En geometría algebraica , el anillo tautológico es el subanillo del anillo de Chow del espacio de módulos de curvas generado por clases tautológicas. Estas son clases obtenidas de 1 por avance a lo largo de varios morfismos que se describen a continuación. El anillo de cohomología tautológica es la imagen del anillo tautológico debajo del mapa del ciclo (desde el anillo de Chow hasta el anillo de cohomología).
Definición
Dejar ser la pila de módulos de curvas marcadas estables , tal que
- C es una curva compleja de género aritmético g cuyas únicas singularidades son nodos,
- los n puntos x 1 , ..., x n son distintos puntos suaves de C ,
- la curva marcada es estable, es decir, su grupo de automorfismos (dejando invariantes los puntos marcados) es finito.
La última condición requiere en otras palabras ( g , n ) no está entre (0,0), (0,1), (0,2), (1,0). La pila entonces tiene dimensión . Además de las permutaciones de los puntos marcados, los siguientes morfismos entre estas pilas de módulos juegan un papel importante en la definición de clases tautológicas:
- Mapas olvidados que actúan quitando un punto dado x k del conjunto de puntos marcados, luego reestabilizando la curva marcada si ya no es estable [ aclaración necesaria ] .
- Pegado de mapas que identifican el k -ésimo punto marcado de una curva al l -ésimo punto marcado de la otra. Otro conjunto de mapas de pegado esque identifican los puntos marcados k -ésimo y l -ésimo, aumentando así el género creando un ciclo cerrado.
Los anillos tautológicos se definen simultáneamente como los subanillos más pequeños de los anillos Chow cerrados bajo empuje hacia adelante por mapas olvidadizos y pegados. [1]
El anillo de cohomología tautológica es la imagen de debajo del mapa del ciclo. A partir de 2016, no se sabe si los anillos de cohomología tautológica y tautológica son isomorfos.
Grupo electrógeno
Para definimos la clase como sigue. Dejar ser el avance de 1 a lo largo del mapa de pegado que identifica el punto marcado x k de la primera curva a uno de los tres puntos marcados y i en la esfera (la última opción no es importante gracias a los automorfismos). Para precisión, ordene los puntos resultantes como x 1 , ..., x k −1 , y 1 , y 2 , x k +1 , ..., x n . Luego se define como el avance de a lo largo del mapa olvidadizo que olvida el punto y 2 . Esta clase coincide con la primera clase Chern de un determinado paquete de líneas. [1]
Para también definimos ser el empujón de a lo largo del mapa olvidadizo que olvida el k -ésimo punto. Esto es independiente de k (simplemente permutar puntos).
- Teorema. se genera aditivamente empujando hacia adelante a lo largo de (cualquier número de) mapas de pegado de monomios en y clases.
Estos avances de monomios (en lo sucesivo, clases básicas) no forman una base. El conjunto de relaciones no se conoce completamente.
- Teorema. Los anillos tautológicos son invariables bajo retroceso a lo largo de mapas pegados y olvidadizos. Existen fórmulas combinatorias universales que expresan empujones, retrocesos y productos de clases básicas como combinaciones lineales de clases básicas.
Conjeturas de Faber
El anillo tautológico en el espacio de módulos de curvas suaves del género g de n puntos consiste simplemente en restricciones de clases en. Omitimos n cuando es cero (cuando no hay ningún punto marcado).
En el caso de curvas sin punto marcado, conjeturó Mumford, y Madsen y Weiss demostraron, que para cualquier el mapa es un isomorfismo en grado d para g suficientemente grande . En este caso, todas las clases son tautológicas.
- Conjetura (Faber). (1) Los anillos tautológicos de gran grado desaparecen: por (2) y existe una fórmula combinatoria explícita para este isomorfismo. (3) El producto (procedente del anillo Chow) de clases define un maridaje perfecto
Aunque se desvanece trivialmente para debido a la dimensión de , el límite conjeturado es mucho más bajo. La conjetura determinaría completamente la estructura del anillo: un polinomio en elde grado cohomológico d desaparece si y sólo si su emparejamiento con todos los polinomios de grado cohomológico desaparece.
Se probaron las partes (1) y (2) de la conjetura. La parte (3), también llamada conjetura de Gorenstein, solo se verificó para. Para y género superior, varios métodos de construir relaciones entre clases encuentran el mismo conjunto de relaciones que sugieren que las dimensiones de y son diferentes. Si el conjunto de relaciones encontradas por estos métodos es completo, entonces la conjetura de Gorenstein es incorrecta. Además de la búsqueda informática no sistemática original de Faber basada en mapas clásicos entre paquetes de vectores sobre, la fibra d -ésima potencia de la curva universal, se han utilizado los siguientes métodos para encontrar relaciones:
- Clases virtuales del espacio de módulos de cocientes estables (más ) por Pandharipande y Pixton. [2]
- La clase r -spin de Witten y la clasificación de Givental-Telemann de las teorías de campo cohomológico, utilizada por Pandharipande, Pixton, Zvonkine. [3]
- Geometría del jacobiano universal sobre , por Yin.
- Poderes de theta-divisor en la variedad abeliana universal, por Grushevsky y Zakharov. [4]
Se ha comprobado que estos cuatro métodos dan el mismo conjunto de relaciones.
Se formularon conjeturas similares para espacios de módulos. de curvas estables y de curvas estables de tipo compacto. Sin embargo, Petersen-Tommasi [5] demostró que y no obedecer la (análoga) conjetura de Gorenstein. Por otro lado, Tavakol [6] demostró que para el género 2 el espacio de módulos de las curvas estables de colas racionalesobedece la condición de Gorenstein para cada n .
Ver también
Referencias
- ↑ a b Faber, C .; Pandharipande, R. (2011). "Cohomología tautológica y no tautológica del espacio de módulos de curvas". arXiv : 1101.5489 [ math.AG ].
- ^ Pandharipande, R .; Pixton, A. (2013). "Relaciones en el anillo tautológico del espacio de módulos de curvas". arXiv : 1301.4561 [ math.AG ].
- ^ Pandharipande, R .; Pixton, A .; Zvonkine, D. (2016). "Relaciones tautológicas a través de estructuras r-spin". arXiv : 1607.00978 [ math.AG ].
- ^ Grushevsky, Samuel; Zakharov, Dmitry (2012). "La sección cero de la variedad semiabeliana universal y el ciclo de doble ramificación". Diario de matemáticas de Duke . 163 (5): 953–982. arXiv : 1206.3534 . doi : 10.1215 / 00127094-26444575 .
- ^ Petersen, Dan; Tommasi, Orsola (2012). "La conjetura de Gorenstein falla para el anillo tautológico de $ \ mathcal {\ bar M} _ {2, n} $". Inventiones mathicae . 196 (2014): 139. arXiv : 1210.5761 . Código Bibliográfico : 2014InMat.196..139P . doi : 10.1007 / s00222-013-0466-z .
- ^ Tavakol, Mehdi (2011). "El anillo tautológico del espacio de módulos M_ {2, n} ^ rt". arXiv : 1101.5242 [ math.AG ].
- Vakil, Ravi (2003), "The moduli space of curves and its tautological ring" (PDF) , Notices of the American Mathematical Society , 50 (6): 647–658, MR 1988577
- Graber, Tom; Vakil, Ravi (2001), "Sobre el anillo tautológico de" (PDF) , Revista Turca de Matemáticas , 25 (1): 237–243, MR 1829089