En matemáticas , los diagramas de trazas son un medio gráfico para realizar cálculos en álgebra lineal y multilineal . Se pueden representar como gráficos (ligeramente modificados) en los que algunos bordes están etiquetados por matrices . Los diagramas de trazas más simples representan la traza y el determinante de una matriz. Varios resultados en álgebra lineal, como la regla de Cramer y el teorema de Cayley-Hamilton , tienen demostraciones esquemáticas simples. Están estrechamente relacionados con la notación gráfica de Penrose .
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Definicion formal
Deje que V sea un espacio vectorial de dimensión n sobre un campo F (con n ≥2), y dejar que Hom ( V , V ) denotan las transformaciones lineales en V . Un diagrama de n- trazas es un gráfico , donde los conjuntos V i ( i = 1, 2, n ) están compuestos por vértices de grado i , junto con las siguientes estructuras adicionales:
- una ciliación en cada vértice del gráfico, que es un orden explícito de los bordes adyacentes en ese vértice;
- un etiquetado V 2 → Hom ( V , V ) que asocia cada vértice de grado 2 a una transformación lineal.
Tenga en cuenta que V 2 y V n deben considerarse como conjuntos distintos en el caso n = 2. Un diagrama de trazas enmarcado es un diagrama de trazas junto con una partición de los vértices de grado 1 V 1 en dos colecciones ordenadas disjuntas llamadas entradas y salidas .
El "gráfico" subyacente a un diagrama de seguimiento puede tener las siguientes características especiales, que no siempre se incluyen en la definición estándar de un gráfico:
- Se permiten bucles (un bucle es un borde que conecta un vértice consigo mismo).
- Se permiten bordes que no tienen vértices y están representados por círculos pequeños.
- Se permiten múltiples aristas entre los mismos dos vértices.
Convenciones de dibujo
- Cuando se dibujan diagramas de trazas, la ciliación en un n- vértice se representa comúnmente por una pequeña marca entre dos de los bordes incidentes (en la figura anterior, un pequeño punto rojo); el orden específico de los bordes sigue procediendo en sentido contrario a las agujas del reloj desde esta marca.
- La ciliación y el etiquetado en un vértice de grado 2 se combinan en un solo nodo dirigido que permite diferenciar el primer borde (el borde entrante ) del segundo borde (el borde saliente ).
- Los diagramas enmarcados se dibujan con entradas en la parte inferior del diagrama y salidas en la parte superior del diagrama. En ambos casos, el orden corresponde a la lectura de izquierda a derecha.
Correspondencia con funciones multilineales
Cada enmarcadas diagrama traza corresponde a un multilineal función entre tensor poderes del espacio vectorial V . Los vértices de grado 1 corresponden a las entradas y salidas de la función, mientras que los vértices de grado n corresponden al símbolo de Levi-Civita generalizado (que es un tensor antisimétrico relacionado con el determinante ). Si un diagrama no tiene cadenas de salida, su función mapea los productos tensoriales a un escalar. Si no hay vértices de grado 1, se dice que el diagrama está cerrado y su función correspondiente puede identificarse con un escalar.
Por definición, la función de un diagrama de trazas se calcula utilizando colores de gráficos con signo . Para cada color de borde de los bordes del gráfico con n etiquetas, de modo que no haya dos bordes adyacentes al mismo vértice que tengan la misma etiqueta, se asigna un peso basado en las etiquetas en los vértices y las etiquetas adyacentes a las etiquetas de la matriz. Estos pesos se convierten en coeficientes de la función del diagrama.
En la práctica, la función de un diagrama de trazas se calcula típicamente descomponiendo el diagrama en partes más pequeñas cuyas funciones se conocen. La función general se puede calcular volviendo a componer las funciones individuales.
Ejemplos de
Diagramas de 3 vectores
Varias identidades vectoriales tienen pruebas fáciles mediante diagramas de trazas. Esta sección cubre diagramas de 3 trazas. En la traducción de diagramas a funciones, se puede demostrar que las posiciones de los ciliaciones en los vértices de grado 3 no influyen en la función resultante, por lo que pueden omitirse.
Se puede demostrar que el producto cruzado y el producto escalar de vectores tridimensionales están representados por
En esta imagen, las entradas a la función se muestran como vectores en cuadros amarillos en la parte inferior del diagrama. El diagrama de productos cruzados tiene un vector de salida, representado por la hebra libre en la parte superior del diagrama. El diagrama de producto escalar no tiene un vector de salida; por tanto, su salida es un escalar.
Como primer ejemplo, considere la identidad de producto triple escalar
Para probar esto esquemáticamente, tenga en cuenta que todas las siguientes figuras son representaciones diferentes del mismo diagrama de 3 trazas (como se especifica en la definición anterior):
Combinando los diagramas anteriores para el producto cruzado y el producto escalar, uno puede leer los tres diagramas más a la izquierda como exactamente los tres productos triples escalares más a la izquierda en la identidad anterior. También se puede mostrar que el diagrama de la derecha representa det [ u v w ]. La identidad del producto triple escalar sigue porque cada uno es una representación diferente de la función del mismo diagrama.
Como segundo ejemplo, se puede demostrar que
(donde la igualdad indica que la identidad es válida para las funciones multilineales subyacentes). Se puede demostrar que este tipo de identidad no cambia "doblando" el diagrama o adjuntando más diagramas, siempre que los cambios sean consistentes en todos los diagramas de la identidad. Por lo tanto, uno puede doblar la parte superior del diagrama hacia abajo y adjuntar vectores a cada uno de los bordes libres, para obtener
que lee
una identidad bien conocida que relaciona cuatro vectores tridimensionales.
Diagramas con matrices
Los diagramas cerrados más simples con una sola etiqueta de matriz corresponden a los coeficientes del polinomio característico , hasta un factor escalar que depende solo de la dimensión de la matriz. A continuación se muestra una representación de estos diagramas, dondese usa para indicar igualdad hasta un factor escalar que depende solo de la dimensión n del espacio vectorial subyacente.
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Propiedades
Sea G el grupo de n × n matrices. Si un diagrama de trazas cerrado está etiquetado por k matrices diferentes, se puede interpretar como una función dea un álgebra de funciones multilineales. Esta función es invariante bajo conjugación simultánea , es decir, la función correspondiente a es la misma que la función correspondiente a para cualquier invertible .
Extensiones y aplicaciones
Los diagramas de seguimiento pueden especializarse para grupos de Lie particulares modificando ligeramente la definición. En este contexto, a veces se les llama pistas de pájaros , diagramas de tensores o notación gráfica de Penrose .
Los físicos han utilizado principalmente los diagramas de seguimiento como una herramienta para estudiar los grupos de Lie . Las aplicaciones más comunes utilizan la teoría de la representación para construir redes de espín a partir de diagramas de trazas. En matemáticas, se han utilizado para estudiar variedades de caracteres .
Ver también
Referencias
Libros:
- Técnicas de diagrama en teoría de grupos , GE Stedman, Cambridge University Press, 1990
- Teoría de grupos: pistas de aves, mentiras y grupos excepcionales , Predrag Cvitanović , Princeton University Press, 2008, http://birdtracks.eu/