En matemáticas , un supercommutative (asociativo) álgebra es un superálgebra (es decir, un Z 2 - graduada álgebra ) tal que para cualquier par de elementos homogéneos x , y tenemos [1]
donde | x | denota el grado del elemento y es 0 o 1 (en Z 2 ) según si el grado es par o impar, respectivamente.
De manera equivalente, es un superalgebra donde el superconmutador
siempre desaparece. Las estructuras algebraicas que se superconmutan en el sentido anterior a veces se denominan álgebras asociativas conmutativas sesgadas para enfatizar la anticonmutación o, para enfatizar la clasificación, conmutativas graduales o, si se entiende la superconmutatividad, simplemente conmutativas .
Cualquier álgebra conmutativa es un álgebra superconmutativa si se le da la gradación trivial (es decir, todos los elementos son pares). Las álgebras de Grassmann (también conocidas como álgebras exteriores ) son los ejemplos más comunes de álgebras superconmutativas no triviales. El supercentro de cualquier superalgebra es el conjunto de elementos que superconmuta con todos los elementos, y es un álgebra superconmutativa.
La subálgebra par de un álgebra superconmutativa es siempre un álgebra conmutativa . Es decir, incluso los elementos siempre se desplazan al trabajo. Los elementos extraños, por otro lado, siempre anticonmutan. Es decir,
para x e y impares . En particular, el cuadrado de cualquier elemento impar x desaparece siempre que 2 es invertible:
Por lo tanto, una superalgebra conmutativa (con un componente de grado 2 invertible y distinto de cero) siempre contiene elementos nilpotentes .
Un álgebra anticomutativa de grado Z con la propiedad de que x 2 = 0 para cada elemento x de grado impar (independientemente de si 2 es invertible) se llama álgebra alterna .