Estado cuántico

Entidad matemática para describir la probabilidad de cada posible medición en un sistema.

Parte de una serie sobre
Mecánica cuántica
${\displaystyle i\hbar {\frac {\partial }{\partial t}}|\psi (t)\rangle ={\hat {H}}|\psi (t)\rangle }$ Ecuación de Schrödinger
Introducción Glosario Historia Libros de texto
Fondo Mecanica clasica Teoría cuántica antigua Notación bra-ket Hamiltoniano Interferencia
Fundamentos Regla nacida Longitud de onda de Compton Coherencia Decoherencia Complementariedad Nivel de energía Entrelazamiento Hamiltoniano Principio de incertidumbre Estado fundamental Amplitud de probabilidad Distribución de probabilidad Interferencia Medición Medida débil No localidad Observable Operador Cuántico Fluctuación cuántica Número cuántico Ruido cuántico Estado cuántico Sistema cuántico Teletransportación cuántica Qubit Girar Superposición Estado de vacío cuántico Simetría Ruptura de simetría (espontánea) Estado de vacío Propagación de onda Función de onda Colapso de la función de onda Dualidad onda-partícula Ola de materia Barrera de potencial rectangular Espacio fock
Efectos Efecto Zeeman Efecto Stark Efecto Aharonov-Bohm Cuantización de Landau Efecto Hall cuántico Efecto Quantum Zeno Túneles cuánticos Efecto fotoeléctrico Efecto Casimir
Experimentos La desigualdad de Bell Davisson – Germer Doble hendidura Elitzur – Vaidman Franck – Hertz Desigualdad de Leggett-Garg Mach – Zehnder Corchete Borrador cuántico  ( opción retardada ) El gato de Schrödinger Stern – Gerlach La elección retrasada de Wheeler
Formulaciones Descripción general Imágenes dinámicas ( Heisenberg ; Interacción ; Schrödinger ) Matriz Espacio de fase Sumas sobre historias (integral de ruta)
Ecuaciones Dirac Hellmann – Feynman Klein – Gordon Lippmann – Schwinger Pauli Rydberg Schrödinger Integración funcional
Interpretaciones Descripción general Bayesiano Historias consistentes Copenhague de Broglie – Bohm Conjunto Variable oculta Muchos-mundos Colapso objetivo Lógica cuántica Relacional Transaccional
Temas avanzados Hipótesis de termalización del estado propio Recocido cuántico Caos cuántico Computación cuántica Geometría cuántica Matriz de densidad Teoría cuántica de campos Mecánica cuántica fraccional Gravedad cuántica Ciencia de la información cuántica Aprendizaje automático cuántico Teoría de la perturbación (mecánica cuántica) Mecánica cuántica relativista Teoría de la dispersión Teoría del vacío superfluido Conversión descendente paramétrica espontánea Mecánica estadística cuántica
Científicos Aharonov campana Blackett Bloch Bohm Bohr Nació Bose de Broglie Candlin Compton Dirac Davisson Debye Ehrenfest Einstein Everett Fock Fermi Feynman Glauber Gutzwiller Heisenberg Hilbert Jordán Kramers Pauli Cordero Landó Laue Moseley Millikan Onnes Planck Rabi Raman Reid Rydberg Schrödinger Simmons Sommerfeld von Neumann Weyl Viena Wigner Zeeman Zeilinger Goudsmit Uhlenbeck Yang
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En física cuántica , un estado cuántico es una entidad matemática que proporciona una distribución de probabilidad para los resultados de cada posible medición en un sistema. El conocimiento del estado cuántico junto con las reglas para la evolución del sistema en el tiempo agota todo lo que se puede predecir sobre el comportamiento del sistema. Una mezcla de estados cuánticos es nuevamente un estado cuántico. Los estados cuánticos que no pueden escribirse como una mezcla de otros estados se denominan estados cuánticos puros , mientras que todos los demás estados se denominan estados cuánticos mixtos . Un estado cuántico puro puede ser representado por un rayo en un espacio de Hilbert sobre elnúmeros complejos , ^{[1] [2]} mientras que los estados mixtos están representados por matrices de densidad , que son operadores semidefinitos positivos que actúan sobre los espacios de Hilbert. ^{[3] [4]}

Los estados puros también se conocen como vectores de estado o funciones de onda , el último término se aplica particularmente cuando se representan como funciones de posición o momento. Por ejemplo, cuando se trata del espectro de energía del electrón en un átomo de hidrógeno , los vectores de estado relevantes se identifican por el número cuántico principal n , el número cuántico de momento angular l , el número cuántico magnético my el componente z de espín s _z . Para otro ejemplo, si el espín de un electrón se mide en cualquier dirección, por ejemplo, con un experimento de Stern-Gerlach, hay dos resultados posibles: hacia arriba o hacia abajo. Por tanto, el espacio de Hilbert para el espín del electrón es bidimensional y constituye un qubit . Un estado puro aquí está representado por un vector complejo bidimensional , con una longitud de uno; es decir, con${\displaystyle (\alpha ,\beta )}$

${\displaystyle |\alpha |^{2}+|\beta |^{2}=1,}$

donde y son los valores absolutos de y . Un estado mixto, en este caso, tiene la estructura de una matriz que es hermitiana y semidefinida positiva, y tiene traza 1. ^[5] Un caso más complicado viene dado (en notación entre corchetes ) por el estado singlete , que ejemplifica el entrelazamiento cuántico :${\displaystyle |\alpha |}$${\displaystyle |\beta |}$${\displaystyle \alpha }$${\displaystyle \beta }$${\displaystyle 2\times 2}$

${\displaystyle \left|\psi \right\rangle ={\frac {1}{\sqrt {2}}}{\big (}\left|\uparrow \downarrow \right\rangle -\left|\downarrow \uparrow \right\rangle {\big )},}$

que implica la superposición de estados de espín conjuntos para dos partículas con espín 1 ⁄ 2 . El estado singlete satisface la propiedad de que si los giros de las partículas se miden en la misma dirección, entonces se observa el giro de la primera partícula hacia arriba y el giro de la segunda partícula hacia abajo, o el primero se observa hacia abajo y el segundo. uno se observa hacia arriba, ambas posibilidades ocurren con igual probabilidad.

Un estado cuántico mixto corresponde a una mezcla probabilística de estados puros; sin embargo, diferentes distribuciones de estados puros pueden generar estados mixtos equivalentes (es decir, físicamente indistinguibles). El teorema de Schrödinger-HJW clasifica la multitud de formas de escribir un estado mixto dado como una combinación convexa de estados puros. ^[6] Antes de que se realice una medición particular en un sistema cuántico, la teoría proporciona solo una distribución de probabilidad para el resultado, y la forma que toma esta distribución está completamente determinada por el estado cuántico y los operadores lineales.describiendo la medida. Las distribuciones de probabilidad para diferentes medidas exhiben compensaciones ejemplificadas por el principio de incertidumbre : un estado que implica una gama estrecha de resultados posibles para un experimento implica necesariamente una amplia gama de resultados posibles para otro.

Descripción conceptual

Estados puros

Ver también: Introducción a los estados propios

Densidades de probabilidad para el electrón de un átomo de hidrógeno en diferentes estados cuánticos.

En la formulación matemática de la mecánica cuántica , los estados cuánticos puros corresponden a vectores en un espacio de Hilbert , mientras que cada cantidad observable (como la energía o el momento de una partícula ) está asociada con un operador matemático . El operador actúa como una función lineal que actúa sobre los estados del sistema. Los valores propios del operador corresponden a los posibles valores del observable. Por ejemplo, es posible observar una partícula con una cantidad de movimiento de 1 kg⋅m / s si y solo si uno de los valores propios del operador de la cantidad de movimiento es 1 kg⋅m / s. El vector propio correspondiente (que los físicos llaman un estado propio) con un valor propio de 1 kg⋅m / s sería un estado cuántico con un valor de momento definido y bien definido de 1 kg⋅m / s, sin incertidumbre cuántica . Si se midiera su impulso, se garantiza que el resultado será 1 kg⋅m / s.

Por otro lado, un sistema en una superposición de múltiples estados propios diferentes tiene, en general, incertidumbre cuántica para el observable dado. Podemos representar esta combinación lineal de autoestados como:

${\displaystyle |\Psi (t)\rangle =\sum _{n}C_{n}(t)|\Phi _{n}\rangle .}$

El coeficiente que corresponde a un estado particular en la combinación lineal es un número complejo, lo que permite efectos de interferencia entre estados. Los coeficientes dependen del tiempo. La forma en que un estado cuántico cambia en el tiempo está gobernada por el operador de evolución temporal . Los símbolos y ^{[a] que} rodean son parte de la notación bra-ket .${\displaystyle |}$${\displaystyle \rangle }$${\displaystyle \Psi }$

Las mezclas estadísticas de estados son un tipo diferente de combinación lineal. Una mezcla estadística de estados es un conjunto estadístico de sistemas independientes. Las mezclas estadísticas representan el grado de conocimiento, mientras que la incertidumbre dentro de la mecánica cuántica es fundamental. Matemáticamente, una mezcla estadística no es una combinación que utiliza coeficientes complejos, sino más bien una combinación que utiliza probabilidades positivas de valores reales de diferentes estados . Un número representa la probabilidad de que un sistema seleccionado al azar esté en el estado . A diferencia del caso de combinación lineal, cada sistema se encuentra en un estado propio definido. ^{[7] [8]}${\displaystyle \Phi _{n}}$${\displaystyle P_{n}}$${\displaystyle \Phi _{n}}$

El valor esperado de un observable A es una media estadística de los valores medidos del observable. Es esta media, y la distribución de probabilidades, lo que predicen las teorías físicas.${\displaystyle \langle A\rangle _{\sigma }}$

No hay ningún estado que sea simultáneamente un estado propio para todos los observables. Por ejemplo, no podemos preparar un estado tal que tanto la medición de la posición Q ( t ) como la medición del momento P ( t ) (al mismo tiempo t ) se conozcan exactamente; al menos uno de ellos tendrá un rango de valores posibles. ^[b] Este es el contenido de la relación de incertidumbre de Heisenberg .

Además, a diferencia de la mecánica clásica, es inevitable que realizar una medición en el sistema generalmente cambie su estado . ^{[9] [10] [c]} Más precisamente: después de medir un A observable , el sistema estará en un estado propio de A ; por lo tanto, el estado ha cambiado, a menos que el sistema ya estuviera en ese estado propio. Esto expresa una especie de consistencia lógica: si medimos A dos veces en la misma ejecución del experimento, siendo las mediciones directamente consecutivas en el tiempo, ^[d] entonces producirán los mismos resultados. Sin embargo, esto tiene algunas consecuencias extrañas, como sigue.

Consideremos dos observables incompatibles , A y B , donde A corresponde a una medida anterior en el tiempo de B . ^[e] Suponga que el sistema está en un estado propio de B al comienzo del experimento. Si medimos solo B , todas las ejecuciones del experimento producirán el mismo resultado. Si medimos primero A y luego B en la misma ejecución del experimento, el sistema se transferirá a un estado propio de A después de la primera medición, y generalmente notaremos que los resultados de B son estadísticos. Por lo tanto:Las mediciones de la mecánica cuántica se influyen entre sí , y el orden en el que se realizan es importante.

Otra característica de los estados cuánticos se vuelve relevante si consideramos un sistema físico que consta de múltiples subsistemas; por ejemplo, un experimento con dos partículas en lugar de una. La física cuántica permite ciertos estados, llamados estados entrelazados , que muestran ciertas correlaciones estadísticas entre las mediciones de las dos partículas que no pueden ser explicadas por la teoría clásica. Para obtener más información, consulte entrelazamiento . Estos estados entrelazados conducen a propiedades comprobables experimentalmente ( teorema de Bell ) que nos permiten distinguir entre la teoría cuántica y los modelos clásicos alternativos (no cuánticos).

Imagen de Schrödinger frente a imagen de Heisenberg

Se puede considerar que los observables dependen del tiempo, mientras que el estado σ se fijó una vez al comienzo del experimento. Este enfoque se denomina imagen de Heisenberg . (Este enfoque se adoptó en la última parte de la discusión anterior, con observables variables en el tiempo P ( t ), Q ( t )). De manera equivalente, se pueden tratar los observables como fijos, mientras que el estado del sistema depende del tiempo. ; eso se conoce como la imagen de Schrödinger . (Este enfoque se adoptó en la parte anterior de la discusión anterior, con un estado variable en el tiempo ). Conceptualmente (y matemáticamente), los dos enfoques son equivalentes; elegir uno de ellos es una cuestión de convención.${\textstyle |\Psi (t)\rangle =\sum _{n}C_{n}(t)|\Phi _{n}\rangle }$

Ambos puntos de vista se utilizan en la teoría cuántica. Si bien la mecánica cuántica no relativista generalmente se formula en términos de la imagen de Schrödinger, la imagen de Heisenberg a menudo se prefiere en un contexto relativista, es decir, para la teoría cuántica de campos . Compárese con la imagen de Dirac . ^{[12] : 65}

Formalismo en física cuántica

Ver también: Formulación matemática de la mecánica cuántica.

Estados puros como rayos en un complejo espacio de Hilbert

La física cuántica se formula más comúnmente en términos de álgebra lineal , como sigue. Cualquier sistema dado se identifica con algún espacio de Hilbert de dimensión finita o infinita . Los estados puros corresponden a vectores de norma 1. Por tanto, el conjunto de todos los estados puros corresponde a la esfera unitaria en el espacio de Hilbert, porque la esfera unitaria se define como el conjunto de todos los vectores con norma 1.

Multiplicar un estado puro por un escalar es físicamente intrascendente (siempre que el estado se considere por sí mismo). Si un vector en un espacio complejo de Hilbert puede obtenerse de otro vector multiplicando por algún número complejo distinto de cero, se dice que los dos vectores corresponden al mismo "rayo" en ^{[1] : 50} y también al mismo punto en el espacio de Hilbert proyectivo de .${\displaystyle H}$${\displaystyle H}$${\displaystyle H}$

Notación bra-ket

Artículo principal: notación Bra-Ket

Los cálculos en mecánica cuántica hacen uso frecuente de operadores lineales , productos escalares, espacios duales y conjugación hermitiana . Para que estos cálculos fluyan sin problemas y para que sea innecesario (en algunos contextos) comprender completamente el álgebra lineal subyacente, Paul Dirac inventó una notación para describir los estados cuánticos, conocida como notación bra-ket . Aunque los detalles de esto están más allá del alcance de este artículo, algunas consecuencias de esto son:

• La expresión usada para denotar un vector de estado (que corresponde a un estado cuántico puro) toma la forma (donde el " " puede ser reemplazado por cualquier otro símbolo, letra, número o incluso palabras). Esto se puede contrastar con la notación matemática habitual , en la que los vectores suelen ser letras latinas en minúsculas y, por el contexto, se desprende claramente que son vectores.${\displaystyle |\psi \rangle }$${\displaystyle \psi }$
• Dirac definió dos tipos de vector, bra y ket , duales entre sí. ^[F]
• Cada ket está asociado de forma única con un supuesto sujetador , denotado , que corresponde al mismo estado cuántico físico. Técnicamente, el sujetador es el adjunto del ket. Es un elemento del espacio dual y está relacionado con el ket por el teorema de representación de Riesz . En un espacio de dimensión finita con una base elegida, escribiendo como un vector de columna, es un vector de fila; para obtenerlo, simplemente tome el conjugado complejo de transposición y entrada de .${\displaystyle |\psi \rangle }$${\displaystyle \langle \psi |}$${\displaystyle |\psi \rangle }$${\displaystyle \langle \psi |}$${\displaystyle |\psi \rangle }$
• Productos escalares ^{[g] [h]} (también llamados soportes ) son escritos de manera que se vea como un sujetador y ket uno junto al otro: . (Se supone que la frase "bra-ket" se parece a "paréntesis").${\displaystyle \langle \psi _{1}|\psi _{2}\rangle }$

Girar

Artículo principal: Formulación matemática de la mecánica cuántica § Spin

El momento angular tiene la misma dimensión ( M · L ² · T ⁻¹ ) que la constante de Planck y, a escala cuántica, se comporta como un grado discreto de libertad de un sistema cuántico. ^{[ cual? ]} La mayoría de las partículas poseen una especie de momento angular intrínseco que no aparece en absoluto en la mecánica clásica y surge de la generalización relativista de la teoría de Dirac. Matemáticamente se describe con espinores . En la mecánica cuántica no relativista, las representaciones grupales del grupo de LieSU (2) se utilizan para describir esta libertad adicional. Para una partícula dada, la elección de representación (y por lo tanto el rango de valores posibles del espín observable) se especifica mediante un número no negativo S que, en unidades de la constante reducida de Planck ħ , es un número entero (0, 1, 2 ...) o medio entero (1/2, 3/2, 5/2 ...). Para una partícula masiva con espín S , su número cuántico de espín m siempre asume uno de los 2 valores posibles S + 1 en el conjunto

${\displaystyle \{-S,-S+1,\ldots +S-1,+S\}}$

Como consecuencia, el estado cuántico de una partícula con espín se describe mediante una función de onda de valor vectorial con valores en C 2 S +1 . De manera equivalente, se representa mediante una función de valor complejo de cuatro variables: una variable numérica cuántica discreta (para el giro) se agrega a las tres variables continuas habituales (para la posición en el espacio).

Estados de muchos cuerpos y estadísticas de partículas

Más información: Estadísticas de partículas

El estado cuántico de un sistema de N partículas, cada una potencialmente con espín, se describe mediante una función de valor complejo con cuatro variables por partícula, correspondientes a 3 coordenadas espaciales y espín , p. Ej.

${\displaystyle |\psi (\mathbf {r} _{1},\,m_{1};\;\dots ;\;\mathbf {r} _{N},\,m_{N})\rangle .}$

Aquí, las variables de espín m _ν asumen valores del conjunto

${\displaystyle \{-S_{\nu },\,-S_{\nu }+1,\,\ldots ,\,+S_{\nu }-1,\,+S_{\nu }\}}$

donde es el giro de la ν- ésima partícula. para una partícula que no exhibe espín.${\displaystyle S_{\nu }}$${\displaystyle S_{\nu }=0}$

El tratamiento de partículas idénticas es muy diferente para los bosones (partículas con espín entero) frente a los fermiones (partículas con espín medio entero). La función de N -partícula anterior debe ser simétrica (en el caso bosónico) o antisimetrizada (en el caso fermiónico) con respecto al número de partículas. Si no todas las N partículas son idénticas, pero algunas lo son, entonces la función debe ser (anti) simetrizada por separado sobre las variables correspondientes a cada grupo de variables idénticas, de acuerdo con sus estadísticas (bosónicas o fermiónicas).

Los electrones son fermiones con S  = 1/2, los fotones (cuantos de luz) son bosones con S  = 1 (aunque en el vacío no tienen masa y no se pueden describir con la mecánica de Schrödinger).

Cuando la simetrización o antisimetrización es innecesaria, los espacios de estados de N -partículas pueden obtenerse simplemente mediante los productos tensoriales de espacios de una partícula, a los que volveremos más adelante.

Estados básicos de los sistemas de una partícula

Al igual que con cualquier espacio de Hilbert , si se elige una base para el espacio de Hilbert de un sistema, entonces cualquier ce puede expandirse como una combinación lineal de esos elementos básicos. Simbólicamente, dados los kets de base , cualquier ket puede escribirse${\displaystyle |{k_{i}}\rangle }$${\displaystyle |\psi \rangle }$

${\displaystyle |\psi \rangle =\sum _{i}c_{i}|{k_{i}}\rangle }$

donde c _i son números complejos . En términos físicos, esto se describe diciendo que se ha expresado como una superposición cuántica de los estados . Si las kets base se eligen para que sean ortonormales (como suele ser el caso), entonces .${\displaystyle |\psi \rangle }$${\displaystyle |{k_{i}}\rangle }$${\displaystyle c_{i}=\langle {k_{i}}|\psi \rangle }$

Una propiedad que vale la pena señalar es que los estados normalizados se caracterizan por${\displaystyle |\psi \rangle }$

${\displaystyle \langle \psi |\psi \rangle =1,}$

y para una base ortonormal esto se traduce en

${\displaystyle \sum _{i}\left|c_{i}\right|^{2}=1.}$

Las expansiones de este tipo juegan un papel importante en la medición de la mecánica cuántica. En particular, si son autoestados (con autovalores k _i ) de un observable, y ese observable se mide en el estado normalizado , entonces la probabilidad de que el resultado de la medición sea k _i es | c _i | ² . (La condición de normalización anterior exige que la suma total de probabilidades sea igual a uno).${\displaystyle |{k_{i}}\rangle }$ ${\displaystyle |\psi \rangle }$

Un ejemplo particularmente importante es la base de posición , que es la base que consta de estados propios con valores propios del observable que corresponde a la posición de medición. ^[i] Si estos autoestados no son degenerados (por ejemplo, si el sistema es una sola partícula sin espinas ), cualquier cet está asociado con una función de valor complejo del espacio tridimensional.${\displaystyle |\mathbf {r} \rangle }$${\displaystyle \mathbf {r} }$${\displaystyle |\psi \rangle }$

${\displaystyle \psi (\mathbf {r} )\equiv \langle \mathbf {r} |\psi \rangle .}$^[k]

Esta función se denomina función de onda correspondiente a . De manera similar al caso discreto anterior, la densidad de probabilidad de la partícula que se encuentra en la posición es y los estados normalizados tienen ${\displaystyle |\psi \rangle }$${\displaystyle \mathbf {r} }$${\displaystyle |\psi (\mathbf {r} )|^{2}}$

${\displaystyle \int \mathrm {d} ^{3}\mathbf {r} \,|\psi (\mathbf {r} )|^{2}=1}$.

En términos del conjunto continuo de bases de posición , el estado es:${\displaystyle |\mathbf {r} \rangle }$${\displaystyle |\psi \rangle }$

${\displaystyle |\psi \rangle =\int \mathrm {d} ^{3}\mathbf {r} \,\psi (\mathbf {r} )|\mathbf {r} \rangle }$.

Superposición de estados puros

Artículo principal: superposición cuántica

Como se mencionó anteriormente, los estados cuánticos pueden superponerse . Si y son dos kets correspondientes a estados cuánticos, el ket${\displaystyle |\alpha \rangle }$${\displaystyle |\beta \rangle }$

${\displaystyle c_{\alpha }|\alpha \rangle +c_{\beta }|\beta \rangle }$

es un estado cuántico diferente (posiblemente no normalizado). Tenga en cuenta que tanto las amplitudes como las fases ( argumentos ) de e influirán en el estado cuántico resultante. En otras palabras, por ejemplo, a pesar de y (de verdad θ ) corresponden al mismo estado cuántico física, son intercambiables , ya y serán no corresponden al mismo estado físico para todas las opciones de . Sin embargo, y se corresponden al mismo estado físico. Esto a veces se describe diciendo que los factores de fase "globales" no son físicos, pero los factores de fase "relativos" son físicos e importantes.${\displaystyle c_{\alpha }}$${\displaystyle c_{\beta }}$${\displaystyle |\psi \rangle }$${\displaystyle e^{i\theta }|\psi \rangle }$${\displaystyle |\phi \rangle +|\psi \rangle }$${\displaystyle |\phi \rangle +e^{i\theta }|\psi \rangle }$${\displaystyle |\phi \rangle }$${\displaystyle |\phi \rangle +|\psi \rangle }$${\displaystyle e^{i\theta }(|\phi \rangle +|\psi \rangle )}$

Un ejemplo práctico de superposición es el experimento de la doble rendija , en el que la superposición conduce a la interferencia cuántica . El estado del fotón es una superposición de dos estados diferentes, uno correspondiente al viaje del fotón a través de la rendija izquierda y el otro correspondiente al viaje a través de la rendija derecha. La fase relativa de esos dos estados depende de la diferencia de las distancias de las dos rendijas. Dependiendo de esa fase, la interferencia es constructiva en algunos lugares y destructiva en otros, creando el patrón de interferencia. Podemos decir que los estados superpuestos están en superposición coherente , por analogía con la coherencia en otros fenómenos ondulatorios.

Otro ejemplo de la importancia de la fase relativa en la superposición cuántica son las oscilaciones de Rabi , donde la fase relativa de dos estados varía en el tiempo debido a la ecuación de Schrödinger . La superposición resultante termina oscilando hacia adelante y hacia atrás entre dos estados diferentes.

Estados mixtos

Artículo principal: matriz de densidad

Un estado cuántico puro es un estado que puede describirse mediante un solo vector Ket, como se describió anteriormente. Un estado cuántico mixto es un conjunto estadístico de estados puros (ver mecánica estadística cuántica ). Los estados mixtos surgen inevitablemente de estados puros cuando, para un sistema cuántico compuesto con un estado entrelazado , la parte es inaccesible para el observador. El estado de la parte se expresa entonces como la traza parcial sobre .${\displaystyle H_{1}\otimes H_{2}}$${\displaystyle H_{2}}$${\displaystyle H_{1}}$${\displaystyle H_{2}}$

Un estado mixto no se puede describir con un solo vector Ket. En cambio, se describe por su matriz de densidad asociada (u operador de densidad ), generalmente denotado ρ . Tenga en cuenta que las matrices de densidad pueden describir tanto estados mixtos como puros, tratándolos en el mismo plano. Además, un estado cuántico mixto en un sistema cuántico dado descrito por un espacio de Hilbert siempre se puede representar como el rastro parcial de un estado cuántico puro (llamado purificación ) en un sistema bipartito más grande para un espacio de Hilbert suficientemente grande .${\displaystyle H}$${\displaystyle H\otimes K}$${\displaystyle K}$

La matriz de densidad que describe un estado mixto se define como un operador de la forma

${\displaystyle \rho =\sum _{s}p_{s}|\psi _{s}\rangle \langle \psi _{s}|}$

¿Dónde está la fracción del conjunto en cada estado puro? La matriz de densidad se puede considerar como una forma de usar el formalismo de una partícula para describir el comportamiento de muchas partículas similares dando una distribución de probabilidad (o conjunto) de estados que estas partículas puede encontrarse en.${\displaystyle p_{s}}$${\displaystyle |\psi _{s}\rangle .}$

Un criterio simple para verificar si una matriz de densidad describe un estado puro o mixto es que la traza de ρ ² sea ​​igual a 1 si el estado es puro, y menor a 1 si el estado es mixto. ^{[1] [14]} Otro criterio equivalente es que la entropía de von Neumann es 0 para un estado puro y estrictamente positiva para un estado mixto.

Las reglas de medición en mecánica cuántica son particularmente sencillas de establecer en términos de matrices de densidad. Por ejemplo, el promedio del conjunto ( valor esperado ) de una medida correspondiente a un observable A viene dado por

${\displaystyle \langle A\rangle =\sum _{s}p_{s}\langle \psi _{s}|A|\psi _{s}\rangle =\sum _{s}\sum _{i}p_{s}a_{i}|\langle \alpha _{i}|\psi _{s}\rangle |^{2}=\operatorname {tr} (\rho A)}$

donde son mercados propios y valores propios, respectivamente, para el operador A , y "tr" denota traza. Es importante notar que se están produciendo dos tipos de promedios, uno es una superposición cuántica ponderada sobre las kets base de los estados puros, y el otro es un promedio estadístico (dicho incoherente ) con las probabilidades p _s de esos estados.${\displaystyle |\alpha _{i}\rangle ,\;a_{i}}$${\displaystyle |\psi _{s}\rangle }$

Según Eugene Wigner , ^[15] el concepto de mezcla fue propuesto por Lev Landau . ^{[16] [13] : 38–41}

Generalizaciones matemáticas

Los estados se pueden formular en términos de observables, en lugar de como vectores en un espacio vectorial. Estos son funcionales lineales normalizados positivos en un C * -álgebra , o algunas veces otras clases de álgebras de observables. Consulte Estado en un álgebra C * y construcción Gelfand – Naimark – Segal para obtener más detalles.

Ver también

• Transición de electrones atómicos
• Esfera de Bloch
• Estado de Greenberger-Horne-Zeilinger
• Estado fundamental
• Introducción a la mecánica cuántica
• Teorema de no clonación
• Base ortonormal
• Teorema de PBR
• Oscilador armónico cuántico
• Puerta lógica cuántica
• Reducción del vector de estado , por razones históricas llamado colapso de la función de onda
• Estado estacionario
• Estado W

Notas

1. A veces escrito ">"; ver corchetes angulares .
2. Para evitar malentendidos: aquí queremos decir que Q ( t ) y P ( t ) se miden en el mismo estado, pero no en la misma ejecución del experimento.
3. Dirac (1958), ^[11] p. 4: "Si un sistema es pequeño, no podemos observarlo sin producir una perturbación grave".
4. es decir, separados por un retardo cero. Uno puede pensar en ello como detener el tiempo, luego hacer las dos mediciones una tras otra y luego reanudar el tiempo. Por lo tanto, las mediciones ocurrieron al mismo tiempo, pero aún es posible saber cuál fue la primera.
5. En aras de la concreción, suponga que A = Q ( t ₁ ) y B = P ( t ₂ ) en el ejemplo anterior, con t ₂ > t ₁ > 0.
6. Dirac (1958), ^[11] p. 20: "Los vectores de sujetador, como se han introducido aquí, son un tipo de vector bastante diferente de los kets, y hasta ahora no hay conexión entre ellos excepto por la existencia de un producto escalar de un sujetador y un ket".
7. Dirac (1958), ^[11] p. 19: "Un producto escalar〈B | A〉 ahora aparece como una expresión completa entre corchetes".
8. Gottfried (2013), ^[12] p. 31 : "para definir los productos escalares entre sujetadores y kets".
9. Tenga en cuenta que un estadoes una superposición de diferentes estados base, por lo queyson elementos del mismo espacio de Hilbert. Una partícula en estadose encuentra exactamente en una posición, mientras que una partícula en estadose puede encontrar en diferentes posiciones con las probabilidades correspondientes.${\displaystyle |\psi \rangle }$${\displaystyle |\mathbf {r} \rangle }$${\displaystyle |\psi \rangle }$${\displaystyle |\mathbf {r} \rangle }$${\displaystyle |\mathbf {r} \rangle }$${\displaystyle \mathbf {r} =(x,y,z)}$${\displaystyle |\psi \rangle }$
10. Landau (1965), ^[13] p. 17: " ∫ Ψ _{f ′} Ψ _f * d q = δ ( f ′ - f ) " (el lado izquierdo corresponde a〈f | f ′〉 ), " ∫ δ ( f ′ - f ) d f ′ = 1 " .
11. En el caso continuo, las kets de baseno sonketsunitarias (a diferencia del estado): están normalizadas de acuerdo con ^[j] es decir(una función delta de Dirac ), lo que significa que${\displaystyle |\mathbf {r} \rangle }$${\displaystyle |\psi \rangle }$${\displaystyle \textstyle \int \mathrm {d} ^{3}\mathbf {r} '\,\langle \mathbf {r} |\mathbf {r} '\rangle =1,}$${\displaystyle \langle \mathbf {r} |\mathbf {r} '\rangle =\delta (\mathbf {r} '-\mathbf {r} )}$${\displaystyle \langle \mathbf {r} |\mathbf {r} \rangle =\infty .}$
12. Tenga en cuenta que este criterio funciona cuando la matriz de densidad está normalizada de modo que la traza de ρ sea 1, como ocurre con la definición estándar dada en esta sección. Ocasionalmente, una matriz de densidad se normalizará de manera diferente, en cuyo caso el criterio es${\displaystyle \operatorname {Tr} (\rho ^{2})=(\operatorname {Tr} \rho )^{2}}$

Referencias

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3. Holevo, Alexander S. (2001). Estructura estadística de la teoría cuántica . Apuntes de clases de física. Saltador. ISBN 3-540-42082-7. OCLC  318268606 .
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7. Mezcla estadística de estados
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12. Gottfried, Kurt ; Yan, Tung-Mow (2003). Mecánica cuántica: fundamentos (2ª, ed. Ilustrada). Saltador. ISBN 9780387955766.
13. Lev Landau ; Evgeny Lifshitz (1965). Mecánica cuántica: teoría no relativista (PDF) . Curso de Física Teórica. 3 (2ª ed.). Londres: Pergamon Press.
14. Blum, Teoría y aplicaciones de la matriz de densidad , página 39 .
15. Eugene Wigner (1962). "Comentarios sobre la cuestión de la mente y el cuerpo" (PDF) . En IJ Good (ed.). El científico especula . Londres: Heinemann. págs. 284-302. Nota a pie de página 13 en la p.180
16. Lev Landau (1927). "Das Dämpfungsproblem in der Wellenmechanik (El problema de la amortiguación en la mecánica ondulatoria)". Zeitschrift für Physik . 45 (5–6): 430–441. Código Bib : 1927ZPhy ... 45..430L . doi : 10.1007 / bf01343064 . S2CID 125732617 . Traducción inglesa reimpresa en: D. Ter Haar, ed. (1965). Artículos recopilados de LD Landau . Oxford: Pergamon Press. p.8-18

Lectura adicional

El concepto de estados cuánticos, en particular el contenido de la sección Formalismo en física cuántica anterior, se cubre en la mayoría de los libros de texto estándar sobre mecánica cuántica.

Para una discusión de los aspectos conceptuales y una comparación con los estados clásicos, consulte:

• Isham, Chris J (1995). Conferencias sobre teoría cuántica: fundamentos matemáticos y estructurales . Prensa del Imperial College . ISBN 978-1-86094-001-9.

Para obtener una cobertura más detallada de los aspectos matemáticos, consulte:

• Bratteli, Ola ; Robinson, Derek W. (1987). Álgebras de operador y mecánica estadística cuántica 1 . Saltador. ISBN 978-3-540-17093-8. 2ª edición.En particular, vea la Sec. 2.3.

Para una discusión sobre las purificaciones de estados cuánticos mixtos, consulte el Capítulo 2 de las notas de la conferencia de John Preskill para Física 219 en Caltech.

Para una discusión de los aspectos geométricos, consulte:

• Bengtsson I; Życzkowski K (2006). Geometría de estados cuánticos . Cambridge: Cambridge University Press., segunda edición revisada (2017)