En la asignatura matemática de la teoría de grupos geométricos , la tasa de crecimiento de un grupo con respecto a un conjunto generador simétrico describe qué tan rápido crece un grupo. Cada elemento del grupo se puede escribir como un producto de generadores, y la tasa de crecimiento cuenta el número de elementos que se pueden escribir como un producto de longitud n .
Definición
Supongamos que G es un grupo generado finitamente; y T es un conjunto simétrico finito de generadores (simétrico significa que si luego ). Cualquier elementose puede expresar como una palabra en el alfabeto T
Considere el subconjunto de todos los elementos de G que se pueden expresar con una palabra de longitud ≤ n
Este conjunto es solo la bola cerrada de radio n en la métrica de palabra d en G con respecto al grupo electrógeno T :
Más geométricamente, es el conjunto de vértices en el gráfico de Cayley con respecto a T que están dentro de la distancia n de la identidad.
Dadas dos funciones positivas no decreciente una y b se puede decir que son equivalentes () si hay una constante C tal que para todos los enteros positivos n ,
por ejemplo Si .
Entonces, la tasa de crecimiento del grupo G se puede definir como la clase de equivalencia correspondiente de la función
dónde denota el número de elementos en el conjunto . Aunque la funcióndepende del conjunto de generadores T su tasa de crecimiento no (ver más abajo) y por lo tanto la tasa de crecimiento da una invariante de un grupo.
La palabra métrica dy, por lo tanto, establecedependerá del conjunto de generación de T . Sin embargo, dos de estas métricas son equivalentes en bilipschitz en el siguiente sentido: para los conjuntos generadores simétricos finitos E , F , hay una constante positiva C tal que
Como corolario inmediato de esta desigualdad obtenemos que la tasa de crecimiento no depende de la elección del grupo electrógeno.
Crecimiento polinomial y exponencial
Si
para algunos decimos que G tiene una tasa de crecimiento polinomial . El infimumde tales k se llama orden de crecimiento polinomial . Según el teorema de Gromov , un grupo de crecimiento polinomial es un grupo virtualmente nilpotente , es decir, tiene un subgrupo nilpotente de índice finito . En particular, el orden de crecimiento polinomialtiene que ser un número natural y de hecho.
Si para algunos decimos que G tiene una tasa de crecimiento exponencial . Cada G generado de forma finita tiene como mucho un crecimiento exponencial, es decir, para algunos tenemos .
Si crece más lentamente que cualquier función exponencial , G tiene una tasa de crecimiento subexponencial . Cualquiera de esos grupos es receptivo .
Ejemplos de
- Un grupo libre de rango finito tiene una tasa de crecimiento exponencial.
- Un grupo finito tiene un crecimiento constante, es decir, un crecimiento polinomial de orden 0, y esto incluye grupos fundamentales de variedades cuya cobertura universal es compacta .
- Si M es una variedad riemanniana cerrada curvada negativamente, entonces su grupo fundamental tiene una tasa de crecimiento exponencial. John Milnor demostró esto usando el hecho de que la palabra métrica enes cuasi-isométrica a la cobertura universal de M .
- El grupo abeliano libre tiene una tasa de crecimiento polinomial de orden d .
- El discreto grupo de Heisenberg tiene una tasa de crecimiento polinomial de orden 4. Este hecho es un caso especial del teorema general de Hyman Bass e Yves Guivarch que se analiza en el artículo sobre el teorema de Gromov .
- El grupo de los faroleros tiene un crecimiento exponencial.
- La existencia de grupos con crecimiento intermedio , es decir subexponenciales pero no polinomiales, estuvo abierta durante muchos años. La pregunta fue hecha por Milnor en 1968 y finalmente fue respondida positivamente por Rostislav Grigorchuk en 1984. Todavía hay preguntas abiertas en esta área y falta una imagen completa de qué órdenes de crecimiento son posibles y cuáles no.
- Los grupos de triángulos incluyen infinitos grupos finitos (los esféricos, correspondientes a la esfera), tres grupos de crecimiento cuadrático (los euclidianos, correspondientes al plano euclidiano) e infinitos grupos de crecimiento exponencial (los hiperbólicos, correspondientes al hiperbólico). avión).
Ver también
Referencias
- Milnor J. (1968). "Una nota sobre curvatura y grupo fundamental" . Revista de geometría diferencial . 2 : 1–7. doi : 10.4310 / jdg / 1214501132 .
- Grigorchuk RI (1984). "Grados de crecimiento de grupos generados finitamente y teoría de medias invariantes". Izv. Akad. Nauk SSSR Ser. Estera. (en ruso). 48 (5): 939–985.
Otras lecturas
- Rostislav Grigorchuk e Igor Pak (2006). "Grupos de crecimiento intermedio: una introducción para principiantes". arXiv : matemáticas.GR / 0607384 .