En geometría diferencial , el teorema de Tait-Kneser establece que, si una curva plana suave tiene una curvatura monótona, los círculos osculantes de la curva son disjuntos y anidados entre sí. [1] La espiral logarítmica o la espiral de Arquímedes ilustrada proporcionan ejemplos de curvas cuya curvatura es monótona para toda la curva. Esta monotonicidad no puede ocurrir para una curva cerrada simple (según el teorema de los cuatro vértices , hay al menos cuatro vértices donde la curvatura alcanza un punto extremo) [1] pero para tales curvas, el teorema se puede aplicar a los arcos de las curvas entre sus vértices.
El teorema lleva el nombre de Peter Tait , quien lo publicó en 1896, y Adolf Kneser , quien lo redescubrió y publicó en 1912. [1] [2] [3] La demostración de Tait se deriva simplemente de las propiedades de la evoluta , la curva trazada por los centros de los círculos osculantes. Para curvas con curvatura monótona, la longitud del arco a lo largo de la evolución entre dos centros es igual a la diferencia de radios de los círculos correspondientes. Esta longitud de arco debe ser mayor que la distancia en línea recta entre los mismos dos centros, por lo que los dos círculos tienen centros más cercanos que la diferencia de sus radios, de lo cual se sigue el teorema. [1] [2]
Se pueden demostrar teoremas análogos de disjunción para la familia de polinomios de Taylor de una función suave dada, y para las cónicas osculantes de una curva suave dada. [1]
Referencias
- ^ a b c d e Ghys, Étienne ; Tabachnikov, Sergei ; Timorin, Vladlen (2013), "Curvas osculantes: alrededor del teorema de Tait-Kneser", The Mathematical Intelligencer , 35 (1): 61-66, arXiv : 1207.5662 , doi : 10.1007 / s00283-012-9336-6 , MR 3041992
- ^ a b Profesor Tait (febrero de 1895), "Nota sobre los círculos de curvatura de una curva plana", Actas de la Edinburgh Mathematical Society , 14 : 26, doi : 10.1017 / s0013091500031710
- ^ Kneser, Adolf (1912), "Bemerkungen über die Anzahl der Extreme der Krümmung auf geschlossenen Kurven und über verwandte Fragen in einer nicht-euklidischen Geometrie" , Festschrift Heinrich Weber zu seinem siebzigsten geburtstag von 1912; mit dem Bildnis von H. Weber en Heliogravüre und Figuren im Text , Leipzig: BG Teubner, págs. 170–180