En matemáticas, la curva de Tate es una curva definida sobre el anillo de series formales de poder con coeficientes enteros. Sobre el subesquema abierto donde q es invertible, la curva de Tate es una curva elíptica . La curva de Tate también se puede definir para q como un elemento de un campo completo de norma menor que 1, en cuyo caso las series de potencias formales convergen.
La curva de Tate fue introducida por John Tate ( 1995 ) en un manuscrito de 1959 titulado originalmente "Puntos racionales en curvas elípticas sobre campos completos"; no publicó sus resultados hasta muchos años después, y su trabajo apareció por primera vez en Roquette (1970) .
Definición
La curva de Tate es la curva del plano proyectivo sobre el anillo Z [[ q ]] de una serie de potencias formales con coeficientes enteros dados (en un subconjunto abierto afín del plano proyectivo) por la ecuación
dónde
son series de potencias con coeficientes enteros. [1]
La curva de Tate sobre un campo completo
Suponga que el campo k está completo con respecto a algún valor absoluto | |, yq es un elemento distinto de cero del campo k con | q | <1. Entonces las series sobre todas convergen y definen una curva elíptica sobre k . Si además q es distinto de cero, entonces hay un isomorfismo de grupos de k * / q Z a esta curva elíptica, tomando w a ( x ( w ), y ( w )) para w no una potencia de q , donde
y llevar potencias de q al punto en el infinito de la curva elíptica. Las series x ( w ) y y ( w ) no son series formales de potencias en w .
Ejemplo intuitivo
En el caso de la curva sobre el campo completo, , el caso más fácil de visualizar es , dónde es el subgrupo discreto generado por un período multiplicativo , donde el período . Tenga en cuenta que es isomorfo a , dónde son los números complejos debajo de la suma.
Para ver por qué la curva de Tate corresponde moralmente a un toro cuando el campo es C con la norma habitual, ya es singularmente periódico; modificando por los poderes integrales de q estás modificando por , que es un toro. En otras palabras, tenemos un anillo y pegamos los bordes internos y externos.
Pero el anillo no corresponde al círculo menos un punto: el anillo es el conjunto de números complejos entre dos potencias consecutivas de q; decir todos los números complejos con magnitud entre 1 y q. Eso nos da dos círculos, es decir, los bordes interior y exterior de un anillo.
La imagen del toro que se muestra aquí es un grupo de círculos incrustados que se vuelven más y más estrechos a medida que se acercan al origen.
Esto es ligeramente diferente del método habitual que comienza con una hoja de papel plana, , y pegando los lados para hacer un cilindro , y luego pegar los bordes del cilindro para hacer un toro, .
Esto está un poco simplificado. La curva de Tate es en realidad una curva sobre un anillo de serie de potencias formales en lugar de una curva sobre C. Intuitivamente, es una familia de curvas que dependen de un parámetro formal. Cuando ese parámetro formal es cero, degenera en un toro pellizcado, y cuando es distinto de cero, es un toro).
Propiedades
La j-invariante de la curva de Tate viene dada por una serie de potencias en q con el término principal q −1 . [2] En un campo local p -ádico , por lo tanto, j no es integral y la curva de Tate tiene una reducción semiestable de tipo multiplicativo. Por el contrario, cada curva elíptica semiestable sobre un campo local es isomorfa a una curva de Tate (hasta un giro cuadrático ). [3]
Referencias
- Lang, Serge (1987), Funciones elípticas , Textos de posgrado en matemáticas, 112 (2a ed.), Berlín, Nueva York: Springer-Verlag , doi : 10.1007 / 978-1-4612-4752-4 , ISBN 978-0-387-96508-6, MR 0890960 , Zbl 0.615,14018
- Manin, Yu. Yo ; Panchishkin, AA (2007). Introducción a la teoría de números moderna . Enciclopedia de Ciencias Matemáticas. 49 (Segunda ed.). ISBN 978-3-540-20364-3. ISSN 0938-0396 . Zbl 1079.11002 .
- Robert, Alain (1973), Curvas elípticas , Lecture Notes in Mathematics, 326 , Berlín, Nueva York: Springer-Verlag , doi : 10.1007 / 978-3-540-46916-2 , ISBN 978-3-540-06309-4, MR 0352107 , Zbl 0.256,14013
- Roquette, Peter (1970), Teoría analítica de funciones elípticas sobre campos locales , Hamburger Mathematische Einzelschriften (NF), Heft 1, Göttingen: Vandenhoeck & Ruprecht, ISBN 9783525403013, MR 0260753 , Zbl 0.194,52002
- Silverman, Joseph H. (1994). Temas avanzados en aritmética de curvas elípticas . Textos de Posgrado en Matemáticas . 151 . Springer-Verlag . ISBN 0-387-94328-5. Zbl 0911.14015 .
- Tate, John (1995) [1959], "Una revisión de funciones elípticas no arquimedianas" , en Coates, John; Yau, Shing-Tung (eds.), Curvas elípticas, formas modulares y último teorema de Fermat (Hong Kong, 1993) , Series in Number Theory, I , Int. Press, Cambridge, MA, págs. 162–184, CiteSeerX 10.1.1.367.7205 , ISBN 978-1-57146-026-4, MR 1363501