En física teórica , la mecánica cuántica supersimétrica es un área de investigación en la que la supersimetría se aplica al entorno más simple de la mecánica cuántica simple , en lugar de la teoría cuántica de campos . La mecánica cuántica supersimétrica ha encontrado aplicaciones fuera de la física de alta energía , como proporcionar nuevos métodos para resolver problemas de mecánica cuántica, proporcionar extensiones útiles para la aproximación WKB y la mecánica estadística .
Comprender las consecuencias de la supersimetría (SUSY) ha demostrado ser matemáticamente abrumador, y también ha sido difícil desarrollar teorías que puedan explicar la ruptura de la simetría, es decir, la falta de partículas asociadas observadas de igual masa. Para avanzar en estos problemas, los físicos desarrollaron la mecánica cuántica supersimétrica , una aplicación de la superálgebra supersimétrica a la mecánica cuántica en oposición a la teoría cuántica de campos. Se esperaba que estudiar las consecuencias de SUSY en este entorno más simple conduciría a una nueva comprensión; Sorprendentemente, el esfuerzo creó nuevas áreas de investigación en la propia mecánica cuántica.
Por ejemplo, a los estudiantes se les suele enseñar a "resolver" el átomo de hidrógeno mediante un laborioso proceso que comienza insertando el potencial de Coulomb en la ecuación de Schrödinger . Después de una cantidad considerable de trabajo utilizando muchas ecuaciones diferenciales, el análisis produce una relación de recursión para los polinomios de Laguerre . El resultado final es el espectro de estados de energía del átomo de hidrógeno (etiquetados por los números cuánticos n y l ). Usando ideas extraídas de SUSY, el resultado final se puede derivar con una facilidad significativamente mayor, de la misma manera que los métodos de operadores se usan para resolver el oscilador armónico . [1]También se puede usar un enfoque supersimétrico similar para encontrar con mayor precisión el espectro de hidrógeno usando la ecuación de Dirac. [2] Por extraño que parezca, este enfoque es análogo a la forma en que Erwin Schrödinger resolvió por primera vez el átomo de hidrógeno. [3] [4] Por supuesto, no llamó a su solución supersimétrica, ya que SUSY estaba treinta años en el futuro.
La solución SUSY del átomo de hidrógeno es solo un ejemplo de la clase muy general de soluciones que SUSY proporciona a los potenciales de forma invariable , una categoría que incluye la mayoría de los potenciales que se enseñan en los cursos de introducción a la mecánica cuántica.
La mecánica cuántica SUSY involucra pares de hamiltonianos que comparten una relación matemática particular, que se denominan compañeros hamiltonianos . (Los términos de energía potencial que aparecen en los hamiltonianos se denominan potenciales asociados ). Un teorema introductorio muestra que para cada estado propiode un hamiltoniano, su compañero hamiltoniano tiene un estado propio correspondiente con la misma energía (excepto posiblemente para estados propios de energía cero). Este hecho se puede explotar para deducir muchas propiedades del espectro de estado propio. Es análogo a la descripción original de SUSY, que se refería a bosones y fermiones. Podemos imaginar un "Hamiltoniano bosónico", cuyos estados propios son los diversos bosones de nuestra teoría. El socio SUSY de este hamiltoniano sería "fermiónico", y sus estados propios serían los fermiones de la teoría. Cada bosón tendría un compañero fermiónico de igual energía, pero, en el mundo relativista, la energía y la masa son intercambiables, por lo que podemos decir fácilmente que las partículas compañeras tienen la misma masa.
Los conceptos SUSY han proporcionado extensiones útiles a la aproximación WKB en forma de una versión modificada de la condición de cuantificación de Bohr-Sommerfeld . Además, SUSY se ha aplicado a la mecánica estadística no cuántica a través de la ecuación de Fokker-Planck , lo que demuestra que incluso si la inspiración original en la física de partículas de alta energía resulta ser un callejón sin salida, su investigación ha aportado muchos beneficios útiles.