Mentira superalgebra

En matemáticas , un superálgebra Lie es una generalización de un álgebra de Lie para incluir un Z ₂ - clasificación . Las superalgebras de Lie son importantes en la física teórica, donde se utilizan para describir las matemáticas de la supersimetría . En la mayoría de estas teorías, los elementos pares de la superalgebra corresponden a bosones y los elementos impares a fermiones (pero esto no siempre es cierto; por ejemplo, la supersimetría BRST es al revés).

Definición

Formalmente, un superálgebra Lie es un efecto no asociativo Z ₂ - graduada álgebra , o superálgebra , sobre un anillo conmutativo (típicamente R o C ) cuyo producto [·, ·], llamado el superbracket Lie o supercommutator , satisface las dos condiciones (análogos de las axiomas habituales del álgebra de Lie , con calificación):

Super simetría sesgada:

${\displaystyle [x,y]=-(-1)^{|x||y|}[y,x].\ }$

La identidad súper Jacobi: ^[1]

${\displaystyle (-1)^{|x||z|}[x,[y,z]]+(-1)^{|y||x|}[y,[z,x]]+(-1)^{|z||y|}[z,[x,y]]=0,}$

donde x , y y z son puros en la calificación Z ₂ . Aquí, | x | denota el grado de x (0 o 1). El grado de [x, y] es la suma del grado de xey módulo 2.

También se añaden a veces los axiomas ${\displaystyle [x,x]=0}$para | x | = 0 (si 2 es invertible, esto sigue automáticamente) y${\displaystyle [[x,x],x]=0}$para | x | = 1 (si 3 es invertible, esto sigue automáticamente). Cuando el anillo de tierra son los números enteros o la superalgebra de Lie es un módulo libre, estas condiciones son equivalentes a la condición que cumple el teorema de Poincaré-Birkhoff-Witt (y, en general, son condiciones necesarias para que el teorema se mantenga).

Al igual que para las álgebras de Lie, al álgebra envolvente universal de la superalgebra de Lie se le puede dar una estructura de álgebra de Hopf .

Un álgebra de Lie graduada (digamos, graduada por Z o N ) que es anticomutativa y Jacobi en el sentido graduado también tiene un${\displaystyle Z_{2}}$calificación (que se llama "enrollar" el álgebra en partes pares e impares), pero no se denomina "super". Ver nota en álgebra de Lie graduada para discusión.

Propiedades

Dejar ${\displaystyle {\mathfrak {g}}={\mathfrak {g}}_{0}\oplus {\mathfrak {g}}_{1}}$ser una superalgebra de mentira. Al inspeccionar la identidad de Jacobi, se ve que hay ocho casos dependiendo de si los argumentos son pares o impares. Estos se dividen en cuatro clases, indexadas por el número de elementos impares: ^[2]

1. Sin elementos extraños. La declaración es solo que${\displaystyle {\mathfrak {g}}_{0}}$ es un álgebra de Lie ordinaria.
2. Un elemento extraño. Luego${\displaystyle {\mathfrak {g}}_{1}}$ es un ${\displaystyle {\mathfrak {g}}_{0}}$-módulo para la acción ${\displaystyle \mathrm {ad} _{a}:b\rightarrow [a,b],\quad a\in {\mathfrak {g}}_{0},\quad b,[a,b]\in {\mathfrak {g}}_{1}}$.
3. Dos elementos extraños. La identidad de Jacobi dice que el corchete${\displaystyle {\mathfrak {g}}_{1}\otimes {\mathfrak {g}}_{1}\rightarrow {\mathfrak {g}}_{0}}$es simétrico ${\displaystyle {\mathfrak {g}}_{1}}$-mapa.
4. Tres elementos extraños. Para todos${\displaystyle b\in {\mathfrak {g}}_{1}}$, ${\displaystyle [b,[b,b]]=0}$.

Así, la subálgebra par ${\displaystyle {\mathfrak {g}}_{0}}$ de una superalgebra de Lie forma un álgebra de Lie (normal) cuando todos los signos desaparecen, y el superbracket se convierte en un corchete de Lie normal, mientras que ${\displaystyle {\mathfrak {g}}_{1}}$es una representación lineal de${\displaystyle {\mathfrak {g}}_{0}}$, y existe un simétrico ${\displaystyle {\mathfrak {g}}_{0}}$- mapa lineal equivariante ${\displaystyle \{\cdot ,\cdot \}:{\mathfrak {g}}_{1}\otimes {\mathfrak {g}}_{1}\rightarrow {\mathfrak {g}}_{0}}$ tal que,

${\displaystyle [\left\{x,y\right\},z]+[\left\{y,z\right\},x]+[\left\{z,x\right\},y]=0,\quad x,y,z\in {\mathfrak {g}}_{1}.}$

Las condiciones (1) - (3) son lineales y todas pueden entenderse en términos de álgebras de Lie ordinarias. La condición (4) no es lineal y es la más difícil de verificar al construir una superalgebra de Lie a partir de un álgebra de Lie ordinaria (${\displaystyle {\mathfrak {g}}_{0}}$) y una representación (${\displaystyle {\mathfrak {g}}_{1}}$).

Involución

A ^* superálgebra Lie es un superálgebra Lie complejo equipado con un involutivo antilineal mapa de a sí mismo que respete los Z ₂ clasificación y satisface [ x , y ] ^*  = [ y ^* , x ^* ] para todos los x y y en el superálgebra Lie . (Algunos autores prefieren la convención [ x , y ] ^*  = (−1) ^{| x || y |} [ y ^* , x ^*]; cambiar * a - * cambia entre las dos convenciones.) Su álgebra envolvente universal sería un ^* -álgebra ordinaria .

Ejemplos

Dado cualquier superalgebra asociativa ${\displaystyle A}$ se puede definir el superconmutador en elementos homogéneos por

${\displaystyle [x,y]=xy-(-1)^{|x||y|}yx\ }$

y luego extendiéndose por linealidad a todos los elementos. El álgebra${\displaystyle A}$junto con el superconmutador se convierte en una superalgebra de Lie. El ejemplo más simple de este procedimiento es quizás cuando${\displaystyle A}$ es el espacio de todas las funciones lineales ${\displaystyle \mathbf {End} (V)}$ de un super espacio vectorial ${\displaystyle V}$a sí mismo. Cuándo${\displaystyle V=\mathbb {K} ^{p|q}}$, este espacio se denota por ${\displaystyle M^{p|q}}$ o ${\displaystyle M(p|q)}$. ^[3] Con el corchete de Lie de arriba, el espacio se denota${\displaystyle {\mathfrak {gl}}(p|q)}$. ^[4]

El producto de Whitehead sobre grupos de homotopía da muchos ejemplos de superalgebras de Lie sobre los números enteros.

Clasificación

Las superalgebras de Lie simples y complejas de dimensión finita fueron clasificadas por Victor Kac .

Las superalgebras de Lie compactas clásicas básicas (que no son álgebras de Lie) son: [1]

SU (m / n) Estas son las álgebras de Lie superunitarias que tienen invariantes:

${\displaystyle z.{\overline {z}}+iw.{\overline {w}}}$

Esto da dos invariantes ortosintécticos (ver más abajo) si tomamos las variables mz y las variables nw como no conmutativas y tomamos las partes real e imaginaria. Por lo tanto, tenemos

${\displaystyle SU(m/n)=OSp(2m/2n)\cap OSp(2n/2m)}$

SU (n / n) / U (1) Un caso especial de las álgebras de Lie superunitarias donde eliminamos un generador U (1) para simplificar el álgebra.

OSp ( m / 2 n ) Estos son los grupos ortosintécticos . Tienen invariantes dadas por:

${\displaystyle x.x+y.z-z.y}$

para m variables conmutativas ( x ) y n pares de variables anti-conmutativas ( y , z ). Son simetrías importantes en las teorías de la supergravedad .

D (2/1;${\displaystyle \alpha }$) Se trata de un conjunto de superalgebras parametrizadas por la variable ${\displaystyle \alpha }$. Tiene dimensión 17 y es un subálgebra de OSp (9 | 8). La parte par del grupo es O (3) × O (3) × O (3). Entonces los invariantes son:

${\displaystyle A_{\mu }A_{\mu }+B_{\mu }B_{\mu }+C_{\mu }C_{\mu }+\psi ^{\alpha \beta \gamma }\psi ^{\alpha '\beta '\gamma '}\varepsilon _{\alpha \alpha '}\varepsilon _{\beta \beta '}\varepsilon _{\gamma \gamma '}}$

${\displaystyle A_{\{1}A_{2}A_{3\}}+B_{\{1}B_{2}B_{3\}}+C_{\{1}C_{2}C_{3\}}+A_{\mu }\Gamma _{\mu }^{\alpha \alpha '}\psi \psi +B_{\mu }\Gamma _{\mu }^{\beta \beta '}\psi \psi +C_{\mu }\Gamma _{\mu }^{\gamma \gamma '}\psi \psi }$

para constantes particulares ${\displaystyle \gamma }$.

F (4) Esta superalgebra de Lie excepcional tiene dimensión 40 y es una subálgebra de OSp (24 | 16). La parte par del grupo es O (3) xSO (7) por lo que tres invariantes son:

${\displaystyle B_{\mu \nu }+B_{\nu \mu }=0}$

${\displaystyle A_{\mu }A_{\mu }+B_{\mu \nu }B_{\mu \nu }+\psi _{\{1}^{\alpha }\psi _{2\}}^{\alpha }}$

${\displaystyle A_{\{1}A_{2}A_{3\}}+B_{\{\mu \nu }B_{\nu \tau }B_{\tau \mu \}}+B_{\mu \nu }\sigma _{\mu \nu }^{\alpha \beta }\psi _{k}^{\alpha }\psi _{k}^{\beta }+A_{\mu }\Gamma _{\mu }^{\alpha \beta }\psi _{\alpha }^{k}\psi _{\beta }^{k}+({\text{sym.}})}$

Este grupo se relaciona con los octoniones al considerar los espinores de 16 componentes como espinores de octoniones de dos componentes y las matrices gamma que actúan sobre los índices superiores como octoniones unitarios. Entonces tenemos${\displaystyle f^{\mu \nu \tau }\sigma _{\nu \tau }\equiv \gamma _{\mu }}$donde f es la estructura constante de la multiplicación de octoniones.

G (3) Esta superalgebra de Lie excepcional tiene dimensión 31 y es una subálgebra de OSp (17 | 14). La parte par del grupo es O (3) × G2. Los invariantes son similares a los anteriores (¿es una subálgebra de F (4)?) Por lo que el primer invariante es:

${\displaystyle A_{\mu }A_{\mu }+C_{\alpha }^{\mu }C_{\alpha }^{\mu }+\psi _{\{1}^{\mu }\psi _{2\}}^{\nu }}$

También hay dos series llamadas extrañas llamadas p ( n ) yq ( n ).

Clasificación de superalgebras de Lie linealmente compactas simples de dimensión infinita

La clasificación consta de la serie 10 W ( m , n ), S ( m , n ) ((m, n) ≠ (1, 1)), H (2m, n) , K (2 m + 1, n ) , HO (m, m) ( m ≥ 2), SHO ( m , m ) ( m ≥ 3), KO ( m , m + 1), SKO (m, m + 1; β) ( m ≥ 2), SHO  ∼ (2 m , 2 m ), SKO ∼ (2 m + 1, 2 m + 3) y las cinco álgebras excepcionales:

Mi (1, 6) , Mi (5, 10) , Mi (4, 4) , Mi (3, 6) , Mi (3, 8)

Los dos últimos son particularmente interesantes (según Kac) porque tienen el grupo de indicadores del modelo estándar SU (3) × S U (2) × U (1) como su álgebra de nivel cero. Las superalgebras de Lie de dimensión infinita (afines) son simetrías importantes en la teoría de supercuerdas . Específicamente, las álgebras de Virasoro con${\displaystyle {\mathcal {N}}}$ las supersimetrías son ${\displaystyle K(1,{\mathcal {N}})}$ que solo tienen extensiones centrales hasta ${\displaystyle {\mathcal {N}}=4}$. ^[5]

Definición teórica de categorías

En la teoría de categorías , una superalgebra de Lie se puede definir como una superalgebra no asociativa cuyo producto satisface

• ${\displaystyle [\cdot ,\cdot ]\circ ({\operatorname {id} }+\tau _{A,A})=0}$
• ${\displaystyle [\cdot ,\cdot ]\circ ([\cdot ,\cdot ]\otimes {\operatorname {id} }\circ ({\operatorname {id} }+\sigma +\sigma ^{2})=0}$

donde σ es el trenzado de permutación cíclica ${\displaystyle ({\operatorname {id} }\otimes \tau _{A,A})\circ (\tau _{A,A}\otimes {\operatorname {id} })}$. En forma de diagrama:

Ver también

• Álgebra de Gerstenhaber
• Álgebra de mentira anónica
• Álgebra de Grassmann
• Representación de una superalgebra de mentira
• Superespacio
• Supergrupo
• Álgebra envolvente universal

Notas

1. Freund 1983 , p. 8
2. Varadarajan 2004 , p. 89
3. Varadarajan 2004 , p. 87
4. Varadarajan 2004 , p. 90
5. Kac 2010

Referencias

• Cheng, S.-J .; Wang, W. (2012). Dualidades y representaciones de las mentiras superalgebras . Estudios de Posgrado en Matemáticas. 144 . págs. 302pp. ISBN 978-0-8218-9118-6.
• Freund, PGO (1983). Introducción a la supersimetría . Monografías de Cambridge sobre física matemática. Prensa de la Universidad de Cambridge . doi : 10.1017 / CBO9780511564017 . ISBN 978-0521-356-756.
• Grozman, P .; Leites, D .; Shchepochkina, I. (2005). "Mentira superalgebras de las teorías de cuerdas". Acta Mathamatica Vietnamica . 26 (2005): 27–63. arXiv : hep-th / 9702120 . Código Bibliográfico : 1997hep.th .... 2120G .
• Kac, VG (1977). "Lie superalgebras" . Avances en Matemáticas . 26 (1): 8–96. doi : 10.1016 / 0001-8708 (77) 90017-2 .
• Kac, VG (2010). "Clasificación de grupos de supersimetrías simples de dimensión infinita y teoría cuántica de campos". Visiones en matemáticas : 162–183. arXiv : matemáticas / 9912235 . doi : 10.1007 / 978-3-0346-0422-2_6 . ISBN 978-3-0346-0421-5. S2CID  15597378 .
• Manin, YI (1997). Teoría del campo de calibre y geometría compleja ((2ª ed.) Ed.). Berlín: Springer. ISBN 978-3-540-61378-7.
• Musson, MI (2012). Lie Superalgebras y Algebras envolventes . Estudios de Posgrado en Matemáticas . 131 . págs. 488 págs. ISBN 978-0-8218-6867-6.
• Varadarajan, VS (2004). Supersimetría para matemáticos: una introducción . Courant Lecture Notes in Mathematics. 11 . Sociedad Matemática Estadounidense. ISBN 978-0-8218-3574-6.

Histórico

• Frölicher, A .; Nijenhuis, A. (1956). "Teoría de formas diferenciales valoradas por vectores. Parte I". Indagationes Mathematicae . 59 : 338-350. doi : 10.1016 / S1385-7258 (56) 50046-7 ..
• Gerstenhaber, M. (1963). "La estructura de cohomología de un anillo asociativo". Annals of Mathematics . 78 (2): 267–288. doi : 10.2307 / 1970343 . JSTOR  1970343 .
• Gerstenhaber, M. (1964). "Sobre la deformación de anillos y álgebras". Annals of Mathematics . 79 (1): 59–103. doi : 10.2307 / 1970484 . JSTOR  1970484 .
• Milnor, JW ; Moore, JC (1965). "Sobre la estructura de las álgebras de Hopf" . Annals of Mathematics . 81 (2): 211–264. doi : 10.2307 / 1970615 . JSTOR  1970615 .

Enlaces externos

• Irving Kaplansky + Lie Superalgebras