En la teoría del operador , un operador acotado T : X → Y entre los espacios vectoriales normativos X e Y se dice que es una contracción si su norma de operador || T || ≤ 1. Todo operador acotado se convierte en una contracción después de un escalado adecuado. El análisis de las contracciones proporciona información sobre la estructura de los operadores o una familia de operadores. La teoría de las contracciones en el espacio de Hilbert se debe en gran parte a Béla Szőkefalvi-Nagy y Ciprian Foias .
Contracciones en un espacio de Hilbert
Si T es una contracción que actúa sobre un espacio de Hilbert , se pueden definir los siguientes objetos básicos asociados con T.
Los operadores de defecto de T son los operadores D T = (1 - T * T ) ½ y D T * = (1 - TT * ) ½ . La raíz cuadrada es la semidefinida positiva dada por el teorema espectral . Los espacios de defectos y son los rangos Ran ( D T ) y Ran ( D T * ) respectivamente. El operador positivo D T induce un producto interno en. El espacio interior del producto se puede identificar naturalmente con Ran ( D T ). Una afirmación similar vale para.
Los índices de defectos de T son el par
Los operadores de defectos y los índices de defectos son una medida de la no unitaridad de T .
Una contracción T en un espacio de Hilbert se puede descomponer canónicamente en una suma directa ortogonal
donde U es un operador unitario y Γ es completamente no unitario en el sentido de que no tiene subespacios reductores en los que su restricción sea unitaria. Si U = 0, se dice que T es una contracción completamente no unitaria . Un caso especial de esta descomposición es la descomposición de Wold para una isometría , donde Γ es una isometría adecuada.
Las contracciones en los espacios de Hilbert pueden verse como operadores análogos de cos θ y se denominan ángulos de operador en algunos contextos. La descripción explícita de las contracciones conduce a (operador) parametrizaciones de matrices positivas y unitarias.
Teorema de dilatación para contracciones
El teorema de la dilatación de Sz.-Nagy , probado en 1953, establece que para cualquier contracción T en un espacio de Hilbert H , existe un operador unitario U en un espacio de Hilbert más grande K ⊇ H tal que si P es la proyección ortogonal de K sobre H, entonces T n = P U n P para todos n > 0. el operador T se llama una dilatación de T y se determina únicamente si U es mínima, es decir, K es el más pequeño invariante subespacio cerrado bajo U y U * que contiene H .
De hecho, defina [1]
la suma directa ortogonal de una cantidad numerable de copias de H .
Sea V la isometría en definido por
Dejar
Definir un unitaria W de por
W es entonces una dilatación unitaria de T con H considerado como el primer componente de.
La dilatación mínima U se obtiene tomando la restricción de W a la subespacio cerrado generada por potencias de W aplica a H .
Teorema de dilatación para semigrupos de contracción
Existe una prueba alternativa del teorema de dilatación de Sz.-Nagy, que permite generalizaciones significativas. [2]
Deje que G sea un grupo, U ( g ) una representación unitaria de G en un espacio de Hilbert K y P una proyección ortogonal sobre un subespacio cerrado H = PK de K .
La función valorada por el operador
con valores en operadores sobre K satisface la condición de definición positiva
dónde
Es más,
A la inversa, toda función definida positiva valorada por el operador surge de esta forma. Recuerde que toda función definida positiva con valores escalares (continua) en un grupo topológico induce un producto interno y una representación de grupo φ ( g ) = 〈U g v , v〉 donde U g es una representación unitaria (fuertemente continua) (ver la descripción de Bochner teorema ). Reemplazar v , una proyección de rango 1, por una proyección general da el enunciado valorado por el operador. De hecho, la construcción es idéntica; esto se bosqueja a continuación.
Dejar ser el espacio de funciones sobre G de soporte finito con valores en H con producto interno
G actúa unitariamente sobre por
Además, H puede identificarse con un subespacio cerrado demediante el envío de incrustación isométrica v en H a f v con
Si P es la proyección deen H , luego
utilizando la identificación anterior.
Cuando G es un grupo topológico separable, Φ es continuo en la topología de operador fuerte (o débil) si y solo si U lo es.
En este caso, las funciones soportadas en un subgrupo denso contable de G son densas en, así que eso es separable.
Cuando G = Z cualquier operador de contracción T define tal función Φ a través de
para n > 0. La construcción anterior produce una dilatación unitaria mínima.
El mismo método se puede aplicar para probar un segundo teorema de dilatación de Sz._Nagy para un uniparamétrica fuertemente continua contracción semigrupo T ( t ) ( t ≥ 0) en un espacio de Hilbert H . Cooper (1947) había probado previamente el resultado para semigrupos de isometrías de un parámetro, [3]
El teorema establece que hay un espacio de Hilbert más grande K que contiene H y una representación unitaria U ( t ) de R tal que
y la traduce U ( t ) H generar K .
De hecho, T ( t ) define una función definida positova continua valorada por el operador Φ en R a través de
para t > 0. Φ es positivo-definido en subgrupos cíclicos de R , por el argumento de Z , y por lo tanto en R mismo por continuidad.
La construcción anterior produce una mínima representación unitaria U ( t ) y la proyección P .
El teorema de Hille-Yosida asigna un operador cerrado ilimitado A a cada semigrupo contractivo de un parámetro T ' ( t ) a
donde el dominio en A consta de todos los ξ para los que existe este límite.
A se llama generador del semigrupo y satisface
en su dominio. Cuando A es un operador autoadjunto
en el sentido del teorema espectral y esta notación se usa más generalmente en la teoría de semigrupos.
El cogenerador del semigrupo es la contracción definida por
A se puede recuperar de T usando la fórmula
En particular, una dilatación de T en K ⊃ H da inmediatamente una dilatación del semigrupo. [4]
Cálculo funcional
Deje que T sea totalmente contracción no unitarios en H . Entonces, la dilatación unitaria mínima U de T en K ⊃ H es unitariamente equivalente a una suma directa de copias del operador de desplazamiento bilateral, es decir, multiplicación por z en L 2 ( S 1 ). [5]
Si P es la proyección ortogonal sobre H, entonces para f en L ∞ = L ∞ ( S 1 ) se deduce que el operador f ( T ) puede definirse por
Sea H ∞ sea el espacio de las funciones holomorfas delimitadas en el disco unidad D . Cualquiera de estas funciones tiene valores de frontera en L ∞ y está determinada únicamente por estos, de modo que hay una inclusión H ∞ ⊂ L ∞ .
Para f en H ∞ , f ( T ) se puede definir sin referencia a la dilatación unitaria.
De hecho si
para | z | <1, entonces para r <1
es holomórfico en | z | <1 / r .
En ese caso, f r ( T ) se define mediante el cálculo funcional holomórfico y f ( T ) se puede definir mediante
El envío de mapa f de f ( T ) define un homomorfismo álgebra de H ∞ en operadores delimitadas en H . Además, si
luego
Este mapa tiene la siguiente propiedad de continuidad: si una secuencia uniformemente acotada f n tiende casi en todas partes af , entonces f n ( T ) tiende af ( T ) en la topología de operador fuerte.
Para t ≥ 0, sea e t la función interna
Si T es el cogenerador de un semigrupo de un parámetro de contracciones completamente no unitarias T ( t ), entonces
y
Contracciones C 0
Se dice que una contracción T completamente no unitaria pertenece a la clase C 0 si y solo si f ( T ) = 0 para alguna f distinta de cero en H ∞ . En este caso, el conjunto de tales f forma un ideal en H ∞ . Tiene la forma φ ⋅ H ∞ donde g es una función interna , es decir, tal que | φ | = 1 en S 1 : φ se determina de forma única hasta la multiplicación por un número complejo de módulo 1 y se llama la función mínima de T . Tiene propiedades análogas al polinomio mínimo de una matriz.
La función mínima φ admite una factorización canónica
donde | c | = 1, B ( z ) es un producto de Blaschke
con
y P ( z ) es holomorphic con parte real no negativo en D . Según el teorema de representación de Herglotz ,
para alguna medida finita no negativa μ en el círculo: en este caso, si no es cero, μ debe ser singular con respecto a la medida de Lebesgue. En la descomposición anterior de φ, cualquiera de los dos factores puede estar ausente.
El φ función mínima determina el espectro de T . Dentro del disco unitario, los valores espectrales son los ceros de φ. Hay, como mucho, muchos de estos λ i , todos los valores propios de T , los ceros de B ( z ). Un punto del círculo unitario no se encuentra en el espectro de T si y solo si φ tiene una continuación holomórfica en una vecindad de ese punto.
φ se reduce a un producto de Blaschke exactamente cuando H es igual al cierre de la suma directa (no necesariamente ortogonal) de los autoespacios generalizados [6]
Casi similitud
Se dice que dos contracciones T 1 y T 2 son casi similares cuando hay operadores acotados A , B con núcleo trivial y rango denso tal que
Las siguientes propiedades de una contracción T se conservan bajo casi similitud:
- siendo unitario
- siendo completamente no unitario
- estar en la clase C 0
- siendo multiplicidad libre , es decir, que tiene un conmutativa commutant
Dos contracciones de C 0 cuasi similares tienen la misma función mínima y, por lo tanto, el mismo espectro.
El teorema de clasificación para las contracciones C 0 establece que dos contracciones C 0 libres de multiplicidad son cuasi-similares si y solo si tienen la misma función mínima (hasta un múltiplo escalar). [7]
Un modelo para las contracciones C 0 libres de multiplicidad con una función mínima φ se obtiene tomando
donde H 2 es el espacio de Hardy del círculo y siendo T una multiplicación por z . [8]
Dichos operadores se denominan bloques de Jordan y se denotan como S (φ).
Como generalización del teorema de Beurling , el conmutador de dicho operador consta exactamente de operadores ψ ( T ) con ψ en H ≈ , es decir, operadores de multiplicación en H 2 correspondientes a funciones en H ≈ .
El operador de contracción AC 0 T es libre de multiplicidad si y solo si es cuasi-similar a un bloque de Jordan (correspondiente necesariamente al correspondiente a su función mínima).
Ejemplos.
- Si una contracción T es casi similar a un operador S con
con el λ i es distinto, de módulo menor que 1, tal que
y ( e i ) es una base ortonormal, entonces S , y por lo tanto T , es C 0 y está libre de multiplicidad. Por tanto, H es el cierre de la suma directa de los λ i -eigenspaces de T , cada uno con multiplicidad uno. Esto también se puede ver directamente usando la definición de cuasi-similitud.
- Los resultados anteriores se pueden aplicar igualmente bien a los semigrupos de un parámetro, ya que, a partir del cálculo funcional, dos semigrupos son cuasi similares si y solo si sus cogeneradores son cuasi similares. [9]
Teorema de clasificación para las contracciones de C 0 : cada contracción de C 0 es canónicamente casi similar a una suma directa de bloques de Jordan.
De hecho, cada contracción C 0 es casi similar a un operador único de la forma
donde el φ n se determina únicamente funciones internas, con φ 1 la función mínima de S y por lo tanto T . [10]
Ver también
Notas
- ^ Sz.-Nagy y col. 2010 , págs. 10–14
- ^ Sz.-Nagy y col. 2010 , págs. 24-28
- ^ Sz.-Nagy y col. 2010 , págs. 28–30
- ^ Sz.-Nagy y col. 2010 , págs.143, 147
- ^ Sz.-Nagy y col. 2010 , págs. 87–88
- ^ Sz.-Nagy y col. 2010 , pág. 138
- ^ Sz.-Nagy y col. 2010 , págs. 395–440
- ^ Sz.-Nagy y col. 2010 , pág. 126
- ^ Bercovici 1988 , p. 95
- ↑ Bercovici , 1988 , págs. 35–66.
Referencias
- Bercovici, H. (1988), Teoría del operador y aritmética en H ∞ , Encuestas y monografías matemáticas, 26 , American Mathematical Society, ISBN 0-8218-1528-8
- Cooper, JLB (1947), "Semigrupos de operadores isométricos de un parámetro en el espacio de Hilbert", Ann. de Matemáticas. , 48 : 827–842, doi : 10.2307 / 1969382
- Gamelin, TW (1969), Álgebras uniformes , Prentice-Hall
- Hoffman, K. (1962), espacios de Banach de funciones analíticas , Prentice-Hall
- Sz.-Nagy, B .; Foias, C .; Bercovici, H .; Kérchy, L. (2010), Análisis armónico de operadores en el espacio de Hilbert , Universitext (Segunda ed.), Springer, ISBN 978-1-4419-6093-1
- Riesz, F .; Sz.-Nagy, B. (1995), Análisis funcional. Reimpresión del original de 1955 , Dover Books on Advanced Mathematics, Dover, págs. 466–472, ISBN 0-486-66289-6