En teoría de números , la función de Mertens se define para todos los enteros positivos n como
donde μ (k) es la función de Möbius . La función lleva el nombre de Franz Mertens . Esta definición se puede extender a números reales positivos de la siguiente manera:
Menos formalmente, es el recuento de números enteros libres de cuadrados hasta x que tienen un número par de factores primos, menos el recuento de los que tienen un número impar.
El primer 143 M ( n ) es: (secuencia A002321 en la OEIS )
M ( n ) | +0 | +1 | +2 | +3 | +4 | +5 | +6 | +7 | +8 | +9 | +10 | +11 |
---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
0+ | 1 | 0 | −1 | −1 | −2 | −1 | −2 | −2 | −2 | −1 | −2 | |
12+ | −2 | −3 | −2 | −1 | −1 | −2 | −2 | −3 | −3 | −2 | −1 | −2 |
24+ | −2 | −2 | −1 | −1 | −1 | −2 | −3 | −4 | −4 | −3 | −2 | −1 |
36+ | −1 | −2 | −1 | 0 | 0 | −1 | −2 | −3 | −3 | −3 | −2 | −3 |
48+ | −3 | −3 | −3 | −2 | −2 | −3 | −3 | −2 | −2 | −1 | 0 | −1 |
60+ | −1 | −2 | −1 | −1 | −1 | 0 | −1 | −2 | −2 | −1 | −2 | −3 |
72+ | −3 | −4 | −3 | −3 | −3 | −2 | −3 | −4 | −4 | −4 | −3 | −4 |
84+ | −4 | −3 | −2 | −1 | −1 | −2 | −2 | −1 | −1 | 0 | 1 | 2 |
96+ | 2 | 1 | 1 | 1 | 1 | 0 | −1 | −2 | −2 | −3 | −2 | −3 |
108+ | −3 | −4 | −5 | −4 | −4 | −5 | −6 | −5 | −5 | −5 | −4 | −3 |
120+ | −3 | −3 | −2 | −1 | −1 | −1 | −1 | −2 | −2 | −1 | −2 | −3 |
132+ | −3 | −2 | −1 | −1 | −1 | −2 | −3 | −4 | −4 | −3 | −2 | −1 |
La función de Mertens crece lentamente en direcciones positivas y negativas tanto en promedio como en valor pico, oscilando de manera aparentemente caótica pasando por cero cuando n tiene los valores
- 2, 39, 40, 58, 65, 93, 101, 145, 149, 150, 159, 160, 163, 164, 166, 214, 231, 232, 235, 236, 238, 254, 329, 331, 332, 333, 353, 355, 356, 358, 362, 363, 364, 366, 393, 401, 403, 404, 405, 407, 408, 413, 414, 419, 420, 422, 423, 424, 425, 427, 428, ... (secuencia A028442 en la OEIS ).
Debido a que la función de Möbius solo toma los valores -1, 0 y +1, la función de Mertens se mueve lentamente y no hay x tal que | M ( x ) | > x . La conjetura de Mertens fue más allá, afirmando que no habría x donde el valor absoluto de la función de Mertens exceda la raíz cuadrada de x . La conjetura de Mertens fue probada falsa en 1985 por Andrew Odlyzko y Herman te Riele . Sin embargo, la hipótesis de Riemann es equivalente a una conjetura más débil sobre el crecimiento de M ( x ), a saber, M ( x ) = O ( x 1/2 + ε ). Dado que los valores altos de M ( x ) crecen al menos tan rápido como, esto pone un límite bastante estricto a su tasa de crecimiento. Aquí, O se refiere a Big O notación .
Se desconoce la verdadera tasa de crecimiento de M ( x ). Una conjetura inédita de Steve Gonek afirma que
Nathan Ng da evidencia probabilística de esta conjetura. [1] En particular, Ng da una prueba condicional de que la función tiene una distribución limitante en . Es decir, para todas las funciones continuas de Lipschitz acotadas en los reales tenemos eso
Representaciones
Como integral
Usando el producto de Euler uno encuentra que
dónde es la función zeta de Riemann y el producto se toma sobre los primos. Luego, usando esta serie de Dirichlet con la fórmula de Perron , se obtiene:
donde c > 1.
Por el contrario, uno tiene la transformada de Mellin
que se mantiene para .
Una curiosa relación dada por el propio Mertens que involucra la segunda función de Chebyshev es
Suponiendo que la función zeta de Riemann no tiene múltiples ceros no triviales, uno tiene la "fórmula exacta" por el teorema del residuo :
Weyl conjeturó que la función de Mertens satisfacía la ecuación diferencial funcional aproximada
donde H ( x ) es la función escalón de Heaviside , B son números de Bernoulli y todas las derivadas con respecto a t se evalúan en t = 0.
También hay una fórmula de rastreo que involucra una suma sobre la función de Möbius y ceros de la función zeta de Riemann en la forma
donde la primera suma en el lado derecho se toma sobre los ceros no triviales de la función zeta de Riemann, y ( g , h ) están relacionados por la transformada de Fourier, de modo que
Como suma de las secuencias de Farey
Otra fórmula para la función de Mertens es
Esta fórmula se utiliza en la demostración del teorema de Franel-Landau . [2]
Como determinante
M ( n ) es el determinante de la matriz Redheffer n × n , una matriz (0,1) en la que a ij es 1 si j es 1 o i divide a j .
Como suma del número de puntos bajo hiperboloides n-dimensionales [ cita requerida ]
Esta formulación que expande la función de Mertens sugiere límites asintóticos obtenidos al considerar el problema del divisor de Piltz que generaliza el problema del divisor de Dirichlet de calcular estimaciones asintóticas para la función sumatoria de la función divisor .
Cálculo
Ninguno de los métodos mencionados anteriormente conduce a algoritmos prácticos para calcular la función de Mertens. Usando métodos de tamiz similares a los usados en el conteo de primos, la función de Mertens se ha calculado para todos los números enteros hasta un rango creciente de x . [3] [4]
Persona | Año | Límite |
Mertens | 1897 | 10 4 |
von Sterneck | 1897 | 1,5 × 10 5 |
von Sterneck | 1901 | 5 × 10 5 |
von Sterneck | 1912 | 5 × 10 6 |
Neubauer | 1963 | 10 8 |
Cohen y vestido | 1979 | 7,8 × 10 9 |
Vestir | 1993 | 10 12 |
Lioen y van de Lune | 1994 | 10 13 |
Kotnik y van de Lune | 2003 | 10 14 |
Hurst | 2016 | 10 16 |
La función de Mertens para todos los valores enteros hasta x puede calcularse en tiempo O (x log log x) . Los algoritmos basados en combinaciones pueden calcular valores aislados de M (x) en O (x 2/3 (log log x) 1/3 ) tiempo, y también se conocen métodos no combinatorios más rápidos. [5]
Consulte OEIS : A084237 para conocer los valores de M ( x ) a potencias de 10.
Límites superiores conocidos
Ng señala que la hipótesis de Riemann (RH) es equivalente a
por alguna constante positiva . Otros límites superiores han sido obtenidos por Maier, Montgomery y Soundarajan asumiendo la RH incluyendo
Other explicit upper bounds are given by Kotnik as
Ver también
Notas
- ^ Ng
- ^ Edwards, Ch. 12.2
- ^ Kotnik, Tadej; van de Lune, Jan (November 2003). "Further systematic computations on the summatory function of the Möbius function". MAS-R0313.
- ^ Hurst, Greg (2016). "Computations of the Mertens Function and Improved Bounds on the Mertens Conjecture". arXiv:1610.08551 [math.NT].
- ^ Rivat, Joöl; Deléglise, Marc (1996). "Computing the summation of the Möbius function". Experimental Mathematics. 5 (4): 291–295. ISSN 1944-950X.
Referencias
- Edwards, Harold (1974). Riemann's Zeta Function. Mineola, New York: Dover. ISBN 0-486-41740-9.
- Mertens, F. (1897). ""Über eine zahlentheoretische Funktion", Akademie Wissenschaftlicher Wien Mathematik-Naturlich". Kleine Sitzungsber, IIa. 106: 761–830.
- Odlyzko, A. M.; te Riele, Herman (1985). "Disproof of the Mertens Conjecture" (PDF). Journal für die reine und angewandte Mathematik. 357: 138–160.
- Weisstein, Eric W. "Mertens function". MathWorld.
- Sloane, N. J. A. (ed.). "Sequence A002321 (Mertens's function)". The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences. OEIS Foundation.
- Deléglise, M. and Rivat, J. "Computing the Summation of the Möbius Function." Experiment. Math. 5, 291-295, 1996. https://projecteuclid.org/euclid.em/1047565447
- Hurst, Greg (2016). "Computations of the Mertens Function and Improved Bounds on the Mertens Conjecture". arXiv:1610.08551 [math.NT].
- Nathan Ng, "The distribution of the summatory function of the Möbius function", Proc. London Math. Soc. (3) 89 (2004) 361-389. http://www.cs.uleth.ca/~nathanng/RESEARCH/mobius2b.pdf