En matemáticas , la teoría L algebraica es la teoría K de las formas cuadráticas ; el término fue acuñado por CTC Wall , la L se utiliza como la carta después de K . La teoría L algebraica , también conocida como " teoría K hermitiana ", es importante en la teoría de la cirugía . [1]
Definición
Se pueden definir grupos L para cualquier anillo con involución R : los grupos L cuadráticos(Muro) y los grupos L simétricos (Mishchenko, Ranicki).
Incluso dimensión
Los grupos L uniformesse definen como los grupos de Witt de formas ε-cuadráticas sobre el anillo R con. Más precisamente,
es el grupo abeliano de clases de equivalencia de formas ε-cuadráticas no degeneradas sobre R, donde los módulos R subyacentes F se generan de forma libre y finita. La relación de equivalencia viene dada por la estabilización con respecto a las formas ε-cuadráticas hiperbólicas :
- .
La adición en es definido por
El elemento cero está representado por para cualquier . El inverso de es .
Dimensión extraña
Definir grupos L de dimensiones impares es más complicado; Se pueden encontrar más detalles y la definición de los grupos L de dimensiones impares en las referencias mencionadas a continuación.
Ejemplos y aplicaciones
Los grupos L de un gruposon los grupos Ldel anillo de grupo . En las aplicaciones a la topologíaes el grupo fundamental de un espacio . Los grupos L cuadráticos juegan un papel central en la clasificación quirúrgica de los tipos de homotopía de -dimensional colectores de dimensión, y en la formulación de la conjetura de Novikov .
La distinción entre simétricas L -grupos y cuadráticas L -grupos, indicado por los índices superiores e inferiores, refleja el uso en homología grupo y cohomology. La cohomología grupal del grupo cíclico se ocupa de los puntos fijos de un -acción, mientras que la homología de grupo se ocupa de las órbitas de un -acción; comparar (puntos fijos) y (órbitas, cociente) para notación de índice superior / inferior.
Los grupos L cuadráticos :y los grupos L simétricos : están relacionados por un mapa de simetrización que es un isomorfismo módulo 2-torsión, y que corresponde a las identidades de polarización .
Los grupos L cuadráticos y simétricos son 4 veces periódicos (el comentario de Ranicki, página 12, sobre la no periodicidad de los grupos L simétricos se refiere a otro tipo de grupos L , definidos usando "complejos cortos").
En vista de las aplicaciones a la clasificación de variedades, existen extensos cálculos de la cuadrática-grupos . Para finito Se utilizan métodos algebraicos, y la mayoría de métodos geométricos (por ejemplo, topología controlada) se utilizan para infinitos .
De manera más general, se pueden definir grupos L para cualquier categoría aditiva con una dualidad en cadena , como en Ranicki (sección 1).
Enteros
Los grupos L simplemente conectados son también los grupos L de los enteros, como para ambos = o Para los grupos L cuadráticos , estas son las obstrucciones de la cirugía a la cirugía simplemente conectada .
Los grupos L cuadráticos de los enteros son:
En una dimensión doblemente uniforme (4 k ), los grupos L cuadráticos detectan la firma ; en una sola dimensión par (4 k + 2), los grupos L detectan el invariante Arf (topológicamente el invariante de Kervaire ).
Los grupos L simétricos de los enteros son:
En una dimensión doblemente pareja (4 k ), los grupos L simétricos , al igual que los grupos L cuadráticos , detectan la firma; en dimensión (4 k + 1), los grupos L detectan el invariante de Rham .
Referencias
- Lück, Wolfgang (2002), "Una introducción básica a la teoría de la cirugía" (PDF) , Topología de variedades de alta dimensión, No. 1, 2 (Trieste, 2001) , Conferencia ICTP. Notas, 9 , Abdus Salam Int. Centavo. Theoret. Phys., Trieste, págs. 1-224, MR 1937016
- Ranicki, Andrew A. (1992), Teoría L algebraica y variedades topológicas (PDF) , Cambridge Tracts in Mathematics, 102 , Cambridge University Press , ISBN 978-0-521-42024-2, MR 1211640
- Wall, CTC (1999) [1970], Ranicki, Andrew (ed.), Cirugía sobre variedades compactas (PDF) , Mathematical Surveys and Monographs, 69 (2a ed.), Providence, RI: American Mathematical Society , ISBN 978-0-8218-0942-6, MR 1687388