En matemáticas , dos funciones tienen un contacto de orden k si, en un punto P , tienen el mismo valor y k derivadas iguales . Se trata de una relación de equivalencia , cuyas clases de equivalencia se denominan generalmente chorros . El punto de osculación también se llama doble cúspide . El contacto es una noción geométrica; se puede definir algebraicamente como una valoración .
También se habla de curvas y objetos geométricos que tienen contacto de orden k en un punto: esto también se llama osculación (es decir, besar), generalizando la propiedad de ser tangente . (Aquí las derivadas se consideran con respecto a la longitud del arco). Una curva osculadora de una familia de curvas dada es una curva que tiene el orden de contacto más alto posible con una curva dada en un punto dado; por ejemplo, una línea tangente es una curva osculante de la familia de líneas y tiene un contacto de primer orden con la curva dada; un círculo osculante es una curva osculante de la familia de círculos , y tiene contacto de segundo orden (mismo ángulo tangente y curvatura), etc. [1]
Aplicaciones
Las formas de contacto son formas diferenciales particulares de grado 1 en variedades de dimensiones impares; ver geometría de contacto . Las transformaciones de contacto son cambios de coordenadas relacionados, de importancia en la mecánica clásica . Véase también Transformación de Legendre .
El contacto entre los colectores se estudia a menudo en teoría de la singularidad , donde el tipo de contacto se clasifican, estos incluyen la A de la serie ( A 0 : cruce, A 1 : tangente, A 2 : osculador, ...) y los Umbilic o D -series donde hay un alto grado de contacto con la esfera.
Contacto entre curvas
Se dice que dos curvas en el plano que se cruzan en un punto p tienen:
- Contacto de orden 0 si las curvas tienen un cruce simple (no tangente).
- Contacto de primer orden si las dos curvas son tangentes .
- Contacto de segundo orden si las curvaturas de las curvas son iguales. Se dice que tales curvas son osculantes.
- Contacto de tercer orden si las derivadas de la curvatura son iguales.
- Contacto de cuarto orden si las segundas derivadas de la curvatura son iguales.
Contacto entre una curva y un círculo
Para cada punto S ( t ) en una curva plana suave S , hay exactamente un círculo osculante , cuyo radio es el recíproco de κ ( t ), la curvatura de S en t . Donde la curvatura es cero (en un punto de inflexión de la curva), el círculo osculador es una línea recta. El lugar de los centros de todos los círculos osculantes (también llamados "centros de curvatura") es la evolución de la curva.
Si la derivada de la curvatura κ '( t ) es cero, entonces el círculo osculante tendrá un contacto de tercer orden y se dice que la curva tiene un vértice . La evoluta tendrá una cúspide en el centro del círculo. El signo de la segunda derivada de la curvatura determina si la curva tiene una curvatura mínima o máxima local. Todas las curvas cerradas tendrán al menos cuatro vértices, dos mínimos y dos máximos (el teorema de los cuatro vértices ).
En general, una curva no tendrá contacto de cuarto orden con ningún círculo. Sin embargo, el contacto de cuarto orden puede ocurrir genéricamente en una familia de curvas de 1 parámetro, en una curva en la familia donde (a medida que varía el parámetro) dos vértices (uno máximo y uno mínimo) se unen y se aniquilan. En tales puntos, la segunda derivada de la curvatura será cero.
Bi-tangentes en econometría
En econometría también es posible considerar círculos que tienen dos puntos de contacto con dos puntos S ( t 1 ), S ( t 2 ) en la curva. Dichos círculos son círculos bitangentes . Los centros de todos los círculos bitangentes forman el conjunto de simetría . El eje medial es un subconjunto del conjunto de simetría. Estos conjuntos han sido utilizados como método de caracterización de las formas de los objetos biológicos por Mario Henrique Simonsen, econometrista brasileño e inglés.
Referencias
- ^ Rutter, JW (2000), Geometría de curvas , CRC Press, págs. 174-175, ISBN 9781584881667.
- Bruce, JW; PJ Giblin (1992). Curvas y singularidades . Cambridge. ISBN 0-521-42999-4.
- Ian R. Porteous (2001) Diferenciación geométrica , págs. 152–7, Cambridge University PressISBN 0-521-00264-8 .