En la matemática campo de la geometría de Riemann , M. Gromov 's desigualdad sistólica limita la longitud de la más corta no contráctil bucle en una variedad de Riemann en términos del volumen del colector. La desigualdad sistólica de Gromov se demostró en 1983; [1] puede verse como una generalización, aunque no óptima, de la desigualdad del toro de Loewner y la desigualdad de Pu para el plano proyectivo real .
Técnicamente, sea M una variedad riemanniana esencial de dimensión n ; denotamos por sys pi 1 ( M ) la homotopy 1 de la sístole de M , es decir, la menor longitud de un bucle no contráctil en M . Entonces la desigualdad de Gromov toma la forma
donde C n es una constante universal sólo en función de la dimensión de M .
Colectores esenciales
Una variedad cerrada se llama esencial si su clase fundamental define un elemento distinto de cero en la homología de su grupo fundamental , o más precisamente en la homología del correspondiente espacio de Eilenberg-MacLane . Aquí la clase fundamental se toma en homología con coeficientes enteros si la variedad es orientable, y en coeficientes módulo 2, en caso contrario.
Ejemplos de variedades esenciales incluyen variedades asféricas , espacios proyectivos reales y espacios de lentes .
Pruebas de la desigualdad de Gromov
La prueba original de Gromov de 1983 tiene unas 35 páginas. Se basa en una serie de técnicas y desigualdades de la geometría riemanniana global. El punto de partida de la demostración es la incrustación de X en el espacio de Banach de las funciones de Borel en X, equipado con la norma sup. La incrustación se define mapeando un punto p de X a la función real en X dada por la distancia desde el punto p . La demostración utiliza la desigualdad de coarea , la desigualdad isoperimétrica , la desigualdad de cono y el teorema de deformación de Herbert Federer .
Llenado de invariantes y trabajo reciente
Una de las ideas fundamentales de la prueba es la introducción de llenado invariantes, a saber el radio de llenado y el volumen de llenado de X . Es decir, Gromov demostró una fuerte desigualdad entre la sístole y el radio de llenado,
válido para todas las variedades esenciales X ; así como una desigualdad
válida para todos los colectores cerrado X .
Se demostró por Brunnbauer (2008) que los invariantes de llenado, a diferencia de los invariantes sistólica, son independientes de la topología del colector en un sentido adecuado.
Guth (2011) y Ambrosio & Katz (2011) desarrollaron enfoques para la prueba de la desigualdad sistólica de Gromov para variedades esenciales.
Desigualdades para superficies y poliedros
Se encuentran disponibles resultados más sólidos para las superficies, donde las asintóticas cuando el género tiende al infinito ya se comprenden bien, ver sístoles de superficies . Se dispone de una desigualdad uniforme para complejos 2 arbitrarios con grupos fundamentales no libres, cuya demostración se basa en el teorema de descomposición de Grushko .
Notas
- ↑ ver Gromov (1983)
Ver también
Referencias
- Ambrosio, Luigi ; Katz, Mikhail (2011), "Corrientes planas módulo p en espacios métricos y desigualdades de radio de llenado", Commentarii Mathematici Helvetici , 86 (3): 557–592, arXiv : 1004.1374 , doi : 10.4171 / CMH / 234 , MR 2803853.
- Brunnbauer, M. (2008), "El llenado de las desigualdades no depende de la topología", J. Reine Angew. Matemáticas. , 624 : 217–231
- Gromov, M. (1983), "Llenado de colectores de Riemann", J. Diff. Geom. , 18 : 1–147, MR 0697984 , Zbl 0515.53037 , PE euclid.jdg / 1214509283
- Guth, Larry (2011), "Volúmenes de bolas en grandes variedades de Riemann", Annals of Mathematics , 173 (1): 51–76, arXiv : math / 0610212 , doi : 10.4007 / annals.2011.173.1.2 , MR 2753599
- Katz, Mikhail G. (2007), Geometría y topología sistólica , Estudios y monografías matemáticas, 137 , Providence, RI: American Mathematical Society , p. 19, ISBN 978-0-8218-4177-8