En geometría , el conjunto de simetría es un método para representar las simetrías locales de una curva y puede usarse como un método para representar la forma de objetos encontrando el esqueleto topológico . El eje medial , un subconjunto del conjunto de simetría, es un conjunto de curvas que corren aproximadamente a lo largo del centro de un objeto.
![](http://wikiimg.tojsiabtv.com/wikipedia/commons/thumb/e/e9/Ellipse_symmetry_set.svg/240px-Ellipse_symmetry_set.svg.png)
En 2 dimensiones
Dejar ser un intervalo abierto, y ser una parametrización de una curva plana suave.
El conjunto de simetría de se define como el cierre del conjunto de centros de círculos tangentes a la curva en al menos dos puntos distintos ( círculos bitangentes ).
El conjunto de simetría tendrá puntos finales correspondientes a los vértices de la curva. Tales puntos estarán en la cúspide de la evoluta . En tales puntos, la curva tendrá un contacto de 4 puntos con el círculo.
En n dimensiones
Para una variedad suave de dimensiones en (claramente necesitamos ). El conjunto de simetría de la variedad es el cierre de los centros de hiperesferas tangentes a la variedad en al menos dos lugares distintos.
Como conjunto de bifurcación
Dejar ser un dominio abierto simplemente conectado y . Dejarser una parametrización de una pieza lisa de colector. Podemos definir un familia de parámetros de funciones en la curva, a saber
Esta familia se denomina familia de funciones de distancia al cuadrado. Esto se debe a que para un fijo El valor de es el cuadrado de la distancia desde a a
El conjunto de simetría es entonces el conjunto de bifurcaciones de la familia de funciones de distancia al cuadrado. Es decir, es el conjunto de tal que tiene una singularidad repetida para algunos
Por una singularidad repetida, queremos decir que la matriz jacobiana es singular. Dado que tenemos una familia de funciones, esto es equivalente a.
El conjunto de simetría es entonces el conjunto de tal que exista con , y
junto con los puntos limitantes de este conjunto.
Referencias
- JW Bruce, PJ Giblin y CG Gibson, Conjuntos de simetría. Proc. of the Royal Soc. of Edinburgh 101A (1985), 163-186.
- JW Bruce y PJ Giblin, Curves and Singularities, Cambridge University Press (1993).