En geometría diferencial , la libertad sistólica se refiere al hecho de que las variedades cerradas de Riemann pueden tener un volumen arbitrariamente pequeño independientemente de sus invariantes sistólicos . Es decir, las invariantes sistólicas o los productos de las invariantes sistólicas no proporcionan en general límites inferiores universales (es decir, sin curvatura) para el volumen total de una variedad de Riemann cerrada.
La libertad sistólica fue detectada por primera vez por Mikhail Gromov en un IHÉ.S. preimpresión en 1992 (que finalmente apareció como Gromov 1996 ), y fue desarrollado por Mikhail Katz , Michael Freedman y otros. La observación de Gromov fue desarrollada por Marcel Berger ( 1993 ). Una de las primeras publicaciones que estudió en detalle la libertad sistólica es la de Katz (1995) .
La libertad sistólica tiene aplicaciones en la corrección de errores cuánticos . Croke y Katz (2003) examinan los principales resultados sobre la libertad sistólica.
Ejemplo
El plano proyectivo complejo admite métricas de Riemann de volumen arbitrariamente pequeño, de modo que cada superficie esencial tiene un área de al menos 1. Aquí una superficie se llama "esencial" si no puede contraerse a un punto en el 4-múltiple ambiental.
Restricción sistólica
Lo opuesto a la libertad sistólica es la restricción sistólica, caracterizada por la presencia de desigualdades sistólicas como la desigualdad sistólica de Gromov para variedades esenciales .
Referencias
- Berger, Marcel (1993), "Systoles et applications selon Gromov", Séminaire Bourbaki (en francés), 1992/93. Astérisque 216, Exp. Núm. 771, 5, 279–310.
- Croke, Christopher B .; Katz, Mikhail (2003), "Límites de volumen universales en variedades de Riemann", Encuestas en geometría diferencial, VIII (Boston, MA, 2002) , Somerville, MA: Int. Prensa, págs. 109-137.
- Freedman, Michael H. (1999), " Z 2 -systolic-freedom", Actas del Kirbyfest (Berkeley, CA, 1998) , Geom. Topol. Monogr., 2 , Coventry: Geom. Topol. Publ., Págs. 113–123.
- Freedman, Michael H .; Meyer, David A .; Luo, Feng (2002), " Z 2 -libertad sistólica y códigos cuánticos", Matemáticas de la computación cuántica , Computación . Matemáticas. Ser., Boca Raton, FL: Chapman & Hall / CRC, págs. 287–320.
- Freedman, Michael H .; Meyer, David A. (2001), Plano proyectivo y códigos cuánticos planos, revista = Encontrado. Computación. Matemáticas. , 1 , págs. 325–332.
- Gromov, Mikhail (1996), "Sístoles y desigualdades interesistólicas", Actes de la Table Ronde de Géométrie Différentielle (Luminy, 1992) , Sémin. Congr., 1 , París: Soc. Matemáticas. Francia, págs. 291–362.
- Katz, Mikhail (1995), "Contraejemplos de desigualdades isosistólicas", Geom. Dedicata , 57 (2): 195–206, doi : 10.1007 / bf01264937.