En la teoría de superálgebras , si A es un superálgebra conmutativa , V es un libre derecho A - SuperModule y T es un endomorfismo de V a sí mismo, entonces el supertrace de T , str ( T ) se define por la siguiente diagrama de traza :
Más concretamente, si escribimos T en forma de matriz de bloques después de la descomposición en subespacios pares e impares de la siguiente manera,
luego la superraza
- str ( T ) = la traza ordinaria de T 00 - la traza ordinaria de T 11 .
Demostremos que la supertraza no depende de una base. Suponga que e 1 , ..., e p son los vectores de base pares y e p +1 , ..., e p + q son los vectores de base impar. Entonces, los componentes de T , que son elementos de A , se definen como
La calificación de T i j es la suma de las calificaciones de T , e i , e j mod 2.
Un cambio de base a e 1 ' , ..., e p' , e ( p +1) ' , ..., e ( p + q )' viene dado por la supermatriz
y la supermatriz inversa
donde, por supuesto, AA −1 = A −1 A = 1 (la identidad).
Ahora podemos comprobar explícitamente que la supertraza es independiente de la base . En el caso de que T sea par, tenemos
En el caso de que T sea impar, tenemos
La traza ordinaria no es independiente de la base, por lo que la traza adecuada para usar en la configuración de grado Z 2 es la supertraza.
La supertraza satisface la propiedad
para todo T 1 , T 2 en End ( V ). En particular, la supertraza de un superconmutador es cero.
De hecho, se puede definir una supertraza de manera más general para cualquier superalgebra asociativa E sobre una superalgebra conmutativa A como un mapa lineal tr: E -> A que se desvanece en los superconmutadores. [1] Tal supertraza no está definida de forma única; siempre puede al menos ser modificado por la multiplicación por un elemento de A .
Aplicaciones de la física
En las teorías de campos cuánticos supersimétricos, en las que la integral de acción es invariante bajo un conjunto de transformaciones de simetría (conocidas como transformaciones de supersimetría) cuyas álgebras son superalgebras, la supertracia tiene una variedad de aplicaciones. En tal contexto, la supertraza de la matriz de masa para la teoría se puede escribir como una suma sobre los espines de las trazas de las matrices de masa para partículas de diferente espín: [2]
En las teorías libres de anomalías donde solo aparecen términos renormalizables en el superpotencial, se puede demostrar que la supertracia anterior desaparece, incluso cuando la supersimetría se rompe espontáneamente.
La contribución al potencial efectivo que surge en un bucle (a veces denominado potencial Coleman-Weinberg [3] ) también se puede escribir en términos de una supertraza. Si es la matriz de masa para una teoría dada, el potencial de un bucle se puede escribir como
dónde y son las respectivas matrices de masa a nivel de árbol para los grados de libertad bosónicos y fermiónicos separados en la teoría y es una escala de corte.
Ver también
Referencias
- ^ N. Berline, E. Getzler, M. Vergne, Núcleos de calor y operadores de Dirac , Springer-Verlag, 1992, ISBN 0-387-53340-0 , p. 39.
- ^ Martin, Stephen P. (1998). "Una cartilla de supersimetría". Perspectivas sobre supersimetría . World Scientific. págs. 1-98 . arXiv : hep-ph / 9709356 . doi : 10.1142 / 9789812839657_0001 . ISBN 978-981-02-3553-6. ISSN 1793-1339 .
- ^ Coleman, Sidney; Weinberg, Erick (15 de marzo de 1973). "Correcciones radiativas como origen de la ruptura espontánea de la simetría". Physical Review D . Sociedad Estadounidense de Física (APS). 7 (6): 1888–1910. arXiv : hep-th / 0507214 . doi : 10.1103 / physrevd.7.1888 . ISSN 0556-2821 .