El teorema de dilatación de Sz.-Nagy (probado por Béla Szőkefalvi-Nagy ) establece que toda contracción T en un espacio de Hilbert H tiene una dilatación unitaria U a un espacio de Hilbert K , que contiene H , con
Por otra parte, una dilatación tal es único (hasta equivalencia unitaria) cuando se supone K es mínimo, en el sentido de que la envolvente lineal de ∪ n U n H es denso en K . Cuando esta condición se mantiene minimalidad, T se llama la dilatación unitaria mínima de T .
Prueba
Para una contracción T (es decir, (), su operador de defecto D T se define como la raíz cuadrada positiva (única) D T = ( I - T * T ) ½ . En el caso especial de que S es una isometría, D S * es un proyector y D S = 0 , por lo que lo siguiente es un Sz. Dilatación unitaria de Nagy de S con la propiedad de cálculo funcional polinomial requerida:
Volviendo al caso general de una contracción T , toda contracción T en un espacio de Hilbert H tiene una dilatación isométrica, nuevamente con la propiedad de cálculo, en
dada por
Sustituyendo la S así construida en la dilatación unitaria Sz.-Nagy anterior por una isometría S , se obtiene una dilatación unitaria por una contracción T :
Forma de Schaffer
La forma Schaffer de un Sz unitario. La dilatación Nagy puede verse como un punto de partida para la caracterización de todas las dilataciones unitarias, con la propiedad requerida, para una contracción determinada.
Observaciones
Una generalización de este teorema, por Berger, Foias y Lebow, muestra que si X es un conjunto espectral para T , y
es un álgebra de Dirichlet , entonces T tiene una dilatación δX normal mínima , de la forma anterior. Una consecuencia de esto es que cualquier operador con un conjunto espectral X simplemente conectado tiene una dilatación δX normal mínima .
Para ver que esto generaliza el teorema de Sz.-Nagy, observe que los operadores de contracción tienen el disco unitario D como un conjunto espectral, y que los operadores normales con espectro en el círculo unitario δ D son unitarios.
Referencias
- Paulsen, V. (2003). Mapas completamente acotados y álgebras de operadores . Prensa de la Universidad de Cambridge.
- Schaffer, JJ (1955). "Sobre dilataciones unitarias de contracciones". Actas de la American Mathematical Society . 6 (2): 322. doi : 10.2307 / 2032368 . JSTOR 2032368 .