y de agrupamiento) pueden definirse completamente en términos de la relación de subordinación. Esta es la razón por la que el pedido anticipado es de gran importancia en la aplicación de (pre) filtros a la topología.
Relaciones de límites y puntos de clúster y condiciones suficientes
Cada punto límite de un prefiltro es también un punto de agrupación de ya que si es un punto límite de un prefiltro luego y malla, [19] [38] que hace un punto de racimo de [8] Cada punto de acumulación de un ultrafiltro también es un punto límite.
Si y es una subbase de filtro tal que en luego En particular, cualquier punto límite de una subbase de filtro subordinada a es necesariamente también un punto de agrupación de Si es un punto de agrupación de un prefiltro luego es un prefiltro subordinado a que converge a en
Si y si es un prefiltro en entonces cada punto de racimo de en pertenece a y cualquier punto en es un punto límite de un filtro en [38]
Conjuntos primitivos
Un subconjunto se llama primitivo [39] si es el conjunto de puntos límite de algún ultrafiltro en Es decir, si existe un ultrafiltro en tal que es igual a cuyo recuerdo denota el conjunto de puntos límite de en
Cualquier subconjunto cerrado singleton de es un subconjunto primitivo de [39] La imagen de un subconjunto primitivo de bajo un mapa continuo está contenido en un subconjunto primitivo de [39]
Asumir que son dos subconjuntos primitivos de Si es un subconjunto abierto de tal que luego para cualquier ultrafiltro en tal que [39] Además, si y son distintos, entonces existen algunos y unos ultrafiltros and on such that and [39]
Other results
If is a complete lattice then:[citation needed]
The limit inferior of is the infimum of the set of all cluster points of
The limit superior of is the supremum of the set of all cluster points of
is a convergent prefilter if and only if its limit inferior and limit superior agree; in this case, the value on which they agree is the limit of the prefilter.
Limits of functions defined as limits of prefilters
If is a map from a set into a topological space and then is a limit point or limit (respectively, a cluster point) of with respect to [38] if is a limit point (resp. a cluster point) of in in which case this may be expressed by writing or in If the limit is unique then the arrow may be replaced with an equals sign [29]
Explicitly, is a limit of with respect to if and only if
The definition of a convergent net is a special case of the above definition of a limit of a function. Specifically, if and is a net in then
in if and only if in
where the left hand side states that is a limit of the net while the right hand side states that is a limit of the function with respect to (as defined above).
The table below shows how various types of limits encountered in analysis and topology can be defined in terms of the convergence of images (under ) of particular prefilters on the domain This shows that prefilters provide a general framework into which many of the various definitions of limits fit.[37] The limits in the left–most column are defined in their usual way with their obvious definitions.
Throughout, let be a map between topological spaces, and If is Hausdorff then all arrows "" in the table may be replaced with equal signs "" and "" may be replaced with "".[29]
Type of limit
Definition in terms of prefilters[37]
Assumptions
⇔
where
⇔
where
or
⇔
where
and
⇔
where
⇔
where
⇔
where
⇔
where
⇔
where
⇔
where
so is a sequence in
⇔
where
⇔
where
⇔
where
or for a double-ended sequence
⇔
where
is a seminormed space (e.g. a Banach spacelike )
By defining different prefilters, many other notions of limits that can be defined (e.g. ).
Filters and nets
This article will describe the relationships between prefilters and nets in great detail so as to make it easier to understand later why subnets (with their most commonly used definitions) are not generally equivalent with "sub–prefilters".
Nets to prefilters
In the definitions below, the first statement is the standard definition of a limit point of a net (resp. a cluster point of a net) and it is gradually reword it until the corresponding filter concept is reached.
A net in is said to converge in to a point written in and is called a limit or limit point of [40] if any of the following equivalent conditions hold:
Definition: For every there exists some such that if then
For every there exists some such that the tail of starting at is contained in (i.e. such that ).
For every there exists some such that
in ; that is, the prefilter converges to in
Notation: As usual, is defined to mean that in and is the only limit point of in (i.e. if in then ). [40]
A point is called a cluster point or an accumulation point of a net in if any of the following equivalent conditions hold:
Definition: For every and every there exists some such that
For every and every the tail of starting at intersects ("intersects" means that the intersection is not empty).
For every and every
and mesh (by definition of "mesh").
is a cluster point of in
If is a map and is a net in then [4]
Prefilters to nets
A pointed set is a pair consisting of a non–empty set and an element For any family let
Define a canonical preorder on pointed sets by declaring
if and only if
If then and even if so this preorder is not antisymmetric and given any family of sets is partially ordered if and only if consists entirely of singleton sets. If then is a maximal element of ; moreover, all maximal elements are of this form. If then is a greatest element if and only if in which case is the set of all greatest elements. However, a greatest element is a maximal element if and only if so there is at most one element that is both maximal and greatest. There is a canonical map defined by If then the tail of the assignment starting at is
Although is not, in general, a partially ordered set, it is a directed set if (and only if) is a prefilter. So the most immediate choice for the definition of "the net in induced by a prefilter " is the assignment from into
If is a prefilter on then the net associated with is the map
defined by
If is a prefilter on then is a net in and the prefilter associated with is ; that is:
[note 10]
This would not necessarily be true had been defined on a proper subset of For example, suppose has at least two distinct elements, is the indiscrete filter, and is arbitrary. Had instead been defined on the singleton set where the restriction of to will temporarily be denote by then the prefilter of tails associated with would be the principal prefilter rather than the original filter ; this means that the equality is false, so unlike the prefilter can not be recovered from Worse still, while is the unique minimal filter on the prefilter instead generates a maximal filter (i.e. an ultrafilter) on
However, if is a net in then it is not in general true that is equal to because, for example, the domain of may be of a completely different cardinality than that of (since unlike the domain of the domain of an arbitrary net in could have any cardinality).
Proposition — If is a prefilter on and then
in if and only if in
is a cluster point of if and only if is a cluster point of
Proof —
Recall that and that if is a net in then (1) if and only if and (2) is a cluster point of if and only if is a cluster point of By using and it follows that if and only if if and only if It also follows that is a cluster point of if and only if is a cluster point of if and only if is a cluster point of
Ultranets and ultra prefilters
A net in is called an ultranet or universal net in if for every subset is eventually in or it is eventually in ; this happens if and only if is an ultra prefilter. A prefilter on is an ultra prefilter if and only if is an ultranet in
Partially ordered net
The domain of the canonical net is in general not partially ordered. However, in 1955 Bruns and Schmidt discovered[41] a construction, similar to a lexicographical order, that allows for the canonical net to have a domain that is both partially ordered and directed; this was independently rediscovered by Albert Wilansky in 1970.[4] Let and for any two elements and declare that if and only if and either: (1) or else (2) and (or equivalently, if and only if (1) and (2) implies ). This defines a strict partial order whose corresponding non−strict partial order, denoted by is defined by declaring that if and only if or Both and are serial and neither possesses a greatest element or a maximal element. Let be the map defined by If then just as with before, the tail of the starting at is equal to If is a prefilter on then is a net in whose domain is a partially ordered set and moreover, [4] Because the tails of and are identical (since both are equal to the prefilter ), there is typically nothing lost by assuming that the domain of the net associated with a prefilter is both directed and partially ordered.[4] If the set is replaced with the positive rational numbers then the strict partial order will also be a dense order.
Subordinate filters and subnets
The notion of " is subordinate to " (written ) is for filters and prefilters what " is a subsequence of " is for sequences.[24] For example, if denotes the set of tails of and if denotes the set of tails of the subsequence (where ) then (i.e. ) is true but is in general false. If is a net in a topological space and if is the neighborhood filter at a point then in if and only if
Subordination analogs of results involving subsequences
The following results are the prefilter analogs of statements involving subsequences.[42] The condition "" which is also written is the analog of " is a subsequence of " So "finer than" and "subordinate to" is the prefilter analog of "subsequence of." Some people prefer saying "subordinate to" instead of "finer than" because it is more reminiscent of "subsequence of."
Proposition[42][38] — Let be a prefilter on and let
Suppose is a prefilter such that
If in then in [proof 4]
This is the analog of "if a sequence converges to then so does every subsequence."
If is a cluster point of in then is a cluster point of in
This is the analog of "if is a cluster point of some subsequence, then is a cluster point of the original sequence."
in if and only if for any finer prefilter there exists some even more fine prefilter such that in [38]
This is the analog of "a sequence converges to if and only if every subsequence has a sub–subsequence that converges to "
is a cluster point of in if and only if there exists some finer prefilter such that in
This is the analog of " is a cluster point of a sequence if and only if it has a subsequence that converges to "
Non–equivalence of subnets and subordinate filters
A subset of a preordered space is frequent or cofinal in if for every there exists some such that If contains a tail of then is said to be eventual in ; explicitly, this means that there exists some such that (that is, for all such that ). A subset is eventual if and only if its complement is not frequent (i.e. infrequent).[43] A map between two preordered sets is order–preserving if whenever for
Subnets in the sense of Willard and subnets in the sense of Kelley are the most commonly used definitions of "subnet."[43] The first definition of a subnet was introduced by John L. Kelley in 1955.[43] Stephen Willard introduced his own variant of Kelley's definition of subnet in 1970.[43] AA–subnets were introduced independently by Smiley (1957), Aarnes and Andenaes (1972), and Murdeshwar (1983); AA–subnets were studied in great detail by Aarnes and Andenaes but they are not often used.[43]
Let and be nets. Then [43]
is a Willard–subnet of or a subnet in the sense of Willard if there exists an order–preserving map such that and is cofinal in
is a Kelley–subnet of or a subnet in the sense of Kelly if there exists a map such that and whenever is eventual in then is eventual in
is an AA–subnet of or a subnet in the sense of Aarnes and Andenaes if any of the following equivalent conditions are satisfied:
If is eventual in then is eventual in
For any subset if and mesh, then so do and
For any subset if then
Kelley did not require the map to be order preserving while the definition of an AA–subnet does away entirely with any map between the two nets' domains and instead focuses entirely on (i.e. the nets' common codomain). Every Willard–subnet is a Kelley–subnet and both are AA–subnets.[43] In particular, if is a Willard–subnet or a Kelley–subnet of then
AA–subnets have a defining characterization that immediately shows that they are fully interchangeable with sub(ordinate)filters.[43][44] Explicitly, what is meant is that the following statement is true for AA–subnets:
If and are prefilters then if and only if is an AA–subset of
If "AA–subnet" is replaced by "Willard–subnet" or "Kelley–subnet" then the above statement becomes false. In particular, the problem is that the following statement is in general false:
False statement: If and are prefilters such that then is a Kelley–subset of
Since every Willard–subnet is a Kelley–subnet, this statement remains false if the word "Kelley–subnet" is replaced with "Willard–subnet".
Counter example: For all let Let which is a proper π–system, and let where both families are prefilters on the natural numbers Because is to as a subsequence is to a sequence. So ideally, should be a subnet of Let be the domain of so contains a cofinal subset that is order isomorphic to and consequently contains neither a maximal nor greatest element. Let where is both a maximal and greatest element of The directed set also contains a subset that is order isomorphic to (because it contains which contains such a subset) but no such subset can be cofinal in because of the maximal element Consequently, any order–preserving map must be eventually constant (with value ) where is then a greatest element of the range Because of this, there can be no order preserving map that satisfies the conditions required for to be a Willard–subnet of (because the range of such a map cannot be cofinal in ). Suppose for the sake of contradiction that there exists a map such that is eventual in for all Because there exist such that with For every because is eventual in it is necessary that In particular, if then which by definition is equivalent to which is false. Consequently, is not a Kelley–subnet of [44]
If "subnet" is defined to mean Willard–subnet or Kelley–subnet then nets and filters are not completely interchangeable because there exists a filter–sub(ordinate)filter relationships that cannot be expressed in terms of a net–subnet relationship between the two induced nets. In particular, the problem is that Kelley–subnets and Willard–subnets are not fully interchangeable with subordinate filters. If the notion of "subnet" is not used (or if "subnet" is defined to mean AA–subnet) then this ceases to be a problem and so it becomes correct to say that nets and filters interchangeable. Despite the fact that AA–subnets do not have the problem that Willard and Kelley subnets have, they are not widely used or known about.[43][44]
Topologies and prefilters
Throughout, is a topological space.
Examples of relationships between filters and topologies
Bases and prefilters
Let be a family of sets that covers and define for every The definition of a base for some topology can be immediately reworded as: is a base for some topology on if and only if is a filter base for every If is a topology on and then the definitions of is a basis (resp. subbase) for can be reworded as:
is a base (resp. subbase) for if and only if for every is a filter base (resp. filter subbase) that generates the neighborhood filter of at
Neighborhood filters
The archetypical example of a filter is the set of all neighborhoods of a point in a topological space. Any neighborhood basis of a point in (or of a subset of) a topological space is a prefilter. In fact, the definition of a neighborhood base can be equivalently restated as: "a neighborhood base is any prefilter that is equivalent the neighborhood filter."
Neighborhood bases at points are examples of prefilters that are fixed but may or may not be principal. If has its usual topology and if then any neighborhood filter base of is fixed by (in fact, it is even true that ) but is not principal since In contrast, a topological space has the discrete topology if and only if the neighborhood filter of every point is a principal filter generated by exactly one point. This shows that a non–principal filter on an infinite set is not necessarily free.
The neighborhood filter of every point in topological space is fixed since its kernel contains (and possibly other points if, for instance, is not a T1 space). This is also true of any neighborhood basis at For any point in a T1 space (e.g. a Hausdorff space), the kernel of the neighborhood filter of is equal to the singleton set
However, it is possible for a neighborhood filter at a point to be principal but not discrete (i.e. not principal at a single point). A neighborhood basis of a point in a topological space is principal if and only if the kernel of is an open set. If in addition the space is T1 then so that this basis is principal if and only if is an open set.
Generating topologies from filters and prefilters
Suppose is not empty (and ). If is a filter on then is a topology on but the converse is in general false. This shows that in a sense, filters are almost topologies. Topologies of the form where is an ultrafilter on are an even more specialized subclass of such topologies; they have the property that every proper subset is either open or closed, but (unlike the discrete topology) never both.
If is a prefilter (resp. filter subbase, π–system, proper) on then the same is true of both and the set of all possible unions of one or more elements of If is closed under finite intersections then the set is a topology on with both and being bases for it. If the π–system covers then both and are also bases for If is a topology on then is a prefilter (or equivalently, a π–system) if and only if it has the finite intersection property (i.e. it is a filter subbase), in which case a subset will be a basis for if and only if is equivalent to in which case will be a prefilter.
Topologies on directed sets and net convergence
Let be a non–empty directed set and let where Then is a prefilter that covers and if is totally ordered then is also closed under finite intersections. This particular prefilter forms a base for a topology on in which all sets of the form are also open. The same is true of the topology on where is the filter on generated by With this topology, convergent nets can be viewed as continuous functions in the following way. Let be a topological space, let let be a net in and let denote the set of all open neighborhoods of If the net converges to in then is necessarily continuous although in general, the converse is false (e.g. consider if is constant and not equal to ). But if in addition to continuity, the preimage under of every is not empty, then the net will necessarily converge to in In this way, the empty set is all that separates net convergence and continuity.
Topological properties and prefilters
Throughout will be a topological space with
Neighborhoods and topologies
The neighborhood filter of a non–empty subset in a topological space is equal to the intersection of all neighborhood filters of all points in [28] If then is open in if and only if whenever is a filter on and then in implies
Suppose and are topologies on Then is finer than (i.e. ) if and only if whenever and is a filter on if in then in [39] Consequently, if and only if for every filter on and every in if and only if in [29] However, it is possible that while also for every filter on converges to some point of in if and only if converges to some point of in [29]
Closure
If and with then the following are equivalent:
is a limit point of the prefilter (i.e. in ).
There exists a prefilter on such that and in
There exists a prefilter on such that in [42]
is a cluster point of the prefilter
The prefilter meshes with the neighborhood filter
The prefilter meshes with some (or equivalently, with every) prefilter of
The following are equivalent:
is a limit points of in
There exists a prefilter on such that in [42]
Closed sets
If is not empty then the following are equivalent:
is a closed subset of
If and is a prefilter on such that in then
If and is a prefilter on such that is an accumulation points of in then [42]
If is such that the neighborhood filter meshes with then
The proof of this characterization depends the ultrafilter lemma, which depends on the axiom of choice.
Hausdorff
The following are equivalent:
is Hausdorff.
Every prefilter on converges to at most one point in [8]
The above statement but with the word "prefilter" replaced by any one of the following: filter, ultra prefilter, ultrafilter.[8]
Compactness
As discussed in this article, the Ultrafilter Lemma is closely related to many important theorems involving compactness.
The following are equivalent:
is a compact space.
Every ultrafilter on converges to at least one point in
That this condition implies compactness can be proven by using only the ultrafilter lemma. That compactness implies this condition can be proven without the ultrafilter lemma (or even the axiom of choice).
The above statement but with the words "prefilter" replaced by any one of the following: filter, ultrafilter.[45]
For every filter on there exists a filter on such that and converges to some point of
For every prefilter on there exists a prefilter on such that and converges to some point of
Every maximal (i.e. ultra) prefilter on converges to at least one point in [8]
The above statement but with the words "maximal prefilter" replaced by any one of the following: prefilter, filter, ultra prefilter, ultrafilter.
Every prefilter on has at least one cluster point in [8]
That this condition is equivalent to compactness can be proven by using only the ultrafilter lemma.
Alexander subbase theorem: There exists a subbase for such that every cover of by sets in has a finite subcover.
That this condition is equivalent to compactness can be proven by using only the ultrafilter lemma.
If is topological space and is the set of all complements of compact subsets of then is a filter on if and only if is not compact.
Theorem[45] — If is a filter on a compact space and is the set of cluster points of then every neighborhood of belongs to Thus a filter on a compact Hausdorff space converges if and only if it has a single cluster point.
Continuity
Let is a map between topological spaces and
Given the following are equivalent:
is continuous at
Definition: For every neighborhood of in there exists some neighborhood of in such that
is a filter base for ; that is, the upward closure of in is equal to [42]
in [42]
If is a filter on such that in then in
The above statement but with the word "filter" replaced by "prefilter".
The following are equivalent:
is continuous.
If and is a prefilter on such that in then in
If is a limit point of a prefilter on then is a limit point of in
Any one of the above two statements but with the word "prefilter" replaced by any one of the following: filter.
If is a prefilter on is a cluster point of and is continuous, then is a cluster point in of the prefilter [39]
Products
Suppose is a non–empty family of non–empty topological spaces and that is a family of prefilters where each is a prefilter on Then the product of these prefilters (defined above) is a prefilter on the product space which as usual, is endowed with the product topology.
If then in if and only if in for every
Suppose and are topological spaces, is a prefilter on having as a cluster point, and is a prefilter on having as a cluster point. Then is a cluster point of in the product space [39] However, if then there exist sequences and such that both of these sequences have a cluster point in but the sequence does not have a cluster point in [39]
Example application: The ultrafilter lemma along with the axioms of ZF imply Tychonoff's theorem for compact Hausdorff spaces:
Proof
Let be compact Hausdorff topological spaces. Assume that the ultrafilter lemma holds (because of the Hausdorff assumption, this proof does not need the full strength of the axiom of choice; the ultrafilter lemma suffices). Let be given the product topology (which makes a Hausdorff space) and for every let denote this product's projections. If then is compact and the proof is complete so assume Despite the fact that because the axiom of choice is not assumed, the projection maps are not guaranteed to be surjective.
Let be an ultrafilter on and for every let denote the ultrafilter on generated by the ultra prefilter Because is compact and Hausdorff, the ultrafilter converges to a unique limit point (because of 's uniqueness, this definition does not require the axiom of choice). Let where satisifes for every The characterization of convergence in the product topology that was given above implies that in Thus every ultrafilter on converges to some point of which implies that is compact (recall that this implication's proof only required the ultrafilter lemma).
Examples of applications of prefilters
Uniformities and Cauchy prefilters
A uniform space is a set equipped with a filter on that has certain properties. A base or fundamental system of entourages is a prefilter on whose upward closure is a uniform space. A prefilter on a uniform space with uniformity is called a Cauchy prefilter if for every entourage there exists some that is -small, which means that A minimal Cauchy filter is a minimal element (with respect to or equivalently, to ) of the set of all Cauchy filters on A uniform space is called complete (resp. sequentially complete) if every Cauchy prefilter (resp. every elementary Cauchy prefilter) on converges to at least one point of
Uniform spaces were the result of attempts to generalize notions such as "uniform continuity" and "uniform convergence" that are present in metric spaces. Every topological vector space, and more generally, every topological group can be made into a uniform space in a canonical way. Every uniformity also generates a canonical induced topology. Filters and prefilters play an important role in the theory of uniform spaces. For example, the completion of a Hausdorff uniform space (even if it is not metrizable) is typically constructed by using minimal Cauchy filters. Nets are less ideal for this construction because their domains are extremely varied (e.g. the class of all Cauchy nets is not a set); sequences cannot be used in the general case because the topology might not be metrizable, first-countable, or even sequential.
Convergence of nets of sets
Often, people prefer nets over filters or filters over nets. This example shows that the choice between nets and filters is not a dichotomy by combining them together.
If is a subset of a topological space then the set of open neighborhoods of in is a prefilter if and only if The same is true of the set of all neighborhoods of in The following definition generalizes the notion of the set of tails of a net of points in to nets of subsets of
A net of sets in is a net into the power set of ; that is, a net of sets in is a function from a non–empty directed set into A net of sets in is called a net of singleton (resp. non–empty, finite, ultra, etc.) sets in if every has this property. However, a "net in " will always refer to a net valued in and never to a net valued in But for emphasis or contrast to a net of subsets of a net in may also be referred to as a net of points in .
(Nets of points Nets of singleton sets): Every net of points in can be uniquely associated with the canonical net of (singleton) sets that it indices. Conversely, every net of singleton sets in is uniquely associated with a canonical net of points in (defined in the obvious way). Consideration of this bijective correspondence leads naturally to the following definition, which is completely analogous to the previously given definition of the tails of a net (of points) in
Suppose is a net of sets in Define for every index the tail of starting at to be the set
and define the set or family of tails generated by to be the family
where if then this set is called the prefilter or filter base of tails generated by while the upward closure of in is known as the filter of tails or eventuality filter in generated by
Given any net of points in it is readily seen that where is the canonical net of singleton sets associated with This makes it apparent that the following definition of "convergence of a net of sets" in is indeed a generalization of the original definition of "convergence of a net of points" in (because if and only if ).
A net of sets is said to converge in to a subset written in if in which recall was defined to mean that Similarly, is said to converge in to a point if in (that is, if and only if ).
The next subsection illustrates how the above definitions may be used to make rigorous certain intuitive/geometric ideas of convergence involving sets.
Prefilters and spaces of functions
Throughout, will be a topological space, will be a set, and the graph of a function will be denoted by Whenever it is needed, it should be automatically assumed that is also a topological space. Let be a family of maps from into (e.g. all continuous maps).
Recalling the definition of topologies of uniform convergence
Let be a family of sets over that is closed under all possible finite unions (e.g. all finite subsets of or all compact subsets of ), including the nullary union, which means that [note 11] Whenever it is necessary, it should be assumed that the union of all sets in is equal to Other assumptions on may also be necessary.[note 12]
Let denote the topology (on G {\displaystyle G}
) of uniform convergence on sets in C {\displaystyle {\mathcal {C}}}
, which recall is defined by the subbase consisting of all sets of the form
where ranges over and ranges over the open subset of If is the set of all finite subsets of then this topology is called the topology of pointwise convergence while if then it is called the topology of uniform convergence on X . {\displaystyle X.} If is a topological space and is the set of all compact subsets of then is commonly called the compact–open topology on or the topology of uniform convergence on compact subsets of
Characterizing convergence in function space topologies in terms of graphs
Convergence of maps in any one of the most well–known function space topologies (such as those mentioned above) is often imagined by visualizing the graphs of these maps as "moving towards the limit function's graph" in some way; this visualization is dependent on the particular function space topology. For example, suppose that is a metric space with metric (e.g. with the Euclidean metric) and let for any real The usual way that uniform convergence of a net (or sequence) of functions is visualized (e.g. as in a basic analysis course) is to view their graphs as "approaching" a given fixed graph (that of the limit function ), where given any real the graphs of are eventually all subsets of the neighborhood of 's graph (or equivalently, a tail of their graphs is a subset of ). This idea can be expressed rigorously as follows: a net of –valued maps on converges uniformly on to a map if and only if the prefilter of tails generated by is finer than the filter on generated by
This example is now generalized so as to demonstrate how prefilters may be harmoniously combined with nets to directly translate the intuitive geometric notions of "convergence of graphs" into characterizations of the usual notions of convergence in function space topologies. The topology on that will now be defined, which is in general different from the product topology, allows for a characterization of convergence of nets of functions in in terms of convergence of their induced net of graphs (which are subsets of ).
Let denote the topology for convergence of graphs on that is generated by the subbase consisting of all sets of the form
where ranges over and ranges over the open subset of
If is a topological space and if each is closed in then is weaker than the product topology on More importantly, if and if is a net in then in if and only if its net of graphs converges to in In particular, when is a topological space and is the set of all compact subsets (resp. finite subsets) of then this characterizes the compact–open topology (resp. topology of pointwise convergence) on
In general, there is a much larger variety of filters on than there are subsets of so there are many more generalizations of the above notions of convergence. For example, the above notions of convergence of graphs can be extended to multivalued maps, to maps that are defined merely on subsets of (such as densely defined operators), or other notions.[note 13]
Topologizing the set of prefilters
Starting with nothing more than a set it is possible to topologize the set
of all filter bases on with the Stone topology, which is named after Marshall Harvey Stone.
To reduce confusion, this article will adhere to the following notational conventions:
Lower case letters for elements
Upper case letters for subsets
Upper case calligraphy letters for subsets (or equivalently, for elements such as prefilters).
Upper case double–struck letters for subsets
For every let
where and [note 14] These sets will be the basic open subsets of the Stone topology. If then
From this inclusion, it is possible to deduce all of the subset inclusions displayed below with the exception of [note 15] For all
where in particular, the equality shows that the family is a π-system that forms a basis for a topology on It is henceforth assumed that carries this topology and that any subset of carries the induced subspace topology.
In contrast to most other general constructions of topologies (e.g. the product, quotient, subspace topologies, etc.), this topology on was defined without using anything other than the set there were no preexisting structures or assumptions on so this topology is completely independent of everything other than (and its subsets).
The following criteria can be used for checking for points of closure and neighborhoods. If and then:
Closure in : belongs to the closure of in if and only if
Neighborhoods in : is a neighborhood of in if and only if there exists some such that (i.e. such that for all if then ).
It will be henceforth assumed that because otherwise and the topology is which is uninteresting.
Subspace of ultrafilters
The set of ultrafilters on (with the subspace topology) is a Stone space, meaning that it is compact, Hausdorff, and totally disconnected. If has the discrete topology then the map defined by sending to the principal ultrafilter at is a topological embedding whose image is a dense subset of (see the article Stone–Čech compactification for more details).
Relationships between topologies on and the Stone topology on
Every induces a canonical map defined by which sends to the neighborhood filter of in Clearly, is injective if and only if is T0 (i.e. a Kolmogorov space) and moreover, if then if and only if Thus every can be identified with the canonical map which means that can be canonically identified as a subset of (as a side note, it is now possible to place on and thus also on the topology of pointwise convergence or the topology of uniform convergence on (as just two examples), so that it now makes sense to talk about things such as topologies converging pointwise or uniformly on ). For every the surjection is continuous, closed, and open. In particular, for every T0 topology on the map is a topological embedding.
In addition, if is a map such that for every then for every and every is a neighborhood of in (where has the subspace topology inherited from ).
See also
Characterizations of the category of topological spaces
Convergence space – Generalization of the notion of convergence that is found in general topology
Filtration (mathematics)
Filtration (probability theory) – model of information available at a given point of a random process
Filtration (abstract algebra)
Fréchet filter
Generic filter
Ideal (set theory) – A non-empty family of sets that is closed under finite unions and subsets.
Stone–Čech compactification#Construction using ultrafilters
The fundamental theorem of ultraproducts
Notes
^Sequences and nets in a space are maps from directed sets like the natural number, which in general maybe entirely unrelated to the set and so they, and consequently also their notions of convergence, are not intrinsic to
^Technically, any infinite subfamily of this set of tails is enough to characterize this sequence's convergence. But in general, unless indicated otherwise, the set of all tails is taken unless there is some reason to do otherwise.
^Indeed, net convergence is defined using neighborhood filters while (pre)filters are directed sets with respect to so it is difficult to keep these notions completely separate.
^ a bThe terms "Filter base" and "Filter" are used if and only if
^More generally, for any real numbers satisfying and where
^If then This property and the fact that is nonempty and proper if and only if actually allows for the construction of even more examples of prefilters, because if is any prefilter (resp. filter subbase, π-system) then so is
^The π–system generated by (resp. by ) is a prefilter whose elements are finite unions of open (resp. closed) intervals having endpoints in with two of these intervals being of the forms and (resp. and ) where ; in the case of it is possible for one or more of these closed intervals to be singleton sets (i.e. degenerate closed intervals).
^Suppose has more than one point, is a constant map, and then will consist of all non–empty subsets of
^For an example of how this failure can happen, consider the case where there exists some and some such that both and its complement in contains at least two distinct points.
^The set equality holds more generally: if the family of sets satisfies then the family of tails of the map (defined by ) is equal to
^In the definition of the "topology of uniform convergence," this allows us to take where now implies that This guarantees that the family described in this definition satisfy one of the requirements of being subbase on
^If needed, assume also that has additional properties that will guarantee that the family does indeed form a subbase for a topology In particular, it might be necessary to assume that is downward closed or possibly that the union of all sets in is a dense subset of
^For instance, it is possible to rigorously define (often without great difficulty) notions of what it could mean for a net of maps on to converge to a set of maps (e.g. such as convergence to a germ of maps in at some given point of ).
^As a side note, had the definitions of "filter" and "prefilter" not required propriety then the degenerate dual ideal would have been a prefilter on so that in particular, with for every
^This is because the inclusion is the only one in the sequence below whose proof uses the defining assumption that
Proofs
^Let be a filter on that is not an ultrafilter. If is such that then has the finite intersection property (because if then if and only if ) so that by the ultrafilter lemma, there exists some ultrafilter on such that (so in particular, ). It follows that
^ a bTo prove that and mesh, let and Because (resp. because ), there exists some such that and where by assumption so If is a filter subbase and if then taking implies that and mesh. If then there are such that and now This shows that is a filter subbase.
^This is because if and are prefilters on then if and only if
^By definition, if and only if Since and transitivity implies
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