Super espacio vectorial

En las matemáticas , un super espacio vectorial es un - graduada espacio vectorial , es decir, un espacio vectorial sobre un campo con una determinada descomposición de los subespacios de grado y grado . El estudio de los super espacios vectoriales y sus generalizaciones a veces se denomina álgebra super lineal . Estos objetos encuentran su aplicación principal en la física teórica, donde se utilizan para describir los diversos aspectos algebraicos de la supersimetría .${\displaystyle \mathbb {Z} _{2}}$ ${\displaystyle \mathbb {K} }$${\displaystyle 0}$${\displaystyle 1}$

Definiciones

Un super espacio vectorial es un espacio vectorial graduado con descomposición ^[1]${\displaystyle \mathbb {Z} _{2}}$

${\displaystyle V=V_{0}\oplus V_{1},\quad 0,1\in \mathbb {Z} _{2}=\mathbb {Z} /2\mathbb {Z} .}$

Vectores que son elementos de o se dice que son homogéneos . La paridad de un elemento homogéneo distinto de cero, denotado por , es o según esté en o ,${\displaystyle V_{0}}$${\displaystyle V_{1}}$${\displaystyle |x|}$${\displaystyle 0}$${\displaystyle 1}$${\displaystyle V_{0}}$${\displaystyle V_{1}}$

${\displaystyle |x|={\begin{cases}0&x\in V_{0}\\1&x\in V_{1}\end{cases}}}$

Los vectores de paridad se llaman pares y los de paridad se llaman impares . En física teórica, los elementos pares a veces se denominan elementos de Bose o bosónicos , y los elementos impares, elementos de Fermi o fermiónicos. Las definiciones de espacios super vectoriales se dan a menudo solo en términos de elementos homogéneos y luego se extienden a elementos no homogéneos por linealidad.${\displaystyle 0}$${\displaystyle 1}$

Si es de dimensión finita y las dimensiones de y son y respectivamente, entonces se dice que tiene dimensión . El espacio de supercoordenadas estándar, denotado , es el espacio de coordenadas ordinario donde el subespacio par está atravesado por los primeros vectores de base de coordenadas y el espacio impar está atravesado por el último .${\displaystyle V}$${\displaystyle V_{0}}$${\displaystyle V_{1}}$${\displaystyle p}$${\displaystyle q}$${\displaystyle V}$ ${\displaystyle p|q}$${\displaystyle \mathbb {K} ^{p|q}}$ ${\displaystyle \mathbb {K} ^{p+q}}$${\displaystyle p}$${\displaystyle q}$

Un subespacio homogéneo de un superespacio vectorial es un subespacio lineal que está atravesado por elementos homogéneos. Los subespacios homogéneos son super espacios vectoriales por derecho propio (con la gradación obvia).

Para cualquier super espacio vectorial , se puede definir el espacio invertido de paridad como el super espacio vectorial con los subespacios pares e impares intercambiados. Es decir,${\displaystyle V}$ ${\displaystyle \Pi V}$

${\displaystyle {\begin{aligned}(\Pi V)_{0}&=V_{1}\\(\Pi V)_{1}&=V_{0}.\end{aligned}}}$

Transformaciones lineales

Un homomorfismo , un morfismo en la categoría de superespacios vectoriales, de un superespacio vectorial a otro, es una transformación lineal que conserva el grado . Una transformación lineal entre super espacios vectoriales preserva el grado si${\displaystyle f:V\rightarrow W}$

${\displaystyle f(V_{i})\subset W_{i},\quad i=0,1.}$

Es decir, asigna los elementos pares de a los elementos pares de y los elementos impares de a los elementos impares de . Un isomorfismo de super espacios vectoriales es un homomorfismo biyectivo . Se denota el conjunto de todos los homomorfismos . ^[2]${\displaystyle V}$${\displaystyle W}$${\displaystyle V}$${\displaystyle W}$${\displaystyle V\rightarrow W}$${\displaystyle \mathrm {Hom} (V,W)}$

Cada transformación lineal, que no necesariamente conserva la nota, de un super espacio vectorial a otro se puede escribir de forma única como la suma de una transformación que conserva la nota y una que invierte la nota, es decir, una transformación tal que ${\displaystyle f:V\rightarrow W}$

${\displaystyle f(V_{i})\subset W_{1-i},\quad i=0,1.}$

Declarar que las transformaciones que preservan el grado son pares y las que invierten el grado son impares, da al espacio de todas las transformaciones lineales desde a , denotado y llamado interno , la estructura de un superespacio vectorial. En particular, ^[3]${\displaystyle V}$${\displaystyle W}$${\displaystyle \mathbf {Hom} (V,W)}$ ${\displaystyle \mathrm {Hom} }$

${\displaystyle \left(\mathbf {Hom} (V,W)\right)_{0}=\mathrm {Hom} (V,W).}$

Una transformación de inversión de grado de a se puede considerar como un homomorfismo de al espacio de paridad invertida , de modo que${\displaystyle V}$${\displaystyle W}$${\displaystyle V}$${\displaystyle \Pi W}$

${\displaystyle \mathbf {Hom} (V,W)=\mathrm {Hom} (V,W)\oplus \mathrm {Hom} (V,\Pi W)=\mathrm {Hom} (V,W)\oplus \mathrm {Hom} (\Pi V,W).}$

Operaciones en super espacios vectoriales

Las construcciones algebraicas habituales para espacios vectoriales ordinarios tienen su contraparte en la configuración del super espacio vectorial.

Espacio dual

El espacio dual de un superespacio vectorial se puede considerar como un superespacio vectorial al considerar que los funcionales pares son los que se desvanecen y los impares los que se desvanecen . ^{[4] De manera} equivalente, se puede definir como el espacio de mapas lineales desde a (el campo base considerado como un super espacio vectorial puramente uniforme) con la gradación dada en la sección anterior.${\displaystyle V^{*}}$${\displaystyle V}$${\displaystyle V_{1}}$${\displaystyle V_{0}}$${\displaystyle V^{*}}$${\displaystyle V}$${\displaystyle \mathbb {K} ^{1|0}}$${\displaystyle \mathbb {K} }$

Suma directa

Las sumas directas de espacios super vectoriales se construyen como en el caso sin clasificar con la calificación dada por

${\displaystyle (V\oplus W)_{0}=V_{0}\oplus W_{0},}$

${\displaystyle (V\oplus W)_{1}=V_{1}\oplus W_{1}.}$

Producto tensor

También se pueden construir productos tensoriales de espacios super vectoriales. Aquí entra en juego la estructura aditiva de . El espacio subyacente es como en el caso sin clasificar con la calificación dada por${\displaystyle \mathbb {Z} _{2}}$

${\displaystyle (V\otimes W)_{i}=\bigoplus _{j+k=i}V_{j}\otimes W_{k},}$

dónde están los índices . Específicamente, uno tiene${\displaystyle \mathbb {Z} _{2}}$

${\displaystyle (V\otimes W)_{0}=(V_{0}\otimes W_{0})\oplus (V_{1}\otimes W_{1}),}$

${\displaystyle (V\otimes W)_{1}=(V_{0}\otimes W_{1})\oplus (V_{1}\otimes W_{0}).}$

Supermódulos

Así como uno puede generalizar espacios vectoriales sobre un campo a módulos sobre un anillo conmutativo , uno puede generalizar espacios super vectoriales sobre un campo a supermódulos sobre un álgebra superconmutativa (o anillo).

Una construcción común cuando se trabaja con espacios super vectoriales es ampliar el campo de escalares a un álgebra de Grassmann superconmutativa . Dado un campo dejar${\displaystyle \mathbb {K} }$

${\displaystyle R=\mathbb {K} [\theta _{1},\cdots ,\theta _{N}]}$

denotan el álgebra de Grassmann generada por la anticonmutación de elementos impares . Cualquier super espacio vectorial se puede incrustar en un módulo al considerar el producto tensorial (graduado)${\displaystyle N}$${\displaystyle \theta _{i}}$${\displaystyle V}$${\displaystyle \mathbb {K} }$${\displaystyle R}$

${\displaystyle \mathbb {K} [\theta _{1},\cdots ,\theta _{N}]\otimes V.}$

La categoría de super espacios vectoriales

La categoría de super espacios vectoriales , denotada por , es la categoría cuyos objetos son super espacios vectoriales (sobre un campo fijo ) y cuyos morfismos son incluso transformaciones lineales (es decir, los que conservan el grado).${\displaystyle \mathbb {K} -\mathrm {SVect} }$${\displaystyle \mathbb {K} }$

El enfoque categórico del álgebra súper lineal consiste en formular primero definiciones y teoremas con respecto a los objetos algebraicos ordinarios (sin clasificar) en el lenguaje de la teoría de categorías y luego transferirlos directamente a la categoría de espacios súper vectoriales. Esto conduce a un tratamiento de "superobjetos" como superalgebras , superalgebras de Lie , supergrupos , etc. que es completamente análogo a sus contrapartes sin clasificar.

La categoría es una categoría monoidal con el producto super tensor como el producto monoidal y el espacio supervectorial puramente uniforme como el objeto unitario. El operador de trenzado involutivo${\displaystyle \mathbb {K} -\mathrm {SVect} }$${\displaystyle \mathbb {K} ^{1|0}}$

${\displaystyle \tau _{V,W}:V\otimes W\rightarrow W\otimes V,}$

dada por

${\displaystyle \tau _{V,W}(x\otimes y)=(-1)^{|x||y|}y\otimes x}$

sobre elementos homogéneos, se convierte en una categoría monoidal simétrica . Este isomorfismo de conmutatividad codifica la "regla de los signos" que es esencial para el álgebra súper lineal. Efectivamente dice que se toma un signo menos cada vez que se intercambian dos elementos impares. No es necesario preocuparse por los signos en la configuración categórica siempre que se utilice el operador anterior cuando sea apropiado.${\displaystyle \mathbb {K} -\mathrm {SVect} }$

${\displaystyle \mathbb {K} -\mathrm {SVect} }$es también una categoría monoidal cerrada con el objeto Hom interna , , propuesta por el espacio vectorial súper de todos los mapas lineales a partir de a . El conjunto ordinario es el subespacio par en él:${\displaystyle \mathbf {Hom} (V,W)}$${\displaystyle V}$${\displaystyle W}$${\displaystyle \mathrm {Hom} }$${\displaystyle \mathrm {Hom} (V,W)}$

${\displaystyle \mathrm {Hom} (V,W)=\mathbf {Hom} (V,W)_{0}.}$

El hecho de que esté cerrado significa que el funtor se deja adjunto al funtor , dada una biyección natural${\displaystyle \mathbb {K} -\mathrm {SVect} }$${\displaystyle -\otimes V}$${\displaystyle \mathrm {Hom} (V,-)}$

${\displaystyle \mathrm {Hom} (U\otimes V,W)\cong \mathrm {Hom} (U,\mathbf {Hom} (V,W)).}$

Superalgebra

Artículo principal: superalgebra

Una superalgebra over puede describirse como un super espacio vectorial con un mapa de multiplicación${\displaystyle \mathbb {K} }$${\displaystyle {\mathcal {A}}}$

${\displaystyle \mu :{\mathcal {A}}\otimes {\mathcal {A}}\to {\mathcal {A}},}$

eso es un homomorfismo de super espacio vectorial. Esto equivale a exigir ^[5]

${\displaystyle |ab|=|a|+|b|,\quad a,b\in {\mathcal {A}}}$

La asociatividad y la existencia de una identidad se pueden expresar con los diagramas conmutativos habituales, de modo que una superalgebra asociativa unital es un monoide en la categoría .${\displaystyle \mathbb {K} }$${\displaystyle \mathbb {K} -\mathrm {SVect} }$

Notas

1. Varadarajan 2004 , p. 83
2. Varadarajan 2004 , p. 83
3. Varadarajan 2004 , p. 83
4. Varadarajan 2004 , p. 84
5. Varadarajan 2004 , p. 87

Referencias

• Deligne, P .; Morgan, JW (1999). "Notas sobre supersimetría (siguiendo a Joseph Bernstein)" . Cuerdas y campos cuánticos: un curso para matemáticos . 1 . Sociedad Matemática Estadounidense . págs. 41–97. ISBN 0-8218-2012-5- a través de IAS .

• Varadarajan, VS (2004). Supersimetría para matemáticos: una introducción . Courant Lecture Notes in Mathematics. 11 . Sociedad Matemática Estadounidense. ISBN 978-0-8218-3574-6.