En matemáticas, un mapa normal es un concepto en topología geométrica debido a William Browder que es de fundamental importancia en la teoría de la cirugía . Dado un complejo de Poincaré X (más geométricamente un espacio de Poincaré ), un mapa normal en X dota al espacio, en términos generales, con algo de la estructura global teórica de la homotopía de una variedad cerrada. En particular, X tiene un buen candidato para un paquete normal estable y un mapa de colapso de Thom , que es equivalente a que haya un mapa de una variedad M a Xhaciendo coincidir las clases fundamentales y conservando la información normal del paquete. Si la dimensión de X es5, solo existe la obstrucción de la cirugía de topología algebraica debido a que CTC Wall to X es en realidad homotopía equivalente a una variedad cerrada. Los mapas normales también se aplican al estudio de la singularidad de múltiples estructuras dentro de un tipo de homotopía, que fue pionera en Sergei Novikov .
Las clases de cobordismo de mapas normales en X se denominan invariantes normales . Dependiendo de la categoría de variedades (diferenciables, lineales por partes o topológicas), existen conceptos definidos de manera similar, pero no equivalentes, de mapas normales e invariantes normales.
Es posible realizar cirugía en mapas normales, es decir, cirugía en la variedad de dominio y preservando el mapa. La cirugía en mapas normales permite matar sistemáticamente elementos en los grupos de homotopía relativa representándolos como incrustaciones con un paquete normal trivial .
Definición
Hay dos definiciones equivalentes de mapas normales, dependiendo de si se utilizan paquetes normales o conjuntos tangentes de variedades. Por tanto, es posible cambiar entre las definiciones, lo que resulta bastante conveniente.
1. Dado un complejo de Poincaré X (es decir, un complejo CW cuyo complejo de cadena celular satisface la dualidad de Poincaré ) de dimensión formal, un mapa normal en X consta de
- un mapa de alguna variedad n- dimensional cerrada M ,
- un paquete sobre X , y un mapa estable del paquete normal estable de a , y
- por lo general, se supone que el mapa normal es de grado uno . Eso significa que la clase fundamental de debe ser mapeado bajo a la clase fundamental de : .
2. Dado un complejo de Poincaré (es decir, un complejo CW cuyo complejo de cadena celular satisface la dualidad de Poincaré ) de dimensión formal, un mapa normal en (con respecto al paquete tangente) consta de
- un mapa de algunos cerrados -múltiple dimensional ,
- un paquete encima y un mapa estable del paquete tangente estable de a , y
- De manera similar a lo anterior, se requiere que la clase fundamental de debe ser mapeado bajo a la clase fundamental de : .
Dos mapas normales son equivalentes si existe un bordismo normal entre ellos.
Papel en la teoría de la cirugía
Cirugía en mapas versus cirugía en mapas normales
Considere la pregunta:
- ¿Es el complejo de Poincaré X de dimensión formal n homotopía equivalente a una variedad n cerrada?
Un enfoque de cirugía ingenua para esta pregunta sería: comience con algún mapa de alguna variedad a y tratar de operarlo para hacer una equivalencia de homotopía a partir de él. Tenga en cuenta lo siguiente: dado que nuestro mapa de inicio se eligió arbitrariamente y la cirugía siempre produce mapas cobordantes, este procedimiento debe realizarse (en el peor de los casos) para todas las clases de mapas de cobordismo. Este tipo de teoría de cobordismo es una teoría de homología cuyos coeficientes han sido calculados por Thom : por lo tanto, las clases de cobordismo de tales mapas son computables al menos en teoría para todos los espacios..
Sin embargo, resulta que es muy difícil decidir si es posible hacer una equivalencia de homotopía del mapa mediante cirugía, mientras que la misma pregunta es mucho más fácil cuando el mapa viene con la estructura extra de un mapa normal. Por lo tanto, en el enfoque quirúrgico clásico de nuestra pregunta, uno comienza con un mapa normal(supongamos que existe alguno), y le practica una cirugía. Esto tiene varias ventajas:
- El mapa siendo de grado uno implica que la homología de divisiones como una suma directa de la homología de y el llamado núcleo quirúrgico , es decir . (Aquí suponemos que induce un isomorfismo de grupos fundamentales y utiliza homología con coeficientes locales en .)
Según el teorema de Whitehead , el mapa es una equivalencia de homotopía si y solo si el núcleo de la cirugía es cero.
- Los datos del paquete implican lo siguiente: Supongamos que un elemento (el grupo de homotopía relativa de ) se puede representar mediante una incrustación (o más generalmente una inmersión ) con una homotopía nula de. Entonces puede ser representado por una incrustación (o inmersión) cuyo paquete normal es establemente trivial. Esta observación es importante ya que la cirugía solo es posible en incrustaciones con un paquete normal trivial. Por ejemplo, si es menos de la mitad de la dimensión de , cada mapa es homotópico a una incrustación por un teorema de Whitney . Por otro lado, cada paquete normal estable y trivial de tal incrustación es automáticamente trivial, ya que por . Por lo tanto, la cirugía en mapas normales siempre se puede realizar por debajo de la dimensión media. Esto no es cierto para mapas arbitrarios.
Nótese que este nuevo enfoque hace necesario clasificar las clases de bordismo de mapas normales, que son las invariantes normales. Contrariamente a las clases de mapas de cobordismo, las invariantes normales son una teoría de cohomología . Sus coeficientes son conocidos en el caso de variedades topológicas. Para el caso de variedades suaves, los coeficientes de la teoría son mucho más complicados.
Invariantes normales versus conjunto de estructuras
Hay dos razones por las que es importante estudiar el conjunto . Recuerde que el objetivo principal de la teoría de la cirugía es responder a las preguntas:
1. Dado un complejo de Poincaré finito hay un -homotopía múltiple equivalente a ?
2. Dadas dos equivalencias de homotopía , dónde hay un difeomorfismo tal que ?
Tenga en cuenta que si la respuesta a estas preguntas debe ser positiva, entonces es una condición necesaria que la respuesta a las siguientes dos preguntas sea positiva.
1. ' Dado un complejo de Poincaré finito ¿Hay un mapa normal de grado uno? ?
2. ' Dadas dos equivalencias de homotopía, dónde ¿Hay un cobordismo normal? tal que y ?
Esta es, por supuesto, una observación casi trivial, pero es importante porque resulta que existe una teoría eficaz que responde a la pregunta 1. ' y también una teoría eficaz que responde a la pregunta 1. proporcionó la respuesta a 1. ' Es sí. Lo mismo ocurre con las preguntas 2. y 2. ' Observe también que podemos formular las preguntas de la siguiente manera:
1. ' Es?
2. ' Es en ?
Por lo tanto, estudiar es realmente un primer paso para tratar de comprender la estructura de la cirugía establecida que es el principal objetivo de la teoría de la cirugía. El caso es que es mucho más accesible desde el punto de vista de la topología algebraica como se explica a continuación.
Teoría de la homotopía
1. ' Sea X un complejo de Poincaré n- dimensional finito . Es útil utilizar la definición decon paquetes normales. Recuerde que una variedad (suave) tiene un paquete tangente único y un paquete normal estable único. Pero un complejo de Poincaré finito no posee un paquete tan único. Sin embargo, posee un sustituto, una fibración esférica única en cierto sentido, la llamada fibración normal de Spivak. Esto tiene una propiedad que sies homotopía equivalente a una variedad, entonces la fibración esférica asociada al retroceso del haz normal de esa variedad es isomórfica a la fibración normal de Spivak. Entonces se sigue que sientonces la fibración normal de Spivak tiene una reducción de haz. Según la construcción de Pontrjagin-Thom, lo contrario también es cierto.
Esto se puede formular en términos de teoría de homotopía. Recordar el espacio de clasificación para fibraciones esféricas estables, el espacio de clasificación para paquetes de vectores estables y el mapa que es inducida por la inclusión y que corresponde a tomar la fibración esférica asociada de un haz de vectores. De hecho tenemos una secuencia de fibración.. La fibración normal de Spivak se clasifica mediante un mapa. Tiene una reducción de paquete de vectores si y solo si tiene un ascensor . Esto equivale a exigir que la composición es nulo-homotópico.
Tenga en cuenta que los grupos de homotopía de se conocen en ciertas dimensiones bajas y no son triviales, lo que sugiere la posibilidad de que la condición anterior pueda fallar para algunos . De hecho, existen tales complejos de Poincaré finitos, y el primer ejemplo fue obtenido por Gitler y Stasheff , [ cita requerida ] dando así un ejemplo de un complejo de Poincaré no homotopía equivalente a una variedad.
2. ' Relativizando las consideraciones anteriores se obtiene una biyección (antinatural)
Diferentes categorias
La biyección anterior da una estructura de un grupo abeliano desde el espacio es un espacio de bucle y, de hecho, un espacio de bucle infinito, por lo que las invariantes normales son un grupo de cohomología cero de una teoría de cohomología extraordinaria definida por ese espacio de bucle infinito. Tenga en cuenta que ideas similares se aplican en las otras categorías de variedades y una tiene biyecciones
- , y , y
Es bien sabido que los espacios
- , y
son mutuamente no equivalentes de homotopía y, por lo tanto, se obtienen tres teorías de cohomología diferentes.
Sullivan analizó los casos y . Demostró que estos espacios poseen estructuras espaciales de bucle infinito alternativas que, de hecho, son mejores desde el siguiente punto de vista: Recuerde que hay un mapa de obstrucción quirúrgica de invariantes normales al grupo L. Con la estructura de grupos descrita anteriormente en las invariantes normales, este mapa NO es un homomorfismo. Sin embargo, con la estructura de grupo del teorema de Sullivan se convierte en un homomorfismo en las categorías, y . Su teorema también vincula estas nuevas estructuras de grupo a las teorías de cohomología conocidas: la cohomología singular y la teoría K real.
Referencias
- Browder, William (1972), Cirugía en colectores simplemente conectados , Berlín, Nueva York: Springer-Verlag , MR 0358813
- Gitler, Samule; Stasheff, James D. (noviembre de 1965), "La primera clase exótica de BF", Topología , 4 (3): 257–266, doi : 10.1016 / 0040-9383 (65) 90010-8
- Lück, Wolfgang (2002), Una introducción básica a la teoría de la cirugía (PDF) , ICTP Lecture Notes Series 9, Band 1, de la escuela "High-dimensional multiple theory" en Trieste, mayo / junio de 2001, Abdus Salam International Centre for Theoretical Física, Trieste 1-224
- Ranicki, Andrew (2002), Cirugía algebraica y geométrica , Oxford Mathematical Monographs, Clarendon Press, CiteSeerX 10.1.1.309.8886 , doi : 10.1093 / acprof: oso / 9780198509240.001.0001 , ISBN 978-0-19-850924-0, MR 2061749
- Wall, CTC (1999), Cirugía sobre variedades compactas , Encuestas y monografías matemáticas, 69 (2a ed.), Providence, RI: American Mathematical Society , CiteSeerX 10.1.1.309.8451 , doi : 10.1090 / surv / 069 , ISBN 978-0-8218-0942-6, MR 1687388