Foliación tensa
En matemáticas , la tensión es una propiedad de rigidez de las foliaciones . Una foliación tensa es una foliación de codimensión 1 de una variedad cerrada con la propiedad de que cada hoja se encuentra con un círculo transversal. [1] : 155 Por círculo transversal se entiende un bucle cerrado que es siempre transversal al campo tangente de la foliación.
Si la variedad foliada tiene un límite tangencial no vacío, entonces una foliación de codimensión 1 es tensa si cada hoja se encuentra con un círculo transversal o un arco transversal con extremos en el límite tangencial. De manera equivalente, según un resultado de Dennis Sullivan , una foliación de codimensión 1 es tensa si existe una métrica riemanniana que hace que cada hoja sea una superficie mínima . Además, para variedades compactas, la existencia, para cada hoja , de un círculo transversal que se encuentra con , implica la existencia de un solo círculo transversal que se encuentra con cada hoja.
Las foliaciones tensas están íntimamente relacionadas con el concepto de foliación Reebless . Una foliación tensa no puede tener un componente Reeb , ya que el componente actuaría como un "callejón sin salida" del que nunca podría escapar una curva transversal; en consecuencia, el toroide límite del componente Reeb no tiene un círculo transversal que lo perfore. Una foliación Reebless puede no estar tensa, pero las únicas hojas de la foliación sin un círculo transversal punzante deben ser compactas y, en particular, homeomorfas a un toro.
La existencia de una foliación tensa implica varias propiedades útiles sobre un 3-variedad cerrado. Por ejemplo, una 3-variedad cerrada, orientable, que admite una foliación tensa sin hoja esférica, debe ser irreducible , cubierta por , y tener un grupo fundamental curvado negativamente .
Por un teorema de Hansklaus Rummler y Dennis Sullivan , las siguientes condiciones son equivalentes para foliaciones de codimensión uno transversalmente orientables de variedades cerradas, orientables y suaves M: [2] [1] : 158
