En matemáticas , el teorema de la dualidad de Poincaré , llamado así por Henri Poincaré , es un resultado básico de la estructura de los grupos de variedades de homología y cohomología . Establece que si M es una variedad cerrada de orientación n- dimensional ( compacta y sin límite), entonces el k- ésimo grupo de cohomología de M es isomorfo al ( ) th grupo de homología de M , para todos los enteros k
La dualidad de Poincaré es válida para cualquier anillo de coeficientes , siempre que se haya tomado una orientación con respecto a ese anillo de coeficientes; en particular, dado que cada colector tiene una orientación única mod 2, la dualidad de Poincaré tiene mod 2 sin ningún supuesto de orientación.
Historia
Una forma de dualidad de Poincaré fue enunciada por primera vez, sin pruebas, por Henri Poincaré en 1893. Se expresó en términos de números de Betti : La k th y () th Los números de Betti de un colector n orientable cerrado (es decir, compacto y sin límite) son iguales. El concepto de cohomología estaba en ese momento a unos 40 años de ser aclarado. En su artículo Analysis Situs de 1895 , Poincaré intentó probar el teorema utilizando la teoría de la intersección topológica , que él mismo había inventado. Las críticas de Poul Heegaard a su trabajo lo llevaron a darse cuenta de que su prueba adolecía de graves defectos. En los dos primeros complementos de Analysis Situs , Poincaré dio una nueva prueba en términos de triangulaciones duales.
La dualidad de Poincaré no tomó su forma moderna hasta el advenimiento de la cohomología en la década de 1930, cuando Eduard Čech y Hassler Whitney inventaron los productos de taza y tapón y formularon la dualidad de Poincaré en estos nuevos términos.
Formulación moderna
El enunciado moderno del teorema de la dualidad de Poincaré es en términos de homología y cohomología: si es un colector n orientado cerrado , y es un número natural menor que , entonces hay un isomorfismo definido canónicamente . Para definir tal isomorfismo, se elige una clase fundamental fija de , que existirá si está orientado. Entonces el isomorfismo se define mapeando un elemento a su producto de tapa . [1]
Los grupos de homología y cohomología se definen como cero para grados negativos, por lo que la dualidad de Poincaré en particular implica que los grupos de homología y cohomología de n colectores cerrados orientables son cero para grados mayores que n .
Aquí, la homología y la cohomología son integrales, pero el isomorfismo sigue siendo válido sobre cualquier anillo de coeficientes. En el caso de que un colector orientado no sea compacto, se debe reemplazar la cohomología por la cohomología con soporte compacto .
Estructuras de celda dual
Dada una variedad triangulada, hay una descomposición poliédrica dual correspondiente. La descomposición poliédrica dual es una descomposición celular de la variedad tal que las k -células de la descomposición poliédrica dual están en correspondencia biyectiva con la () -células de la triangulación, generalizando la noción de poliedros duales .
Precisamente, sea T una triangulación de un múltiple M de n . Deje que S sea un simple del t . Dejarser un simplex de dimensión superior de T que contiene S , por lo que podemos pensar en S como un subconjunto de los vértices de. Defina el DS de celda dual correspondiente a S de modo que es el casco convexo en de los baricentros de todos los subconjuntos de los vértices de que contienen . Se puede comprobar que si S es i- dimensional, entonces DS es un () -célula dimensional. Además, las células duales a T forman una descomposición CW de M , y la única () -célula dual dimensional que se cruza con una i -celda S es DS . Así el emparejamiento dado al tomar intersecciones induce un isomorfismo , dónde es la homología celular de la triangulación T , y y son las homologías y cohomologías celulares de la descomposición dual poliédrica / CW de la variedad, respectivamente. El hecho de que se trate de un isomorfismo de complejos de cadenas es una prueba de la dualidad de Poincaré. En términos generales, esto equivale al hecho de que la relación de límite para la triangulación T es la relación de incidencia para la descomposición poliédrica dual bajo la correspondencia.
Naturalidad
Tenga en cuenta que es un funtor contravariante mientrases covariante . La familia de los isomorfismos
es natural en el siguiente sentido: si
es un mapa continuo entre dos n- múltiples orientados que es compatible con la orientación, es decir, que asigna la clase fundamental de M a la clase fundamental de N , entonces
dónde y son los mapas inducidos por f en homología y cohomología, respectivamente.
Tenga en cuenta la hipótesis muy fuerte y crucial que f mapea la clase fundamental de la M a la clase fundamental de N . La naturalidad no es válida para un mapa continuo arbitrario f , ya que en generalno es una inyección de cohomología. Por ejemplo, si f es un mapa de cobertura a continuación, se asigna la clase fundamental de M a un múltiplo de la clase fundamental de N . Este múltiplo es el grado del mapa f .
Formulación de emparejamientos bilineales
Suponiendo que el colector M es compacto, sin límites y orientable , supongamos
denotar el subgrupo de torsión de y deja
sea la parte libre - todos los grupos de homología tomados con coeficientes enteros en esta sección. Luego están los mapas bilineales que son emparejamientos de dualidad (explicados a continuación).
y
- .
Aquí es el cociente de los racionales por los números enteros, tomado como grupo aditivo. Observe que en la forma de enlace de torsión, hay un en la dimensión, por lo que las dimensiones emparejadas suman en lugar de .
La primera forma se denomina típicamente producto de intersección y la segunda forma de enlace de torsión .Suponiendo que el colector M es suave, el producto de la intersección se calcula perturbando las clases de homología para que sean transversales y calculando su número de intersección orientada. Para la forma de torsión que une, uno calcula el emparejamiento de x y y mediante la realización de nx como el límite de alguna clase z . La forma es la fracción con numerador el número de intersección transversal de z con y y denominador n .
La afirmación de que los emparejamientos son emparejamientos de dualidad significa que los mapas adjuntos
y
son isomorfismos de grupos.
Este resultado es una aplicación de Poincaré Duality
- ,
junto con el teorema del coeficiente universal , que da una identificación
y
- .
Así, la dualidad de Poincaré dice que y son isomorfos, aunque no hay un mapa natural que indique el isomorfismo, y de manera similar y también son isomorfos, aunque no naturalmente.
- Dimensión media
Mientras que para la mayoría de las dimensiones, la dualidad de Poincaré induce un emparejamiento bilineal entre diferentes grupos de homología, en la dimensión media induce una forma bilineal en un solo grupo de homología. La forma de intersección resultante es un invariante topológico muy importante.
Lo que se entiende por "dimensión media" depende de la paridad. Para una dimensión uniformeque es más común, esta es literalmente la dimensión media k, y hay una forma en la parte libre de la homología media:
Por el contrario, para dimensiones impares que se discute con menos frecuencia, es más simplemente la dimensión media inferior k, y hay una forma en la parte de torsión de la homología en esa dimensión:
Sin embargo, también existe un emparejamiento entre la parte libre de la homología en la dimensión media inferior k y en la dimensión media superior:
Los grupos resultantes, aunque no son un solo grupo con una forma bilineal, son un complejo de cadena simple y se estudian en la teoría L algebraica .
- Aplicaciones
Este enfoque de la dualidad de Poincaré fue utilizado por Józef Przytycki y Akira Yasuhara para dar una clasificación elemental de homotopía y difeomorfismo de espacios de lentes tridimensionales . [2]
Formulación de isomorfismo de Thom
La dualidad de Poincaré está estrechamente relacionada con el teorema del isomorfismo de Thom , como explicaremos aquí. Para esta exposición, dejemosser un colector n compacto, orientado sin límites. Dejar ser el producto de consigo mismo, deja ser una vecindad tubular abierta de la diagonal en . Considere los mapas:
- el producto cruzado de homología
- inclusión.
- mapa de escisión dondees el haz de discos normal de la diagonal en.
- el isomorfismo de Thom . Este mapa está bien definido ya que hay una identificación estándar que es un paquete orientado, por lo que se aplica el isomorfismo de Thom.
Combinado, esto da un mapa , que es el producto de intersección; estrictamente hablando, es una generalización del producto de intersección anterior, pero también se denomina producto de intersección. Un argumento similar con el teorema de Künneth da la forma de enlace de torsión .
Esta formulación de la dualidad de Poincaré se ha vuelto bastante popular [3] ya que proporciona un medio para definir la dualidad de Poincaré para cualquier teoría de homología generalizada siempre que se tenga un isomorfismo de Thom para esa teoría de homología. Un teorema de isomorfismo de Thom para una teoría de homología se acepta ahora como la noción generalizada de orientabilidad para una teoría de homología. Por ejemplo, un s pag I norte C {\ Displaystyle girar ^ {c}} La estructura en una variedad resulta ser precisamente lo que se necesita para ser orientable en el sentido de la teoría k topológica compleja .
El teorema de la dualidad de Poincaré-Lefschetz es una generalización para variedades con límite. En el caso no orientable, teniendo en cuenta el haz de orientaciones locales, se puede dar un enunciado que es independiente de la orientabilidad: ver Dualidad Twisted Poincaré .
La dualidad de Blanchfield es una versión de la dualidad de Poincaré que proporciona un isomorfismo entre la homología de un espacio de cobertura abeliano de un colector y la cohomología correspondiente con soportes compactos. Se utiliza para obtener resultados estructurales básicos sobre el módulo Alexander y se puede utilizar para definir las firmas de un nudo .
Con el desarrollo de la teoría de la homología para incluir la teoría K y otras teorías extraordinarias de aproximadamente 1955, se comprendió que la homologíapodría ser reemplazado por otras teorías, una vez que se construyeron los productos en colectores; y ahora hay tratamientos de libros de texto en general. Más específicamente, existe un teorema de dualidad de Poincaré general para una teoría de homología generalizada que requiere una noción de orientación con respecto a una teoría de homología, y se formula en términos de un teorema de isomorfismo de Thom generalizado . El teorema del isomorfismo de Thom a este respecto puede considerarse como la idea germinal de la dualidad de Poincaré para las teorías de homología generalizadas.
La dualidad Verdier es la generalización apropiada a objetos geométricos (posiblemente singulares ), como espacios o esquemas analíticos , mientras que la homología de intersección fue desarrollada por Robert MacPherson y Mark Goresky para espacios estratificados , como variedades algebraicas reales o complejas, precisamente para generalizar la dualidad de Poincaré. a espacios tan estratificados.
Hay muchas otras formas de dualidad geométrica en la topología algebraica , incluyendo Lefschetz dualidad , Alexander dualidad , la dualidad de Hodge y S-dualidad .
Más algebraicamente, se puede abstraer la noción de complejo de Poincaré , que es un objeto algebraico que se comporta como el complejo de cadena singular de una variedad, satisfaciendo notablemente la dualidad de Poincaré en sus grupos de homología, con respecto a un elemento distinguido (correspondiente a la clase fundamental ). Estos se utilizan en la teoría de la cirugía para algebraizar preguntas sobre variedades. Un espacio de Poincaré es aquel cuyo singular complejo de cadenas es un complejo de Poincaré. No todos son múltiples, pero su fracaso en ser múltiples se puede medir mediante la teoría de la obstrucción .
Ver también
- Descomposición de Bruhat
- Clase fundamental
- Grupo Weyl
Referencias
- ^ Hatcher, Allen (2002). Topología algebraica (1ª ed.). Cambridge: Cambridge University Press . ISBN 9780521795401. Señor 1867354 .
- ^ Przytycki, Józef H .; Yasuhara, Akira (2003), "Simetría de enlaces y clasificación de espacios de lentes", Geometriae Dedicata , 98 (1), doi : 10.1023 / A: 1024008222682 , MR 1988423
- ^ Rudyak, Yuli (1998). Sobre espectros de Thom, orientabilidad y cobordismo . Springer Monografías en Matemáticas. Con prólogo de Haynes Miller . Berlín: Springer-Verlag. ISBN 3-540-62043-5. Señor 1627486 .
Otras lecturas
- Blanchfield, Richard C. (1957), "Teoría de la intersección de variedades con operadores con aplicaciones a la teoría de nudos", Annals of Mathematics , 65 (2): 340–356, doi : 10.2307 / 1969966 , JSTOR 1969966 , MR 0085512
- Griffiths, Phillip ; Harris, Joseph (1994), Principios de geometría algebraica , Wiley Classics Library, Nueva York: Wiley, ISBN 978-0-471-05059-9, MR 1288523
enlaces externos
- Forma de intersección en Manifold Atlas
- Forma de vinculación en el Atlas múltiple