En matemáticas y física teórica , una supermatriz es un análogo de grado Z 2 de una matriz ordinaria . Específicamente, una supermatriz es una matriz de bloques de 2 × 2 con entradas en una superalgebra (o superanillo ). Los ejemplos más importantes son aquellos con entradas en una superalgebra conmutativa (como un álgebra de Grassmann ) o un campo ordinario (considerado como una superalgebra conmutativa puramente par).
Las supermatrices surgen en el estudio del álgebra súper lineal donde aparecen como las representaciones de coordenadas de transformaciones lineales entre espacios súper vectoriales de dimensión finita o supermódulos libres . Tienen importantes aplicaciones en el campo de la supersimetría .
Definiciones y notación
Sea R una superalgebra fija (que se supone unital y asociativa ). A menudo, se requiere que R también sea superconmutativo (esencialmente por las mismas razones que en el caso sin clasificar).
Dejar que p , q , r , y s enteros no negativos. Una supermatriz de dimensión ( r | s ) × ( p | q ) es una matriz con entradas en R que está dividida en una estructura de bloques de 2 × 2
con r + s total de filas y p + q columnas totales (de modo que la submatriz X 00 tiene dimensiones r × p y X 11 tiene dimensiones s × q ). Una matriz ordinaria (sin clasificar) se puede considerar como una supermatriz para la cual q y s son ambos cero.
Una supermatriz cuadrada es aquella para la cual ( r | s ) = ( p | q ). Esto significa que no solo la matriz X no particionada es cuadrada , sino que los bloques diagonales X 00 y X 11 también lo son.
Una supermatriz par es aquella en la que los bloques diagonales ( X 00 y X 11 ) constan únicamente de elementos pares de R (es decir, elementos homogéneos de paridad 0) y los bloques fuera de la diagonal ( X 01 y X 10 ) constan únicamente de elementos impares. de R .
Una supermatriz impar es aquella para la que se cumple lo contrario: los bloques diagonales son impares y los bloques fuera de la diagonal son pares.
Si los escalares R son puramente pares, no hay elementos impares distintos de cero, por lo que las supermatrices pares son las diagonales de bloque y las supermatrices impares son las fuera de la diagonal.
Una supermatriz es homogénea si es par o impar. La paridad , | X |, de una supermatriz homogénea distinta de cero X es 0 o 1 según sea par o impar. Cada supermatriz se puede escribir de forma única como la suma de una supermatriz par y una impar.
Estructura algebraica
Las supermatrices de dimensiones compatibles se pueden sumar o multiplicar al igual que para las matrices ordinarias. Estas operaciones son exactamente las mismas que las ordinarias con la restricción de que se definen solo cuando los bloques tienen dimensiones compatibles. Uno puede supermatrices también multiplicar por los elementos de R (a la izquierda o derecha), sin embargo, esta operación difiere del caso sin clasificar debido a la presencia de elementos extraños en R .
Sea M r | s × p | q ( R ) denota el conjunto de todas las supermatrices sobre R con dimensión ( r | s ) × ( p | q ). Este conjunto forma un supermódulo sobre R bajo la suma de supermatriz y la multiplicación escalar. En particular, si R es una superalgebra sobre un campo K, entonces M r | s × p | q ( R ) forma un espacio vectorial súper sobre K .
Sea M p | q ( R ) denota el conjunto de todas las supermátices cuadradas sobre R con dimensión ( p | q ) × ( p | q ). Este conjunto forma un superanillo bajo la suma y la multiplicación de supermatriz. Además, si R es una superalgebra conmutativa , entonces la multiplicación de supermatriz es una operación bilineal, de modo que M p | q ( R ) forma un superálgebra sobre R .
Adición
Se pueden sumar dos supermatrices de dimensión ( r | s ) × ( p | q ) al igual que en el caso sin clasificar para obtener una supermatriz de la misma dimensión. La adición se puede realizar en bloques, ya que los bloques tienen tamaños compatibles. Es fácil ver que la suma de dos supermatrices pares es par y la suma de dos supermatrices impares es impar.
Multiplicación
Se puede multiplicar una supermatriz con dimensiones ( r | s ) × ( p | q ) por una supermatriz con dimensiones ( p | q ) × ( k | l ) como en el caso sin clasificar para obtener una matriz de dimensión ( r | s ) × ( k | l ). La multiplicación se puede realizar a nivel de bloque de la manera obvia:
Tenga en cuenta que los bloques de la supermatriz de productos Z = XY están dados por
Si X e Y son homogéneos con paridades | X | y | Y | entonces XY es homogéneo con paridad | X | + | Y |. Es decir, el producto de dos supermatrices pares o dos impares es par, mientras que el producto de una supermatriz par e impar es impar.
Multiplicación escalar
Multiplicación escalar para supermatrices es diferente que en el caso sin clasificar debido a la presencia de elementos extraños en R . Sea X una supermatriz. La multiplicación escalar izquierda por α ∈ R está definida por
donde las multiplicaciones escalares internas son las ordinarias sin clasificar y denota la involución de grado en R . Esto se da en elementos homogéneos por
La multiplicación escalar derecha por α se define de forma análoga:
Si α es par entonces y ambas operaciones son las mismas que las versiones sin clasificar. Si α y X son homogéneos, entonces α · X y X · α son ambos homogéneos con paridad | α | + | X |. Además, si R es superconmutativo, entonces uno tiene
Como transformaciones lineales
Las matrices ordinarias se pueden considerar como las representaciones de coordenadas de mapas lineales entre espacios vectoriales (o módulos libres ). Del mismo modo, las supermatrices pueden considerarse como las representaciones de coordenadas de mapas lineales entre super espacios vectoriales (o supermódulos libres ). Sin embargo, existe una diferencia importante en el caso graduado. Un homomorfismo de un superespacio vectorial a otro es, por definición, uno que conserva la clasificación (es decir, asigna elementos pares a elementos pares y elementos impares a elementos impares). La representación de coordenadas de tal transformación es siempre una supermatriz uniforme . Las supermatrices impares corresponden a transformaciones lineales que invierten la gradación. Las supermatrices generales representan una transformación lineal arbitraria sin clasificar. Tales transformaciones siguen siendo importantes en el caso graduado, aunque menos que las transformaciones graduadas (pares).
Un supermódulo M sobre un superalgebra R es libre si tiene una base homogénea libre. Si tal base consta de p elementos pares y q elementos impares, entonces se dice que M tiene rango p | q . Si R es superconmutativo, el rango es independiente de la elección de la base, al igual que en el caso sin clasificar.
Sea R p | q sea el espacio de supervectores de columna: supermatrices de dimensión ( p | q ) × (1 | 0). Este es, naturalmente, un supermódulo R correcto, llamado espacio de coordenadas correcto . Entonces, una supermatriz T de dimensión ( r | s ) × ( p | q ) puede considerarse como un mapa lineal R derecho
donde la acción de T sobre R p | q es solo una multiplicación de supermatriz (esta acción generalmente no es R lineal a la izquierda, por lo que pensamos en R p | q como un supermódulo derecho ).
Sea M libre derecho R -supermódulo de rango p | q y sea N un R -supermódulo de derecho libre de rango r | s . Sea ( e i ) ser una base libre para M y dejar que ( f k ) una base libre para N . Esta elección de bases equivale a una elección de isomorfismos de M a R p | q y de N a R r | s . Cualquier mapa lineal (sin clasificar)
se puede escribir como una supermatriz ( r | s ) × ( p | q ) relativa a las bases elegidas. Los componentes de la supermatriz asociada están determinados por la fórmula
La descomposición en bloque de una supermatriz T corresponde a la descomposición de M y N en submódulos pares e impares:
Operaciones
Muchas operaciones en matrices ordinarias se pueden generalizar a supermatrices, aunque las generalizaciones no siempre son obvias o sencillas.
Supertransposición
La supertranspuesta de una supermatriz es el análogo de grado Z 2 de la transposición . Dejar
ser una supermatriz homogénea ( r | s ) × ( p | q ). La supertranspuesta de X es la supermatriz ( p | q ) × ( r | s )
donde A t denota la transpuesta ordinaria de A . Esto se puede extender a supermatrices arbitrarias por linealidad. A diferencia de la transpuesta ordinaria, la supertranspuesta no es generalmente una involución , sino que tiene orden 4. Al aplicar la supertranspuesta dos veces a una supermatriz X se obtiene
Si R es superconmutativo, el supertranspuesto satisface la identidad
Transposición de paridad
La transposición de paridad de una supermatriz es una nueva operación sin un análogo sin clasificar. Dejar
ser una supermatriz ( r | s ) × ( p | q ). La transpuesta de paridad de X es la supermatriz ( s | r ) × ( q | p )
Es decir, el bloque ( i , j ) de la matriz transpuesta es el bloque (1− i , 1− j ) de la matriz original.
La operación de transposición de paridad obedece a las identidades
así como
donde st denota la operación de supertransposición.
Supertrace
El supertrace de un supermatriz cuadrado es el Z 2 analógica -graded de la traza . Se define en supermatrices homogéneas por la fórmula
donde tr denota la traza ordinaria.
Si R es superconmutativo, la superraza satisface la identidad
para supermatrices homogéneos X y Y .
Bereziniano
El bereziniano (o superdeterminante ) de una supermatriz cuadrada es el análogo de grado Z 2 del determinante . El Berezinian sólo está bien definido en pares, supermatrices invertibles más de un superálgebra conmutativa R . En este caso viene dado por la fórmula
donde det denota el determinante ordinario (de matrices cuadradas con entradas en el álgebra conmutativa R 0 ).
El bereziniano satisface propiedades similares al determinante ordinario. En particular, es multiplicativo e invariante bajo la supertransposición. Está relacionado con la superraza por la fórmula
Referencias
- Varadarajan, VS (2004). Supersimetría para matemáticos: una introducción . Notas de la conferencia de Courant en matemáticas 11 . Sociedad Matemática Estadounidense. ISBN 0-8218-3574-2.
- Deligne, Pierre; Morgan, John W. (1999). "Notas sobre supersimetría (siguiendo a Joseph Bernstein)". Cuerdas y campos cuánticos: un curso para matemáticos . 1 . Sociedad Matemática Estadounidense. págs. 41–97. ISBN 0-8218-2012-5.