La simulación de subconjuntos [1] es un método utilizado en la ingeniería de confiabilidad para calcular las probabilidades de fallas pequeñas (es decir, eventos raros) que se encuentran en los sistemas de ingeniería. La idea básica es expresar una probabilidad de falla pequeña como producto de probabilidades condicionales mayores mediante la introducción de eventos de falla intermedios. Esto convierte conceptualmente el problema original de eventos raros en una serie de problemas de eventos frecuentes que son más fáciles de resolver. En la implementación real, las muestras condicionadas a eventos de fallas intermedias se generan de manera adaptativa para poblar gradualmente desde la región de eventos frecuentes a la rara. Estas 'muestras condicionales' proporcionan información para estimar la función de distribución acumulativa complementaria(CCDF) de la cantidad de interés (que gobierna la falla), cubriendo las regiones de alta y baja probabilidad. También se pueden utilizar para investigar la causa y consecuencia de eventos de falla. La generación de muestras condicionales no es trivial, pero se puede realizar de manera eficiente utilizando la cadena de Markov Monte Carlo (MCMC).
La simulación de subconjuntos toma la relación entre las variables aleatorias (de entrada) y la cantidad de respuesta (de salida) de interés como una " caja negra ". Esto puede resultar atractivo para sistemas complejos en los que es difícil utilizar otras técnicas de reducción de la varianza o de muestreo de eventos raros que requieren información previa sobre el comportamiento del sistema. Para problemas en los que es posible incorporar información previa en el algoritmo de confiabilidad, a menudo es más eficiente utilizar otras técnicas de reducción de la varianza , como el muestreo de importancia . Se ha demostrado que la simulación de subconjuntos es más eficiente que la simulación tradicional de Monte Carlo , pero menos eficiente que el muestreo lineal , cuando se aplica a un problema de prueba de mecánica de fracturas . [2]
Idea básica
Sea X un vector de variables aleatorias e Y = h ( X ) una cantidad de respuesta escalar (salida) de interés para la cual la probabilidad de fallaestá por determinar. Cada evaluación de h (·) es costosa y, por lo tanto, debe evitarse si es posible. Usando métodos directos de Monte Carlo, uno puede generar muestras iid ( independientes e idénticamente distribuidas ) de X y luego estimar P ( F ) simplemente como la fracción de muestras con Y > b . Sin embargo, esto no es eficiente cuando P ( F ) es pequeño porque la mayoría de las muestras no fallarán (es decir, con Y ≤ b ) y en muchos casos una estimación de 0 resultados. Como regla general para P ( F ) pequeño, se requieren 10 muestras fallidas para estimar P (F) con un coeficiente de variación del 30% (un requisito moderado). Por ejemplo, se requerirían 10000 muestras iid y, por lo tanto, evaluaciones de h (·), para tal estimación si P ( F ) = 0.001.
La simulación de subconjuntos intenta convertir un problema de eventos poco frecuentes en otros más frecuentes. Dejarser una secuencia creciente de niveles de umbral intermedios. De la propiedad básica de la probabilidad condicional ,
La 'idea bruta' de la simulación de subconjuntos es estimar P (F) estimando y las probabilidades condicionales por , anticipando la ganancia de eficiencia cuando estas probabilidades no son pequeñas. Para implementar esta idea hay dos cuestiones básicas:
- La estimación de las probabilidades condicionales mediante simulación requiere la generación eficiente de muestras de X condicionadas a los eventos de falla intermedios, es decir, las muestras condicionales. Por lo general, esto no es trivial.
- Los niveles de umbral intermedio debe elegirse de manera que las probabilidades intermedias no sean demasiado pequeñas (de lo contrario, terminarían con un problema de evento raro nuevamente) pero no demasiado grandes (de lo contrario, requerirían demasiados niveles para alcanzar el evento objetivo). Sin embargo, esto requiere información del CCDF, que es el objetivo a estimar.
En el algoritmo estándar de simulación de subconjuntos, el primer problema se resuelve utilizando la cadena de Markov Monte Carlo . [3] Recientemente se han desarrollado versiones más genéricas y flexibles de los algoritmos de simulación que no se basan en la cadena de Markov Monte Carlo . [4] El segundo problema se resuelve eligiendo los niveles de umbral intermedios { b i } de forma adaptativa utilizando muestras del último nivel de simulación. Como resultado, la simulación de subconjuntos de hecho produce un conjunto de estimaciones para b que corresponde a diferentes valores fijos de p = P ( Y > b ), en lugar de estimaciones de probabilidades para valores umbral fijos.
Hay una serie de variaciones de la simulación de subconjuntos utilizados en diferentes contextos en la probabilidad aplicada y la investigación de operaciones estocásticas [5] [6] Por ejemplo, en algunas variaciones, el esfuerzo de simulación para estimar cada probabilidad condicional P ( Y > b i | Y > b i −1 ) ( i = 2, ..., m ) puede no ser fijo antes de la simulación, pero puede ser aleatorio, similar al método de división en la estimación de probabilidad de eventos raros. [7] Estas versiones de la simulación de subconjuntos también se pueden utilizar para muestrear aproximadamente de la distribución de X dada la falla del sistema (es decir, condicional al evento). En ese caso, la varianza relativa del número (aleatorio) de partículas en el nivel finalse puede utilizar para limitar el error de muestreo medido por la distancia de variación total de las medidas de probabilidad . [8]
Ver también
Notas
- Ver Au & Wang [9] para una cobertura introductoria de la simulación de subconjuntos y su aplicación al análisis de riesgos de ingeniería.
- Schuëller & Pradlwarter [10] informa sobre el rendimiento de la simulación de subconjuntos (y otras técnicas de reducción de la varianza) en un conjunto de problemas de referencia de la mecánica estocástica.
- El capítulo 4 de Phoon [11] analiza la aplicación de la simulación de subconjuntos (y otros métodos de Monte Carlo) a problemas de ingeniería geotécnica.
- Zio & Pedroni [12] analiza la aplicación de la simulación de subconjuntos (y otros métodos) a un problema de ingeniería nuclear.
Referencias
- ^ Au, SK; Beck, James L. (octubre de 2001). "Estimación de probabilidades de fallas pequeñas en dimensiones altas mediante simulación de subconjuntos". Mecánica de Ingeniería Probabilística . 16 (4): 263-277. CiteSeerX 10.1.1.131.1941 . doi : 10.1016 / S0266-8920 (01) 00019-4 .
- ^ Zio, E; Pedroni, N (2009). "Simulación de subconjuntos y muestreo de línea para análisis avanzado de confiabilidad de Monte Carlo". Confiabilidad, riesgo y seguridad (PDF) . doi : 10.1201 / 9780203859759.ch94 . ISBN 978-0-415-55509-8. S2CID 9845287 .
- ^ Au, Siu-Kui (2016). "En el algoritmo MCMC para la simulación de subconjuntos". Mecánica de Ingeniería Probabilística . 43 : 117-120. doi : 10.1016 / j.probengmech.2015.12.003 .
- ^ Au, Siu-Kui; Patelli, Edoardo (2016). "Simulación de eventos raros en el espacio de dimensión finita-infinita" (PDF) . Ingeniería de confiabilidad y seguridad del sistema . 148 : 67–77. doi : 10.1016 / j.ress.2015.11.012 .
- ^ Villén-Altamirano, Manuel; Villén-Altamirano, José (1994). "Reiniciar: un método sencillo para la simulación rápida de eventos raros" . Escrito en San Diego, CA, EE. UU. Actas de la 26ª conferencia de simulación de invierno . CSM '94. Orlando, Florida, Estados Unidos: Society for Computer Simulation International. págs. 282-289 . ISBN 0-7803-2109-X. acmid 194044.
- ^ Botev, ZI; Kroese, DP (2008). "Un algoritmo eficiente para la estimación de probabilidad de eventos raros, optimización combinatoria y conteo". Metodología y Computación en Probabilidad Aplicada . 10 (4): 471–505. CiteSeerX 10.1.1.399.7912 . doi : 10.1007 / s11009-008-9073-7 . S2CID 1147040 .
- ^ Botev, ZI; Kroese, DP (2012). "Simulación de Monte Carlo eficiente a través del método de división generalizada". Estadística y Computación . 22 (1): 1–16. doi : 10.1007 / s11222-010-9201-4 . S2CID 14970946 .
- ^ Botev, ZI; L'Ecuyer, P. (2020). "Muestreo condicional en un evento raro a través de división generalizada". INFORMA Revista de Computación . arXiv : 1909.03566 . doi : 10.1287 / ijoc.2019.0936 . S2CID 202540190 .
- ^ Au, SK; Wang, Y. (2014). Evaluación de riesgos de ingeniería con simulación de subconjuntos . Singapur: John Wiley & Sons . ISBN 978-1-118-39804-3.
- ^ Schuëller, GI; Pradlwarter, HJ (2007). "Estudio de referencia sobre estimación de confiabilidad en dimensiones superiores de sistemas estructurales - Una visión general". Seguridad estructural . 29 (3): 167–182. doi : 10.1016 / j.strusafe.2006.07.010 .
- ^ Phoon, KK (2008). Diseño basado en confiabilidad en ingeniería geotécnica: cálculos y aplicaciones . Singapur: Taylor y Francis . ISBN 978-0-415-39630-1.
- ^ Zio, E .; Pedroni, N. (2011). "Cómo calcular de forma eficaz la fiabilidad de un sistema pasivo nuclear termohidráulico". Ingeniería y Diseño Nuclear . 241 : 310–327. CiteSeerX 10.1.1.636.2126 . doi : 10.1016 / j.nucengdes.2010.10.029 .