En la teoría de grupos algebraicos, los teoremas de aproximación son una extensión del teorema del resto chino a los grupos algebraicos G sobre los campos globales k .
Historia
Eichler (1938) demostró una fuerte aproximación para algunos grupos clásicos. Se estableció una fuerte aproximación en las décadas de 1960 y 1970, para grupos algebraicos semisimples simplemente conectados sobre campos globales . Los resultados para los campos numéricos se deben a Kneser ( 1966 ) y Platonov ( 1969 ); el caso del campo de función , sobre campos finitos , se debe a Margulis ( 1977 ) y Prasad ( 1977 ). En el caso del campo numérico, Platonov también demostró un resultado relacionado sobre los campos locales llamado conjetura de Kneser-Tits .
Definiciones y propiedades formales
Sea G un grupo algebraico lineal sobre un campo global k , y A el anillo de Adele de k . Si S es un conjunto finito no vacío de lugares de k , entonces escribimos A S para el anillo de S -adeles y una S para el producto de las terminaciones k s , de s en el conjunto finito S . Para cualquier elección de S , G ( k ) se integra en G ( A S ) y G ( A S ).
La pregunta que se plantea en una aproximación débil es si la incrustación de G ( k ) en G ( A S ) tiene una imagen densa. Si el grupo G está conectado y es k -racional, entonces satisface una aproximación débil con respecto a cualquier conjunto S ( Platonov, Rapinchuk 1994 , p.402) . De manera más general, para cualquier grupo conectado G , existe un conjunto finito T de lugares finitos de k tal que G satisface una aproximación débil con respecto a cualquier conjunto S que sea disjunto con T ( Platonov, Rapinchuk 1994 , p.415) . En particular, si k es un campo numérico algebraico, entonces cualquier grupo G satisface una aproximación débil con respecto al conjunto S = S ∞ de lugares infinitos.
La pregunta que se hace en fuerte aproximación es si la incrustación de G ( k ) en G ( A S ) tiene una imagen densa, o de manera equivalente si el conjunto
- G ( k ) G ( A S )
es un subconjunto denso en G ( A ). El teorema principal de aproximación fuerte ( Kneser 1966 , p.188) establece que un grupo algebraico lineal no resoluble G sobre un campo global k tiene una fuerte aproximación para el conjunto finito S si y solo si su radical N es unipotente , G / N está simplemente conectado, y cada componente casi simple H de G / N tiene un componente no compacto H s para algunos s en S (dependiendo de H ).
Las pruebas de aproximación fuerte dependían del principio de Hasse para grupos algebraicos, que para grupos de tipo E 8 solo se demostró varios años después.
La aproximación débil es válida para una clase más amplia de grupos, incluidos los grupos adjuntos y las formas internas de los grupos de Chevalley , lo que demuestra que la propiedad de aproximación fuerte es restrictiva.
Ver también
Referencias
- Eichler, Martin (1938), "Allgemeine Kongruenzklasseneinteilungen der Ideale einfacher Algebren über algebraischen Zahlkörpern und ihre L-Reihen". , Journal für die Reine und Angewandte Mathematik (en alemán), 179 : 227–251, doi : 10.1515 / crll.1938.179.227 , ISSN 0075-4102
- Kneser, Martin (1966), "Aproximación fuerte", Grupos algebraicos y subgrupos discontinuos (Proc. Sympos. Pure Math., Boulder, Colorado, 1965) , Providence, RI: American Mathematical Society , págs. 187-196, MR 0213361
- Margulis, GA (1977), "Subgrupos combinados en grupos algebraicos sobre campos locales", Akademija Nauk SSSR. Funkcional'nyi Analiz i ego Priloženija , 11 (2): 45–57, 95, ISSN 0374-1990 , MR 0442107
- Platonov, VP (1969), "El problema de la aproximación fuerte y la hipótesis de Kneser-Tits para grupos algebraicos", Izvestiya Akademii Nauk SSSR. Seriya Matematicheskaya , 33 : 1211–1219, ISSN 0373-2436 , MR 0258839
- Platonov, Vladimir; Rapinchuk, Andrei (1994), Grupos algebraicos y teoría de números. (Traducido del original ruso de 1991 por Rachel Rowen.) , Pure and Applied Mathematics, 139 , Boston, MA: Academic Press, Inc., ISBN 0-12-558180-7, MR 1278263
- Prasad, Gopal (1977), "Aproximación fuerte para grupos semi-simples sobre campos de función", Annals of Mathematics , Second Series, 105 (3): 553–572, doi : 10.2307 / 1970924 , ISSN 0003-486X , JSTOR 1970924 , Señor 0444571