Aproximación superfuerte es una generalización de aproximación fuerte en grupos algebraicos G , para proporcionar resultados de brecha espectral . El espectro en cuestión es el de la matriz laplaciana asociada a una familia de cocientes de un grupo discreto Γ; y la brecha es la que existe entre el primer y el segundo autovalores (normalización de modo que el primer autovalor corresponda a funciones constantes como autovectores). Aquí Γ es un subgrupo de los puntos racionales de G , pero no es necesario que sea un retículo : puede ser un llamado grupo delgado . La "brecha" en cuestión es un límite inferior (constante absoluta) para la diferencia de esos valores propios.
Una consecuencia y equivalente de esta propiedad, que potencialmente se mantiene para los subgrupos densos Γ de Zariski del grupo lineal especial sobre los enteros, y en clases más generales de grupos algebraicos G , es que la secuencia de gráficas de Cayley para reducciones Γ p números primos módulo p , con respecto a cualquier conjunto fijo S en Γ que sea un conjunto simétrico y un conjunto generador , es una familia de expansores . [1]
En este contexto, "aproximación fuerte" es la afirmación de que S cuando se reduce genera el grupo completo de puntos de G sobre los campos primos con p elementos, cuando p es lo suficientemente grande. Es equivalente a que las gráficas de Cayley estén conectadas (cuando p es lo suficientemente grande), o que las funciones localmente constantes en estas gráficas sean constantes, de modo que el espacio propio para el primer valor propio es unidimensional. Por tanto, la aproximación superfuerte es una mejora cuantitativa concreta de estas afirmaciones.
Fondo
La propiedad (τ) es un análogo en la teoría de grupos discretos de la propiedad de Kazhdan (T) , y fue introducida por Alexander Lubotzky . [2] Para una familia dada de subgrupos normales N de índice finito en Γ, una formulación equivalente es que las gráficas de Cayley de los grupos Γ / N , todas con respecto a un conjunto simétrico fijo de generadores S , forman una familia expansora. [3] Por lo tanto, la aproximación superfuerte es una formulación de la propiedad (τ), donde los subgrupos N son los núcleos de reducción modulo suficientemente grandes números primos p .
Las conjeturas Lubotzky-Weiss estados (para grupos lineales especiales y primos de módulo de reducción) de que un resultado expansión de este tipo mantiene independiente de la elección de S . Para las aplicaciones, también es importante tener resultados en los que el módulo no se limite a ser primo. [4]
Pruebas de aproximación superfuerte
Se han encontrado resultados de aproximación superfuerte usando técnicas en subgrupos aproximados y tasa de crecimiento en grupos finitos simples. [5]
Notas
- ↑ ( Breuillard & Oh 2014 , páginas x, 343)
- ^ http://www.ams.org/notices/200506/what-is.pdf
- ^ Alexander Lubotzky (1 de enero de 1994). Grupos discretos, gráficos en expansión y medidas invariantes . Saltador. pag. 49. ISBN 978-3-7643-5075-8.
- ^ ( Breuillard & Oh 2014 , páginas 3-4)
- ↑ ( Breuillard & Oh 2014 , página xi)
Referencias
- Breuillard, Emmanuel; Oh, je, eds. (2014), Grupos delgados y aproximación súper fuerte , Cambridge University Press, ISBN 978-1-107-03685-7
- Matthews, CR; Vaserstein, LN; Weisfeiler, B. (1984), "Propiedades de congruencia de subgrupos densos de Zariski. I.", Proc. London Math. Soc. , Serie 3, 48 (3): 514–532, doi : 10.1112 / plms / s3-48.3.514 , MR 0735226