Semántica del valor de verdad
En la semántica formal, la semántica del valor de verdad es una alternativa a la semántica tarskiana . Ha sido defendido principalmente por Ruth Barcan Marcus , [1] H. Leblanc y M. Dunn y N. Belnap. [2] También se le llama interpretación por sustitución (de los cuantificadores) o cuantificación por sustitución.
La idea de esta semántica es que el cuantificador universal (existencial) puede leerse como una conjunción (disyunción) de fórmulas en las que las constantes reemplazan a las variables en el ámbito del cuantificador. Por ejemplo, ∀xPx puede leerse (Pa & Pb & Pc &...) donde a,b,c son constantes individuales que reemplazan todas las apariciones de x en Px.
La principal diferencia entre la semántica del valor de verdad y la semántica estándar para la lógica de predicados es que no hay dominios para la semántica del valor de verdad. Solo las cláusulas de verdad para las fórmulas atómicas y cuantificativas difieren de las de la semántica estándar. Mientras que en la semántica estándar las fórmulas atómicascomo Pb o Rca son verdaderas si y sólo si (el referente de) b es miembro de la extensión del predicado P, respectivamente, si y sólo si el par (c,a) es miembro de la extensión de R, en semántica del valor de verdad los valores de verdad de las fórmulas atómicas son básicos. Una fórmula universal (existencial) es verdadera si y solo si todas (algunas) instancias de sustitución de ella son verdaderas. Compare esto con la semántica estándar, que dice que una fórmula universal (existencial) es verdadera si y solo si para todos (algunos) miembros del dominio, la fórmula se cumple para todos (algunos) de ellos; por ejemplo,es verdadero (bajo una interpretación) si y solo si para todo k en el dominio D, A(k/x) es verdadero (donde A(k/x) es el resultado de sustituir k por todas las ocurrencias de x en A). (Aquí asumimos que las constantes son nombres por sí mismas, es decir, también son miembros del dominio).
La semántica del valor de verdad no está exenta de problemas. Primero, el teorema de completitud fuerte y la compacidad fallan. Para ver esto considere el conjunto {F(1), F(2),...}. Claramente, la fórmula es una consecuencia lógica del conjunto, pero no es una consecuencia de ningún subconjunto finito del mismo (y por lo tanto no es deducible de él). De ello se deduce inmediatamente que tanto el teorema de la compacidad como el de la completitud fuerte fallan para la semántica del valor de verdad. Esto se rectifica mediante una definición modificada de consecuencia lógica tal como se da en Dunn y Belnap 1968. [2]
Otro problema ocurre en la lógica libre . Considere un lenguaje con una constante individual c que no designa y un predicado F que significa 'no existe'. Entonces es falso aunque una instancia de sustitución (de hecho , cada instancia bajo esta interpretación) sea verdadera. Para resolver este problema, simplemente agregamos la condición de que un enunciado existencialmente cuantificado sea verdadero bajo una interpretación para al menos una instancia de sustitución en la que la constante designa algo que existe.
