La ley de potencia de Taylor es una ley empírica en ecología que relaciona la varianza del número de individuos de una especie por unidad de área de hábitat con la media correspondiente mediante una relación de ley de potencia . [1] Lleva el nombre del ecologista que lo propuso por primera vez en 1961, Lionel Roy Taylor (1924-2007). [2] El nombre original de Taylor para esta relación era la ley de la media. [1]
Definición
Esta ley se definió originalmente para los sistemas ecológicos, específicamente para evaluar la agrupación espacial de organismos. Para un recuento de población Y con media µ y varianza var ( Y ), la ley de Taylor se escribe,
donde a y b son constantes positivas. Taylor propuso esta relación en 1961, sugiriendo que el exponente b se considere un índice de agregación específico de la especie. [1] Esta ley de potencia se ha confirmado posteriormente para muchos cientos de especies. [3] [4]
La ley de Taylor también se ha aplicado para evaluar los cambios dependientes del tiempo de las distribuciones de población. [3] También se ha demostrado una variación relacionada con las leyes de potencia media en varios sistemas no ecológicos:
- metástasis de cáncer [5]
- el número de casas construidas sobre la llanura de Tonami en Japón. [6]
- epidemiología del sarampión [7]
- Epidemiología del VIH , [8]
- la agrupación geográfica de la leucemia infantil [9]
- heterogeneidad del flujo sanguíneo [10] [11]
- las distribuciones genómicas de los polimorfismos de un solo nucleótido (SNP) [12]
- estructuras genéticas [13]
- en teoría de números con valores secuenciales de la función de Mertens [14] y también con la distribución de números primos [15]
- de las desviaciones de los valores propios de los conjuntos unitarios y ortogonales gaussianos de la teoría de matrices aleatorias [16]
Historia
El primer uso de una gráfica logarítmica-logarítmica doble fue realizado por Reynolds en 1879 sobre aerodinámica térmica. [17] Pareto usó un diagrama similar para estudiar la proporción de una población y sus ingresos. [18]
El término varianza fue acuñado por Fisher en 1918. [19]
Biología
Fisher [20] en 1921 propuso la ecuación
Neyman estudió la relación entre la media muestral y la varianza en 1926. [21] Barlett propuso una relación entre la media muestral y la varianza en 1936 [22]
Smith en 1938, mientras estudiaba los rendimientos de los cultivos, propuso una relación similar a la de Taylor. [23] Esta relación fue
donde V x es la varianza del rendimiento para parcelas de x unidades, V 1 es la varianza del rendimiento por unidad de área yx es el tamaño de las parcelas. La pendiente ( b ) es el índice de heterogeneidad. El valor de b en esta relación se encuentra entre 0 y 1. Donde los rendimientos están altamente correlacionados, b tiende a 0; cuando no están correlacionados, b tiende a 1.
Bliss [24] en 1941, Fracker y Brischle [25] en 1941 y Hayman & Lowe [26] en 1961 también describieron lo que ahora se conoce como ley de Taylor, pero en el contexto de datos de especies individuales.
LR Taylor (1924–2007) fue un entomólogo inglés que trabajó en el estudio de insectos Rothamsted para el control de plagas. Su artículo de 1961 utilizó datos de 24 artículos publicados entre 1936 y 1960. Estos artículos consideraron una variedad de entornos biológicos: lesiones de virus , macrozooplancton , gusanos y sinfílidos en el suelo , insectos en el suelo, en las plantas y en el aire, ácaros en las hojas. , garrapatas en ovejas y peces en el mar . [1] En estos artículos, el valor de b se encuentra entre 1 y 3. Taylor propuso la ley de potencias como una característica general de la distribución espacial de estas especies. También propuso una hipótesis mecanicista para explicar esta ley. Entre los trabajos citados se encuentran los de Bliss y Yates y Finney.
Los intentos iniciales de explicar la distribución espacial de los animales se habían basado en enfoques como los modelos estocásticos de población de Bartlett y la distribución binomial negativa que podría resultar de los procesos nacimiento-muerte . [27] La explicación novedosa de Taylor se basó en la suposición de un comportamiento migratorio y congregatorio equilibrado de los animales. [1] Su hipótesis fue inicialmente cualitativa, pero a medida que evolucionó se volvió semicuantitativa y fue apoyada por simulaciones. [28] Al proponer que el comportamiento animal era el mecanismo principal detrás de la agrupación de organismos, Taylor parecía haber ignorado su propio informe de agrupación observada con placas del virus de la necrosis del tabaco. [1]
Siguiendo las publicaciones iniciales de Taylor, se propusieron varias hipótesis alternativas para la ley de potencias. Hanski propuso un modelo de paseo aleatorio, modulado por el presunto efecto multiplicativo de la reproducción. [29] El modelo de Hanski predijo que el exponente de la ley de potencia estaría restringido a un rango cercano al valor de 2, lo que parecía inconsistente con muchos valores reportados. [3] [4]
Anderson et al formularon un modelo estocástico simple de nacimiento, muerte, inmigración y emigración que arrojó una función de varianza cuadrática. [30] Como respuesta a este modelo, Taylor argumentó que tal proceso de Markov predeciría que el exponente de la ley de potencia variaría considerablemente entre las observaciones repetidas, y que tal variabilidad no se había observado. [31]
Sin embargo, en esta época surgieron preocupaciones con respecto a la variabilidad estadística con las mediciones del exponente de la ley de potencia y la posibilidad de que las observaciones de una ley de potencia reflejen más artefactos matemáticos que un proceso mecanicista. [32] Taylor et al respondieron con una publicación adicional de extensas observaciones que, según él, refutaban las preocupaciones de Downing. [33]
Además, Thórarinsson publicó una crítica detallada del modelo de comportamiento animal, señalando que Taylor había modificado su modelo varias veces en respuesta a las preocupaciones planteadas, y que algunas de estas modificaciones eran inconsistentes con versiones anteriores. [34] Thórarinsson también afirmó que Taylor confundió el número de animales con la densidad y que Taylor había interpretado incorrectamente las simulaciones que se habían construido para demostrar sus modelos como validación.
Kemp revisó varios modelos estocásticos discretos basados en las distribuciones binomial negativa, tipo A de Neyman y Polya-Aeppli que, con un ajuste adecuado de los parámetros, podrían producir una varianza de la ley de potencia media. [35] Kemp, sin embargo, no explicó las parametrizaciones de sus modelos en términos mecanicistas. Siguieron otros modelos relativamente abstractos para la ley de Taylor. [6] [36]
Se plantearon varias preocupaciones estadísticas adicionales con respecto a la ley de Taylor, basadas en la dificultad con los datos reales para distinguir entre la ley de Taylor y otras funciones de varianza para significar, así como la inexactitud de los métodos de regresión estándar. [37] [38]
Los informes también comenzaron a acumularse donde la ley de Taylor se había aplicado a datos de series de tiempo. Perry mostró cómo las simulaciones basadas en la teoría del caos podían producir la ley de Taylor, y Kilpatrick e Ives proporcionaron simulaciones que mostraban cómo las interacciones entre diferentes especies podrían conducir a la ley de Taylor. [39] [40]
Aparecieron otros informes en los que la ley de Taylor se había aplicado a la distribución espacial de plantas [41] y poblaciones bacterianas [42]. Al igual que con las observaciones del virus de la necrosis del tabaco mencionadas anteriormente, estas observaciones no eran consistentes con el modelo de comportamiento animal de Taylor.
Anteriormente se mencionó que la varianza de la función de potencia media se había aplicado a sistemas no ecológicos, bajo la rúbrica de la ley de Taylor. Para proporcionar una explicación más general del rango de manifestaciones de la ley de potencias, se propuso una hipótesis basada en las distribuciones Tweedie , [43] una familia de modelos probabilísticos que expresan una relación de función de potencia inherente entre la varianza y la media. [11] [13] [44] Los detalles sobre esta hipótesis se proporcionarán en la siguiente sección.
Cohen et al propusieron una explicación alternativa adicional para la ley de Taylor , derivada del modelo de crecimiento de Lewontin Cohen . [45] Este modelo se utilizó con éxito para describir la variabilidad espacial y temporal de las poblaciones forestales.
En otro artículo de Cohen y Xu, el muestreo aleatorio en bloques donde la distribución subyacente está sesgada con los primeros cuatro momentos finitos da lugar a la ley de Taylor. [46] También se derivaron fórmulas aproximadas para los parámetros y sus variaciones. Estas estimaciones se probaron de nuevo con datos del Black Rock Forest y se encontró que estaban en un acuerdo razonable.
Siguiendo las publicaciones iniciales de Taylor, se propusieron varias hipótesis alternativas para la ley de potencias. Hanski propuso un modelo de paseo aleatorio, modulado por el presunto efecto multiplicativo de la reproducción. [29] El modelo de Hanski predijo que el exponente de la ley de potencia estaría restringido a un rango cercano al valor de 2, lo que parecía inconsistente con muchos valores reportados. [3] [4] Anderson et al formularon un modelo estocástico simple de nacimiento, muerte, inmigración y emigración que produjo una función de varianza cuadrática. [30] El modelo de crecimiento de Lewontin Cohen . [45] es otra explicación propuesta. Se planteó la posibilidad de que las observaciones de una ley de potencia reflejaran más un artefacto matemático que un proceso mecanicista. [32] Sin embargo, la variación en los exponentes de la Ley de Taylor aplicada a poblaciones ecológicas no puede explicarse o predecirse basándose únicamente en bases estadísticas. [47] La investigación ha demostrado que la variación dentro de los exponentes de la ley de Taylor para la comunidad de peces del Mar del Norte varía con el entorno externo, lo que sugiere que los procesos ecológicos determinan al menos parcialmente la forma de la ley de Taylor. [48]
Física
En la literatura de física, la ley de Taylor se conoce como escala de fluctuación . Eisler et al , en un intento adicional de encontrar una explicación general para la escala de fluctuación, propusieron un proceso que llamaron inhomogeneidad de impacto en el que los eventos frecuentes se asocian con impactos más grandes. [49] En el apéndice B del artículo de Eisler, sin embargo, los autores señalaron que las ecuaciones para la inhomogeneidad de impacto produjeron las mismas relaciones matemáticas que se encontraron con las distribuciones Tweedie.
Otro grupo de físicos, Fronczak y Fronczak, derivó la ley de potencia de Taylor para la escala de fluctuación a partir de los principios de la física estadística de equilibrio y no equilibrio . [50] Su derivación se basó en supuestos de cantidades físicas como energía libre y un campo externo que provocó la agrupación de organismos biológicos. Sin embargo, aún no se ha logrado la demostración experimental directa de estas cantidades físicas postuladas en relación con la agregación de animales o plantas. Poco después, se presentó un análisis del modelo de Fronczak y Fronczak que mostró que sus ecuaciones conducían directamente a las distribuciones Tweedie, un hallazgo que sugirió que Fronczak y Fronczak posiblemente habían proporcionado una derivación de entropía máxima de estas distribuciones. [14]
Matemáticas
Se ha demostrado que la ley de Taylor es válida para números primos que no exceden un número real dado. [51] Se ha demostrado que este resultado es válido para los primeros 11 millones de primos. Si la conjetura de los primos gemelos de Hardy-Littlewood es cierta, entonces esta ley también es válida para los primos gemelos.
Denominación de la ley
La ley en sí lleva el nombre del ecologista Lionel Roy Taylor (1924-2007). El nombre de ley de Taylor fue acuñado por Southwood en 1966. [2] El nombre original de Taylor para esta relación era la ley de la media.
La hipótesis Tweedie
Aproximadamente en el momento en que Taylor fundamentó sus observaciones ecológicas, MCK Tweedie , un estadístico y físico médico británico, estaba investigando una familia de modelos probabilísticos que ahora se conocen como distribuciones Tweedie . [52] [53] Como se mencionó anteriormente, estas distribuciones se caracterizan por una varianza para significar la ley de potencia matemáticamente idéntica a la ley de Taylor.
La distribución Tweedie más aplicable a las observaciones ecológicas es la distribución compuesta de Poisson-gamma , que representa la suma de N variables aleatorias independientes e idénticamente distribuidas con una distribución gamma donde N es una variable aleatoria distribuida de acuerdo con una distribución de Poisson. En la forma aditiva, su función generadora acumulativa (CGF) es:
donde κ b ( θ ) es la función acumulativa,
el exponente Tweedie
s es la variable de función generadora, y θ y λ son los parámetros canónicos y de índice, respectivamente. [43]
Estos dos últimos parámetros son análogos a los parámetros de escala y forma utilizados en la teoría de la probabilidad. Los acumulados de esta distribución se pueden determinar mediante diferenciaciones sucesivas del CGF y luego sustituyendo s = 0 en las ecuaciones resultantes. El primer y segundo acumulados son la media y la varianza, respectivamente, y por lo tanto, el compuesto Poisson-gamma CGF produce la ley de Taylor con la constante de proporcionalidad.
La función de distribución acumulativa compuesta de Poisson-gamma se ha verificado para datos ecológicos limitados mediante la comparación de la función de distribución teórica con la función de distribución empírica. [44] Varios otros sistemas, que demuestran la varianza de las leyes de potencia media relacionadas con la ley de Taylor, se han probado de manera similar para la distribución compuesta de Poisson-gamma. [12] [13] [14] [16]
La principal justificación de la hipótesis Tweedie reside en las propiedades de convergencia matemática de las distribuciones Tweedie. [13] El teorema de convergencia Tweedie requiere que las distribuciones Tweedie actúen como focos de convergencia para una amplia gama de procesos estadísticos. [54] Como consecuencia de este teorema de convergencia, los procesos basados en la suma de múltiples pequeños saltos independientes tenderán a expresar la ley de Taylor y obedecerán una distribución Tweedie. Un teorema de límite para variables independientes e idénticamente distribuidas, como con el teorema de convergencia Tweedie, podría considerarse fundamental en relación con los modelos de población ad hoc , o modelos propuestos sobre la base de simulación o aproximación. [14] [16]
Esta hipótesis sigue siendo controvertida; Los enfoques dinámicos de población más convencionales parecen preferidos entre los ecologistas, a pesar de que la distribución de Poisson del compuesto Tweedie se puede aplicar directamente a los mecanismos dinámicos de población. [6]
Una dificultad con la hipótesis Tweedie es que el valor de b no varía entre 0 y 1. Los valores de b <1 son raros pero se han informado. [55]
Formulación matemática
En simbolos
donde S i 2 es la varianza de la densidad de la i ésima muestra, m i es la media de densidad de la i ésima muestra y un y b son constantes.
En forma logarítmica
Invarianza de escala
La ley de Taylor es invariante en escala. Si la unidad de medida se cambia por un factor constante c , el exponente ( b ) permanece sin cambios.
Para ver esto, sea y = cx . Luego
La ley de Taylor expresada en la variable original ( x ) es
y en la variable reescalada ( y ) es
Se ha demostrado que la ley de Taylor es la única relación entre la media y la varianza que es invariante de escala. [56]
Extensiones y refinamientos
Rayner ha propuesto un refinamiento en la estimación de la pendiente b . [57]
donde r es el coeficiente de Pearson momento correlación entre log ( s 2 ) y el registro de m , f es la relación de varianzas de las muestras en log ( s 2 ) y log m y φ es la relación de los errores en el registro ( s 2 ) y el registro m .
La regresión ordinaria de mínimos cuadrados asume que φ = ∞. Esto tiende a subestimar el valor de b porque las estimaciones tanto de log ( s 2 ) como de log m están sujetas a error.
Ferris et al han propuesto una extensión de la ley de Taylor cuando se toman varias muestras [58].
donde s 2 y m son la varianza y significan respectivamente, b , c y d son constantes y n es el número de muestras tomadas. Hasta la fecha, no se ha verificado que esta extensión propuesta sea tan aplicable como la versión original de la ley de Taylor.
Pequeñas muestras
Hanski ha propuesto una extensión de esta ley para muestras pequeñas. [59] Para muestras pequeñas, la variación de Poisson ( P ), la variación que se puede atribuir a la variación de muestreo, puede ser significativa. Sea S la varianza total y sea V la varianza biológica (real). Luego
Suponiendo la validez de la ley de Taylor, tenemos
Como en la distribución de Poisson la media es igual a la varianza, tenemos
Esto nos da
Esto se parece mucho a la sugerencia original de Barlett.
Interpretación
Los valores de pendiente ( b ) significativamente> 1 indican aglutinación de los organismos.
En los datos distribuidos por Poisson , b = 1. [31] Si la población sigue una distribución lognormal o gamma , entonces b = 2.
Para las poblaciones que experimentan una variabilidad ambiental per cápita constante, la regresión de log (varianza) versus log (abundancia media) debe tener una línea con b = 2.
La mayoría de las poblaciones que se han estudiado tienen b <2 (generalmente 1,5-1,6) pero se han informado valores de 2. [60] Ocasionalmente se notificaron casos con b > 2. [3] Los valores de b por debajo de 1 son poco frecuentes, pero también se han informado ( b = 0,93). [55]
Se ha sugerido que el exponente de la ley ( b ) es proporcional a la asimetría de la distribución subyacente. [61] Esta propuesta ha sido criticada: parece indicarse un trabajo adicional. [62] [63]
Notas
El origen de la pendiente ( b ) en esta regresión no está claro. Se han propuesto dos hipótesis para explicarlo. Uno sugiere que b surge del comportamiento de la especie y es una constante para esa especie. La alternativa sugiere que depende de la población muestreada. A pesar del considerable número de estudios realizados sobre esta ley (más de 1000), esta cuestión permanece abierta.
Se sabe que tanto a como b están sujetos a cambios debido a la dispersión específica por edad, la mortalidad y el tamaño de la unidad de muestra. [64]
Esta ley puede no ser adecuada si los valores son pequeños. Por esta razón, Hanski ha propuesto una extensión de la ley de Taylor que mejora el ajuste de la ley de Taylor a bajas densidades. [59]
Extensión al muestreo por conglomerados de datos binarios
Se ha propuesto una forma de la ley de Taylor aplicable a los datos binarios en grupos (eq, cuadrantes). [65] En una distribución binomial, la varianza teórica es
donde (var bin ) es la varianza binomial, n es el tamaño de la muestra por conglomerado yp es la proporción de individuos con un rasgo (como una enfermedad), una estimación de la probabilidad de que un individuo tenga ese rasgo.
Una dificultad con los datos binarios es que la media y la varianza, en general, tienen una relación particular: a medida que la proporción media de individuos infectados aumenta por encima de 0,5, la varianza disminuye.
Ahora se sabe que la varianza observada (var obs ) cambia como una función de potencia de (var bin ). [sesenta y cinco]
Hughes y Madden observaron que si la distribución es de Poisson, la media y la varianza son iguales. [65] Como claramente este no es el caso en muchas muestras de proporciones observadas, en su lugar asumieron una distribución binomial. Reemplazaron la media en la ley de Taylor con la varianza binomial y luego compararon esta varianza teórica con la varianza observada. Para los datos binomiales, mostraron que var obs = var bin con sobredispersión, var obs > var bin .
En símbolos, la modificación de Hughes y Madden a la ley de Tyalor fue
En forma logarítmica, esta relación es
Esta última versión se conoce como ley de potencia binaria.
Un paso clave en la derivación de la ley de potencia binaria por Hughes y Madden fue la observación realizada por Patil y Stiteler [66] de que la relación entre varianza y media utilizada para evaluar la dispersión excesiva de recuentos ilimitados en una sola muestra es en realidad la relación de dos varianzas: la varianza observada y la varianza teórica para una distribución aleatoria. Para conteos ilimitados, la distribución aleatoria es Poisson. Por lo tanto, la ley de potencia de Taylor para una colección de muestras se puede considerar como una relación entre la varianza observada y la varianza de Poisson.
En términos más generales, Madden y Hughes [65] consideraron la ley de potencia como la relación entre dos varianzas, la varianza observada y la varianza teórica para una distribución aleatoria. Con datos binarios, la distribución aleatoria es el binomio (no el de Poisson). Así, la ley de potencia de Taylor y la ley de potencia binaria son dos casos especiales de relaciones generales de potencia-ley para la heterogeneidad.
Cuando tanto a como b son iguales a 1, se sugiere un patrón espacial aleatorio a pequeña escala y se describe mejor mediante la distribución binomial. Cuando b = 1 y a > 1, hay sobredispersión (agregación a pequeña escala). Cuando b es> 1, el grado de agregación varía con p . Turechek et al [67] han demostrado que la ley de potencia binaria describe numerosos conjuntos de datos en patología vegetal. En general, b es mayor que 1 y menor que 2.
El ajuste de esta ley se ha probado mediante simulaciones. [68] Estos resultados sugieren que en lugar de una sola línea de regresión para el conjunto de datos, una regresión segmentaria puede ser un mejor modelo para distribuciones genuinamente aleatorias. Sin embargo, esta segmentación solo ocurre para distancias de dispersión de muy corto alcance y tamaños de cuadrante grandes. [67] La ruptura de la línea se produce sólo en p muy cerca de 0.
Se ha propuesto una extensión de esta ley. [69] La forma original de esta ley es simétrica pero puede extenderse a una forma asimétrica. [69] Utilizando simulaciones, la forma simétrica se ajusta a los datos cuando existe una correlación positiva del estado de enfermedad de los vecinos. Cuando existe una correlación negativa entre la probabilidad de que los vecinos estén infectados, la versión asimétrica se ajusta mejor a los datos.
Aplicaciones
Debido a la omnipresencia de la ley de Taylor en biología, ha encontrado una variedad de usos, algunos de los cuales se enumeran aquí.
Recomendaciones de uso
Se ha recomendado basándose en estudios de simulación [70] en aplicaciones que prueban la validez de la ley de Taylor en una muestra de datos que:
(1) el número total de organismos estudiados sea> 15
(2) el número mínimo de grupos de organismos estudiados sea> 5
(3) la densidad de los organismos debe variar en al menos 2 órdenes de magnitud dentro de la muestra
Poblaciones distribuidas aleatoriamente
Se asume comúnmente (al menos inicialmente) que una población se distribuye aleatoriamente en el medio ambiente. Si una población se distribuye aleatoriamente, la media ( m ) y la varianza ( s 2 ) de la población son iguales y la proporción de muestras que contienen al menos un individuo ( p ) es
Cuando se compara una especie con un patrón de agrupamiento con una que se distribuye al azar con densidades totales iguales, p será menor para las especies que tienen el patrón de distribución de agrupamiento. A la inversa, cuando se comparan especies distribuidas uniformemente y aleatoriamente, pero con densidades generales iguales, p será mayor para la población distribuida aleatoriamente. Esto se puede probar gráficamente trazando p contra m .
Wilson y Room desarrollaron un modelo binomial que incorpora la ley de Taylor. [71] La relación básica es
donde se lleva el tronco a la base e .
Al incorporar la ley de Taylor, esta relación se convierte en
Estimador de parámetros de dispersión
El parámetro de dispersión común ( k ) de la distribución binomial negativa es
donde m es la media de la muestra y s 2 es la varianza. [72] Si 1 / k es> 0, la población se considera agregada; 1 / k = 0 ( s 2 = m ) la población se considera distribuida aleatoriamente (Poisson) y si 1 / k es <0, la población se considera distribuida uniformemente. No se pueden hacer comentarios sobre la distribución si k = 0.
Wilson y Room suponiendo que la ley de Taylor aplicada a la población dio un estimador alternativo para k : [71]
donde un y b son las constantes de la ley de Taylor.
Jones [73] utilizando la estimación de k anterior junto con la relación que Wilson y Room desarrollaron para la probabilidad de encontrar una muestra que tenga al menos un individuo [71]
derivó un estimador de la probabilidad de que una muestra contenga x individuos por unidad de muestreo. La fórmula de Jones es
donde P ( x ) es la probabilidad de encontrar x individuos por unidad de muestreo, k se estima a partir de la ecuación de Wilon y Room ym es la media muestral. La probabilidad de encontrar cero individuos P (0) se estima con la distribución binomial negativa
Jones también da intervalos de confianza para estas probabilidades.
donde CI es el intervalo de confianza, t es el valor crítico tomado de la distribución t y N es el tamaño total de la muestra.
Familia de distribuciones Katz
Katz propuso una familia de distribuciones (la familia Katz ) con 2 parámetros ( w 1 , w 2 ). [74] Esta familia de distribuciones incluye las distribuciones de Bernoulli , Geométrica , Pascal y Poisson como casos especiales. La media y la varianza de una distribución de Katz son
donde m es la media y s 2 es la varianza de la muestra. Los parámetros pueden estimarse por el método de momentos a partir de los cuales tenemos
Para una distribución de Poisson w 2 = 0 yw 1 = λ el parámetro de la distribución de Possion. Esta familia de distribuciones también se conoce a veces como la familia de distribuciones Panjer.
La familia Katz está relacionada con la familia de distribuciones Sundt-Jewel: [75]
Los únicos miembros de la familia Sundt-Jewel son las distribuciones de Poisson, binomial, binomial negativo (Pascal), binomial negativo truncado extendido y series logarítmicas .
Si la población obedece a una distribución de Katz, entonces los coeficientes de la ley de Taylor son
Katz también introdujo una prueba estadística [74].
donde J n es el estadístico de prueba, s 2 es la varianza de la muestra, m es la media de la muestra y n es el tamaño de la muestra. J n tiene una distribución asintóticamente normal con una media cero y una varianza unitaria. Si la muestra tiene una distribución de Poisson J n = 0; los valores de J n <0 y> 0 indican una dispersión insuficiente y excesiva, respectivamente. La sobredispersión a menudo es causada por heterogeneidad latente: la presencia de múltiples subpoblaciones dentro de la población de la que se extrae la muestra.
Esta estadística está relacionada con la estadística de Neyman-Scott
que se sabe que es asintóticamente normal y el estadístico condicional chi-cuadrado (prueba de dispersión de Poisson)
que se sabe que tiene una distribución chi cuadrado asintótica con n - 1 grados de libertad cuando la población tiene una distribución de Poisson.
Si la población obedece a la ley de Taylor, entonces
Tiempo de extinción
Si se supone que se aplica la ley de Taylor, es posible determinar el tiempo medio hasta la extinción local. Este modelo asume un simple paseo aleatorio en el tiempo y la ausencia de regulación de la población dependiente de la densidad. [76]
Dejar donde N t +1 y N t son los tamaños de la población en el tiempo t + 1 yt respectivamente y r es el parámetro igual al aumento anual (disminución de la población). Luego
donde var ( r ) es la varianza de r .
Sea K una medida de la abundancia de especies (organismos por unidad de área). Luego
donde T E es el tiempo medio hasta la extinción local.
La probabilidad de extinción en el tiempo t es
Tamaño mínimo de población requerido para evitar la extinción
Si una población tiene una distribución logarítmica normal , la media armónica del tamaño de la población ( H ) está relacionada con la media aritmética ( m ) [77]
Dado que H debe ser> 0 para que la población persista, entonces reorganizando tenemos
es el tamaño mínimo de población para que la especie persista.
El supuesto de una distribución logarítmica normal parece aplicarse a aproximadamente la mitad de una muestra de 544 especies. [78] sugiriendo que es al menos una suposición plausible.
Estimadores de tamaño muestral
El grado de precisión ( D ) se define como s / m donde s es la desviación estándar y m es la media. El grado de precisión se conoce como coeficiente de variación en otros contextos. En la investigación ecológica, se recomienda que D esté en el rango de 10 a 25%. [79] El grado de precisión deseado es importante para estimar el tamaño de muestra requerido cuando un investigador desea probar si la ley de Taylor se aplica a los datos. El tamaño de muestra requerido se ha estimado para una serie de distribuciones simples, pero cuando la distribución de la población no se conoce o no se puede suponer, pueden ser necesarias fórmulas más complejas para determinar el tamaño de muestra requerido.
Cuando la población tiene una distribución de Poisson, el tamaño de muestra ( n ) necesario es
donde t es el nivel crítico de la distribución t para el error de tipo 1 con los grados de libertad con los que se calculó la media ( m ).
Si la población se distribuye como una distribución binomial negativa, entonces el tamaño de muestra requerido es
donde k es el parámetro de la distribución binomial negativa.
También se ha propuesto un estimador del tamaño de la muestra más general [80].
donde ayb se derivan de la ley de Taylor.
Southwood ha propuesto una alternativa [81].
donde n es el tamaño requerido de la muestra, una y b son los coeficientes de la ley de Taylor y D es el grado de precisión deseado.
Karandinos propuso dos estimadores similares para n . [82] El primero fue modificado por Ruesink para incorporar la ley de Taylor. [83]
donde d es la razón de la mitad del intervalo de confianza ( IC ) deseado a la media. En simbolos
El segundo estimador se utiliza en el muestreo binomial (presencia-ausencia). El tamaño de muestra deseado ( n ) es
donde d p es la razón de la mitad del intervalo de confianza deseado a la proporción de unidades de muestra con individuos, p es la proporción de muestras que contienen individuos yq = 1 - p . En simbolos
Para el muestreo binario (presencia / ausencia), Schulthess et al modificaron la ecuación de Karandinos
donde N es el tamaño de muestra requerido, p es la proporción de unidades que contienen los organismos de interés, t es el nivel de significancia elegido y D ip es un parámetro derivado de la ley de Taylor. [84]
Muestreo secuencial
El análisis secuencial es un método de análisis estadístico en el que el tamaño de la muestra no se fija de antemano. En su lugar, las muestras se toman de acuerdo con una regla de parada predefinida . La ley de Taylor se ha utilizado para derivar una serie de reglas de parada.
Green elaboró en 1970 una fórmula para la precisión fija en el muestreo en serie para probar la ley de Taylor. [85]
donde T es el total de la muestra acumulada, D es el nivel de precisión, n es el tamaño de la muestra y un y b se obtiene a partir de la ley de Taylor.
Como ayuda para el control de plagas, Wilson et al desarrollaron una prueba que incorporó un nivel de umbral donde se deben tomar medidas. [86] El tamaño de muestra requerido es
donde un y b son los coeficientes de Taylor, || es el valor absoluto , m es la media de la muestra, T es el nivel de umbral y t es el nivel crítico de la distribución t. Los autores también proporcionaron una prueba similar para el muestreo binomial (presencia-ausencia)
donde p es la probabilidad de encontrar una muestra con plagas presentes y q = 1 - p .
Green obtuvo otra fórmula de muestreo para el muestreo secuencial basada en la ley de Taylor [87]
donde D es el grado de precisión, una y b son coeficientes de abogados de Taylor, n es el tamaño de la muestra y T es el número total de individuos de la muestra.
Serra et al han propuesto una regla de detención basada en la ley de Taylor. [88]
donde un y b son los parámetros de la ley de Taylor, D es el nivel de precisión deseado y T n es el tamaño total de la muestra.
Serra et al también propusieron una segunda regla de parada basada en la regresión de Iwoa
donde α y β son los parámetros de la línea de regresión, D es el nivel de precisión deseado y T n es el tamaño total de la muestra.
Los autores recomendaron que D se establezca en 0,1 para estudios de dinámica de poblaciones y D = 0,25 para control de plagas.
Análisis relacionados
Se considera una buena práctica estimar al menos un análisis adicional de agregación (que no sea la ley de Taylor) porque el uso de un solo índice puede inducir a error. [89] Aunque se han propuesto varios otros métodos para detectar relaciones entre la varianza y la media en muestras biológicas, hasta la fecha ninguno ha alcanzado la popularidad de la ley de Taylor. El análisis más popular utilizado junto con la ley de Taylor es probablemente la prueba de regresión de Patchiness de Iowa, pero todos los métodos enumerados aquí se han utilizado en la literatura.
Modelo de Barlett-Iawo
Barlett en 1936 [22] y posteriormente Iawo de forma independiente en 1968 [90] propusieron una relación alternativa entre la varianza y la media. En simbolos
donde s es la varianza en la i- ésima muestra y m i es la media de la i- ésima muestra
Cuando la población sigue una distribución binomial negativa , a = 1 yb = k (el exponente de la distribución binomial negativa).
Esta formulación alternativa no se ha encontrado tan bien ajustada como la ley de Taylor en la mayoría de los estudios.
Modelo nachman
Nachman propuso una relación entre la densidad media y la proporción de muestras con conteos cero: [91]
donde p 0 es la proporción de la muestra con cero recuentos, m es la densidad media, a es un parámetro de escala y b es un parámetro de dispersión. Si a = b = 0 la distribución es aleatoria. Esta relación generalmente se prueba en su forma logarítmica.
Allsop utilizó esta relación junto con la ley de Taylor para derivar una expresión para la proporción de unidades infestadas en una muestra [92].
dónde
donde D 2 es el grado de precisión deseado, z α / 2 es la α superior / 2 de la distribución normal, un y b son coeficientes de abogados de Taylor, c y d son los coeficientes Nachman, n es el tamaño de la muestra y N es el número de unidades infestadas.
Ecuación de Kono-Sugino
El muestreo binario se usa con frecuencia en ecología. En 1958, Kono y Sugino derivaron una ecuación que relaciona la proporción de muestras sin individuos con la densidad media de las muestras. [93]
donde p 0 es la proporción de la muestra con ningún individuo, m es la densidad media de la muestra, una y b son constantes. Al igual que la ley de Taylor, se ha encontrado que esta ecuación se ajusta a una variedad de poblaciones, incluidas las que obedecen la ley de Taylor. A diferencia de la distribución binomial negativa, este modelo es independiente de la densidad media.
La derivación de esta ecuación es sencilla. Sea p 0 la proporción de unidades vacías y suponga que se distribuyen exponencialmente. Luego
Tomando registros dos veces y reordenando, obtenemos la ecuación anterior. Este modelo es el mismo que el propuesto por Nachman.
La ventaja de este modelo es que no requiere contar a los individuos sino su presencia o ausencia. Contar individuos puede no ser posible en muchos casos, particularmente cuando los insectos son objeto de estudio.
- Nota
La ecuación se derivó al examinar la relación entre la proporción P de una serie de arrozales infestados y la gravedad media de la infestación m . El modelo estudiado fue
donde un y b son constantes empíricas. Basándose en este modelo las constantes de un y b se derivaron y una mesa prepararon relacionando los valores de P y m
- Usos
Las estimaciones pronosticadas de m a partir de esta ecuación están sujetas a sesgos [94] y se recomienda que en su lugar se utilice la media ajustada ( m a ) [95].
donde var es la varianza de la unidad muestral, significa m i y m es la media general.
Un ajuste alternativo a las estimaciones medias es [95]
donde MSE es el error cuadrático medio de la regresión.
Este modelo también se puede utilizar para estimar líneas de parada para muestreo enumerativo (secuencial). La varianza de las medias estimadas es [96]
dónde
donde MSE es el error cuadrático medio de la regresión, α y β son la constante y la pendiente de la regresión respectivamente, s β 2 es la varianza de la pendiente de la regresión, N es el número de puntos en la regresión, n es el número de unidades de muestra yp es el valor medio de p 0 en la regresión. Los parámetros a y b se estimaron a partir de la ley de Taylor:
Ecuación de Hughes-Madden
Hughes y Madden han propuesto probar una relación similar aplicable a las observaciones binarias en conglomerados, donde cada conglomerado contiene de 0 an individuos. [sesenta y cinco]
donde una , b y c son constantes, var obs es la varianza observada, y p es la proporción de individuos con un rasgo (como la enfermedad), una estimación de la probabilidad de un individuo con un rasgo. En forma logarítmica, esta relación es
En la mayoría de los casos, se supone que b = c , lo que conduce a un modelo simple
Esta relación ha sido sometida a pruebas menos extensas que la ley de Taylor. Sin embargo, ha descrito con precisión más de 100 conjuntos de datos y no hay ejemplos publicados que indiquen que no funciona. [67]
Una variante de esta ecuación fue propuesta por Shiyomi et al. ( [97] ) quien sugirió probar la regresión
donde var obs es la varianza, un y b son las constantes de la regresión, n aquí es el tamaño de la muestra (no muestra por cluster) y p es la probabilidad de una muestra que contiene al menos un individuo.
Modelo de distribución binomial negativa
También se ha propuesto un modelo binomial negativo. [98] El parámetro de dispersión ( k ) usando el método de momentos es m 2 / ( s 2 - m ) y p i es la proporción de muestras con conteos> 0. El s 2 usado en el cálculo de k son los valores predichos por la ley de Taylor. p i se traza contra 1 - ( k ( k + m ) −1 ) k y el ajuste de los datos se inspecciona visualmente.
Perry y Taylor han propuesto un estimador alternativo de k basado en la ley de Taylor. [99]
Se puede hacer una mejor estimación del parámetro de dispersión con el método de máxima verosimilitud . Para el binomio negativo se puede estimar a partir de la ecuación [72]
donde A x es el número total de muestras con más de x individuos, N es el número total de individuos, x es el número de individuos en una muestra, m es el número medio de individuos por muestra yk es el exponente. El valor de k debe estimarse numéricamente.
La bondad de ajuste de este modelo se puede probar de varias formas, incluido el uso de la prueba de chi cuadrado. Como estos pueden estar sesgados por muestras pequeñas, una alternativa es el estadístico U , la diferencia entre la varianza esperada bajo la distribución binomial negativa y la de la muestra. La varianza esperada de esta distribución es m + m 2 / k y
donde s 2 es la varianza muestral, m es la media muestral y k es el parámetro binomial negativo.
La varianza de U es [72]
donde p = m / k , q = 1 + p , R = p / q y N es el número total de individuos en la muestra. El valor esperado de U es 0. Para tamaños de muestra grandes, U se distribuye normalmente.
Nota: El binomio negativo es en realidad una familia de distribuciones definida por la relación de la media con la varianza.
donde un y p son constantes. Cuando a = 0 esto define la distribución de Poisson. Con p = 1 yp = 2, la distribución se conoce como distribución NB1 y NB2 respectivamente.
Este modelo es una versión del propuesto anteriormente por Barlett.
Pruebas para un parámetro de dispersión común
El parámetro de dispersión ( k ) [72] es
donde m es la media de la muestra y s 2 es la varianza. Si k −1 es> 0, se considera que la población está agregada; k −1 = 0 la población se considera aleatoria; y si k −1 es <0, se considera que la población está distribuida uniformemente.
Southwood ha recomendado hacer una regresión de k frente a la media y una constante [81]
donde k i y m i son el parámetro de dispersión y la media de la i-ésima muestra respectivamente para probar la existencia de un parámetro de dispersión común ( k c ). Un valor de pendiente ( b ) significativamente> 0 indica la dependencia de k de la densidad media.
Elliot propuso un método alternativo, quien sugirió graficar ( s 2 - m ) contra ( m 2 - s 2 / n ). [100] k c es igual a 1 / pendiente de esta regresión.
Coeficiente de Charlier
Este coeficiente ( C ) se define como
Si se puede suponer que la población está distribuida de forma binomial negativa, entonces C = 100 (1 / k ) 0.5 donde k es el parámetro de dispersión de la distribución.
Índice de dispersión de Cole
Este índice ( I c ) se define como [101]
La interpretación habitual de este índice es la siguiente: los valores de I c <1, = 1,> 1 se consideran una distribución uniforme, una distribución aleatoria o una distribución agregada.
Como s 2 = Σ x 2 - (Σx) 2 , el índice también se puede escribir
Si se puede suponer que se cumple la ley de Taylor, entonces
Índices de Lloyd
El índice de hacinamiento medio ( IMC ) de Lloyd es el número promedio de otros puntos contenidos en la unidad de muestra que contiene un punto elegido al azar. [102]
donde m es la media de la muestra y s 2 es la varianza.
El índice de irregularidad de Lloyd ( IP ) [102] es
Es una medida de la intensidad del patrón que no se ve afectada por el adelgazamiento (eliminación aleatoria de puntos). Este índice también fue propuesto por Pielou en 1988 y, a veces, también se lo conoce con este nombre.
Debido a que una estimación de la varianza de IP es extremadamente difícil de estimar a partir de la fórmula en sí, LLyod sugirió ajustar una distribución binomial negativa a los datos. Este método da un parámetro k
Luego
donde SE ( IP ) es el error estándar del índice de agregación, var ( k ) es la varianza del parámetro k y q es el número de cuadrantes en la muestra ..
Si la población obedece a la ley de Taylor, entonces
Prueba de regresión de parches
Iwao propuso una regresión de parches para probar el agrupamiento [103] [104]
Dejar
y i aquí está el índice de hacinamiento medio de Lloyd. [102] Realice una regresión de mínimos cuadrados ordinarios de m i contra y .
En esta regresión, el valor de la pendiente ( b ) es un indicador de agrupamiento: la pendiente = 1 si los datos están distribuidos por Poisson. La constante ( a ) es el número de individuos que comparten una unidad de hábitat a una densidad infinitesimal y puede ser <0, 0 o> 0. Estos valores representan la regularidad, aleatoriedad y agregación de poblaciones en patrones espaciales, respectivamente. Se considera que un valor de a <1 significa que la unidad básica de la distribución es un solo individuo.
Donde la estadística s 2 / m no es constante, se ha recomendado para usar en lugar de retroceder índice de Lloyd en contra de la mañana + bm 2 , donde un y b son constantes. [105]
El tamaño de la muestra ( n ) para un grado dado de precisión ( D ) para esta regresión viene dado por [105]
donde a es la constante en esta regresión, b es la pendiente, m es la media y t es el valor crítico de la distribución t.
Iawo ha propuesto una prueba de muestreo secuencial basada en esta regresión. [106] Los límites superior e inferior de esta prueba se basan en densidades críticas m c donde el control de una plaga requiere que se tomen medidas.
donde N u y N l son los límites superior e inferior respectivamente, a es la constante de la regresión, b es la pendiente e i es el número de muestras.
Kuno ha propuesto una prueba de parada secuencial alternativa también basada en esta regresión. [107]
donde T n es el tamaño total de la muestra, D es el grado de precisión, n es el número de unidades de muestra, a es la constante y b es la pendiente de la regresión, respectivamente.
La prueba de Kuno está sujeta a la condición de que n ≥ ( b - 1) / D 2
Parrella y Jones han propuesto una línea de parada alternativa pero relacionada [108]
donde un y b son los parámetros de la regresión, N es el número máximo de unidades de la muestra y n es el tamaño de la muestra individual.
Índice de dispersión de Morisita
El índice de dispersión de Morisita ( I m ) es la probabilidad escalada de que dos puntos elegidos al azar de toda la población estén en la misma muestra. [109] Los valores más altos indican una distribución más agrupada.
Una formulación alternativa es
donde n es el tamaño total de la muestra, m es la media de la muestra yx son los valores individuales con la suma de toda la muestra. También es igual a
donde IMC es el índice de hacinamiento de Lloyd. [102]
Este índice es relativamente independiente de la densidad de población, pero se ve afectado por el tamaño de la muestra. Los valores> 1 indican aglutinación; los valores <1 indican una uniformidad de distribución y un valor de 1 indica una muestra aleatoria.
Morisita mostró que la estadística [109]
se distribuye como una variable chi cuadrado con n - 1 grados de libertad.
Se ha desarrollado una prueba de significancia alternativa para este índice para muestras grandes. [110]
donde m es la media muestral general, n es el número de unidades muestrales yz es la abscisa de distribución normal . La significancia se prueba comparando el valor de z con los valores de la distribución normal .
Una función para su cálculo está disponible en la estadística lenguaje R . Función R
Tenga en cuenta que no debe confundirse con el índice de superposición de Morisita .
Índice de Morisita estandarizado
Smith-Gill desarrolló una estadística basada en el índice de Morisita que es independiente tanto del tamaño de la muestra como de la densidad de población y está limitada por -1 y +1. Esta estadística se calcula de la siguiente manera [111]
Primero determine el índice de Morisita ( I d ) de la manera habitual. Entonces sea k el número de unidades de las que se muestreó la población. Calcule los dos valores críticos
donde χ 2 es el valor de chi cuadrado para n - 1 grados de libertad en los niveles de confianza del 97,5% y el 2,5%.
A continuación, se calcula el índice estandarizado ( I p ) a partir de una de las fórmulas siguientes.
Cuando yo d ≥ M c > 1
Cuando M c > I d ≥ 1
Cuando 1> I d ≥ M u
Cuando 1> M u > I d
I p varía entre +1 y -1 con intervalos de confianza del 95% de ± 0,5. I p tiene el valor de 0 si el patrón es aleatorio; si el patrón es uniforme, I p <0 y si el patrón muestra agregación, I p > 0.
Índice de agregación espacial de Southwood
El índice de agregación espacial de Southwood ( k ) se define como
donde m es la media de la muestra y m * es el índice de hacinamiento de Lloyd. [81]
Índice de dispersión de Fisher
El índice de dispersión de Fisher [112] [113] es
Este índice se puede utilizar para probar la dispersión excesiva de la población. Se recomienda que en aplicaciones n> 5 [114] y que el total de la muestra dividido por el número de muestras sea> 3. En símbolos
donde x es un valor de muestra individual. La expectativa del índice es igual an y se distribuye como la distribución chi-cuadrado con n - 1 grados de libertad cuando la población tiene una distribución de Poisson. [114] Es igual al parámetro de escala cuando la población obedece a la distribución gamma .
Se puede aplicar tanto a la población en general como a las áreas individuales muestreadas individualmente. El uso de esta prueba en las áreas de muestra individuales también debe incluir el uso de un factor de corrección de Bonferroni.
Si la población obedece a la ley de Taylor, entonces
Índice de tamaño de grupo
El índice de tamaño de los conglomerados ( ICS ) fue creado por David y Moore. [115] Bajo una distribución aleatoria (Poisson), se espera que ICS sea igual a 0. Los valores positivos indican una distribución agrupada; los valores negativos indican una distribución uniforme.
donde s 2 es la varianza y m es la media.
Si la población obedece a la ley de Taylor
El ICS también es igual al estadístico de prueba de Katz dividido por ( n / 2) 1/2 donde n es el tamaño de la muestra. También está relacionado con el estadístico de prueba de Clapham. A veces también se lo denomina índice de agrupamiento.
Índice de Green
El índice de Green ( IG ) es una modificación del índice de tamaño del conglomerado que es independiente de n el número de unidades de muestra. [116]
Este índice es igual a 0 si la distribución es aleatoria, 1 si se agrega al máximo y −1 / ( nm - 1) si es uniforme.
Actualmente no se conoce la distribución del índice de Green, por lo que ha sido difícil diseñar pruebas estadísticas para él.
Si la población obedece a la ley de Taylor
Índice de dispersión binario
El muestreo binario (presencia / ausencia) se utiliza con frecuencia cuando es difícil obtener recuentos precisos. El índice de dispersión ( D ) se utiliza cuando la población de estudio se divide en una serie de muestras iguales (número de unidades = N : número de unidades por muestra = n : tamaño total de la población = n x N ). [117] La varianza teórica de una muestra de una población con una distribución binomial es
donde s 2 es la varianza, n es el número de unidades muestreadas y p es la proporción media de unidades de muestreo con al menos un individuo presente. El índice de dispersión ( D ) se define como la relación entre la varianza observada y la varianza esperada. En simbolos
donde var obs es la varianza observada y var bin es la varianza esperada. La varianza esperada se calcula con la media general de la población. Se considera que los valores de D > 1 sugieren agregación. D ( n - 1) se distribuye como la variable chi cuadrado con n - 1 grados de libertad donde n es el número de unidades muestreadas.
Una prueba alternativa es la prueba C. [118]
donde D es el índice de dispersión, n es el número de unidades por muestra y N es el número de muestras. C se distribuye normalmente. Un valor estadísticamente significativo de C indica una dispersión excesiva de la población.
D también está relacionada con la correlación intraclase ( ρ ) que se define como [119]
donde T es el número de organismos por muestra, p es la probabilidad de que el organismo tenga la propiedad buscada (enfermo, libre de plagas, etc. ) y x i es el número de organismos en la i- ésima unidad con esta propiedad. T debe ser el mismo para todas las unidades muestreadas. En este caso con n constante
Si los datos se pueden ajustar con una distribución binomial beta, entonces [119]
donde θ es el parámetro de la distribución. [118]
Densidad crítica de agregación de población de Ma
Ma ha propuesto un parámetro ( m 0 ), la densidad crítica de agregación de población, para relacionar la densidad de población con la ley de Taylor. [120]
Estadísticas relacionadas
Se conocen varias pruebas estadísticas que pueden ser útiles en aplicaciones.
estadística de de Oliveria
Una estadística relacionada sugerida por de Oliveria [121] es la diferencia entre la varianza y la media. [122] Si la población está distribuida por Poisson, entonces
donde t es el parámetro de Poisson, s 2 es la varianza, m es la media y n es el tamaño de la muestra. El valor esperado de s 2 - m es cero. Esta estadística se distribuye normalmente. [123]
Si el parámetro de Poisson en esta ecuación se estima poniendo t = m , después de una pequeña manipulación, esta estadística se puede escribir
Esto es casi idéntico al estadístico de Katz con ( n - 1) reemplazando n . Nuevamente, O T se distribuye normalmente con media 0 y varianza unitaria para n grande . Esta estadística es la misma que la estadística de Neyman-Scott.
- Nota
De Oliveria sugirió de hecho que la varianza de s 2 - m era (1 - 2 t 1/2 + 3 t ) / n donde t es el parámetro de Poisson. Sugirió que t podría estimarse poniéndolo igual a la media ( m ) de la muestra. Una investigación adicional de Bohning [122] mostró que esta estimación de la varianza era incorrecta. La corrección de Bohning se da en las ecuaciones anteriores.
Prueba de Clapham
En 1936, Clapham propuso usar la relación entre la varianza y la media como una estadística de prueba (la varianza relativa). [124] En símbolos
Para una distribución de posición, esta razón es igual a 1. Para probar las desviaciones de este valor, propuso probar su valor contra la distribución de chi cuadrado con n grados de libertad, donde n es el número de unidades de muestra. La distribución de esta estadística fue estudiada más a fondo por Blackman [125], quien notó que estaba distribuida aproximadamente normalmente con una media de 1 y una varianza ( V θ ) de
Bartlett [126] volvió a analizar la derivación de la varianza, quien la consideró
Para muestras grandes, estas dos fórmulas concuerdan aproximadamente. Esta prueba está relacionada con el estadístico J n de Katz posterior .
Si la población obedece a la ley de Taylor, entonces
- Nota
También se ha publicado un perfeccionamiento de esta prueba [127]. Estos autores señalaron que la prueba original tiende a detectar la sobredispersión a escalas más altas, incluso cuando no estaba presente en los datos. Señalaron que el uso de la distribución multinomial puede ser más apropiado que el uso de una distribución de Poisson para tales datos. La estadística θ se distribuye
donde N es el número de unidades de muestra, n es el número total de muestras examinadas y x i son los valores de los datos individuales.
La expectativa y la varianza de θ son
Para N grande , E ( θ ) es aproximadamente 1 y
Si el número de individuos muestreados ( n ) es grande, esta estimación de la varianza concuerda con las obtenidas anteriormente. Sin embargo, para muestras más pequeñas, estas últimas estimaciones son más precisas y deben utilizarse.
Ver también
- Índice de superposición de Morisita
- Familia exponencial natural
- Patrón de escala de ocupación
- Ecología espacial
- Ley de potencia de Watson
- Alometría masa-densidad
- Alometría de varianza-masa
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