Ramificación (matemáticas)
En geometría , la ramificación es 'ramificación', en la forma en que la función de raíz cuadrada , para números complejos , puede verse que tiene dos ramas que difieren en signo. El término también se usa desde la perspectiva opuesta (ramas que se juntan), como cuando un mapa de cobertura degenera en un punto de un espacio, con cierto colapso de las fibras del mapeo.
En el análisis complejo , el modelo básico se puede tomar como el mapeo z → z n en el plano complejo, cerca de z = 0. Esta es la imagen local estándar en la teoría de superficies de Riemann , de ramificación de orden n . Ocurre, por ejemplo, en la fórmula de Riemann-Hurwitz para el efecto de las asignaciones en el género . Véase también punto de bifurcación .
En un mapa de cobertura, la característica de Euler-Poincaré debe multiplicarse por el número de hojas; por lo tanto, la ramificación puede ser detectada por alguna caída de eso. El mapeo z → z n muestra esto como un patrón local: si excluimos 0, mirando 0 < | z | < 1 digamos, tenemos (desde el punto de vista de la homotopía ) el círculo mapeado a sí mismo por el n -ésimo mapa de potencia (característica de Euler-Poincaré 0), pero con todo el disco , la característica de Euler-Poincaré es 1, n - 1 siendo los puntos 'perdidos' cuando las n hojas se unen en z = 0.
En términos geométricos, la ramificación es algo que sucede en la codimensión dos (como la teoría de nudos y la monodromía ); dado que la codimensión real dos es la codimensión compleja uno, el ejemplo del complejo local establece el patrón para las variedades complejas de dimensiones superiores . En el análisis complejo, las hojas no pueden simplemente plegarse a lo largo de una línea (una variable), o codimensionar un subespacio en el caso general. El conjunto de ramificación (lugar geométrico de la rama en la base, conjunto de puntos dobles arriba) será dos dimensiones reales más bajas que la variedad ambiental , por lo que no lo separará en dos 'lados', localmente; habrá caminos que se trazan alrededor del lugar geométrico de la rama. , tal como en el ejemplo. Engeometría algebraica sobre cualquier campo , por analogía, también ocurre en codimensión algebraica uno.
