En matemáticas , un espacio vectorial graduado es un espacio vectorial que tiene la estructura adicional de una calificación o una gradación , que es una descomposición del espacio vectorial en una suma directa de subespacios vectoriales.
ℕ -espacios vectoriales graduados
Dejar ser el conjunto de enteros no negativos. Un-espacio vectorial graduado , a menudo llamado simplemente un espacio vectorial graduado sin el prefijo, es un espacio vectorial V junto con una descomposición en una suma directa de la forma
donde cada es un espacio vectorial. Para una n dada, los elementos dese denominan entonces elementos homogéneos de grado n .
Los espacios vectoriales graduados son comunes. Por ejemplo, el conjunto de todos los polinomios en una o varias variables forma un espacio vectorial graduado, donde los elementos homogéneos de grado n son exactamente las combinaciones lineales de monomios de grado n .
Espacios vectoriales generales con calificación I
Los subespacios de una necesidad de espacio vectorial gradual no ser indexados por el conjunto de números naturales, y pueden ser indexados por los elementos de cualquier conjunto I . Un espacio vectorial V de grado I es un espacio vectorial junto con una descomposición en una suma directa de subespacios indexados por elementos i del conjunto I :
Por lo tanto, un -espacio vectorial graduado, como se define arriba, es solo un espacio vectorial calificado I donde el conjunto I es(el conjunto de números naturales ).
El caso donde yo es el anillo (los elementos 0 y 1) es particularmente importante en física . AEl espacio vectorial clasificado también se conoce como espacio supervector .
Homomorfismos
Para los conjuntos de índices generales I , un mapa lineal entre dos espacios vectoriales con clasificación I f : V → W se denomina mapa lineal graduado si conserva la clasificación de elementos homogéneos. Un mapa lineal graduado también se denomina homomorfismo (o morfismo ) de espacios vectoriales graduados o mapa lineal homogéneo :
- por todo yo en yo .
Para un campo fijo y un conjunto de índices fijos, los espacios vectoriales graduados forman una categoría cuyos morfismos son los mapas lineales graduados.
Cuando I es un monoide conmutativo (como los números naturales ), entonces uno puede definir de manera más general mapas lineales que son homogéneos de cualquier grado i en I por la propiedad
- por todo j en yo ,
donde "+" denota la operación monoide. Si además I satisface la propiedad de cancelación para que se pueda incrustar en un grupo conmutativo A que genera (por ejemplo, los enteros si I son los números naturales), entonces también se pueden definir mapas lineales que sean homogéneos de grado i en A por la misma propiedad (pero ahora "+" denota la operación de grupo en A ). Específicamente, para i en I un mapa lineal será homogéneo de grado - i si
- para todo j en yo , mientras
- si j - i no está en I .
Así como el conjunto de mapas lineales de un espacio vectorial a sí mismo forma un álgebra asociativa (el álgebra de endomorfismos del espacio vectorial), los conjuntos de mapas lineales homogéneos de un espacio a sí mismo, ya sea restringiendo grados a I o permitiendo cualquier grado en el grupo A , forma álgebras graduadas asociativas sobre esos conjuntos de índices.
Operaciones en espacios vectoriales graduados
Algunas operaciones en espacios vectoriales también se pueden definir para espacios vectoriales graduados.
Dados dos espacios vectoriales V y W con grado I , su suma directa tiene un espacio vectorial subyacente V ⊕ W con gradación
- ( V ⊕ W ) yo = V yo ⊕ W yo .
Si I es un semigrupo , entonces el producto tensorial de dos espacios vectoriales de grado I V y W es otro espacio vectorial de grado I , con gradación
Ver también
Referencias
- Bourbaki, N. (1974) Álgebra I (Capítulos 1-3), ISBN 978-3-540-64243-5 , Capítulo 2, Sección 11; Capítulo 3.