Ecuación de Taylor-Goldstein

La ecuación de Taylor-Goldstein es una ecuación diferencial ordinaria utilizada en los campos de la dinámica de fluidos geofísicos y, más generalmente, en la dinámica de fluidos , en presencia de flujos cuasi- 2D . ^[1] Describe la dinámica de la inestabilidad de Kelvin-Helmholtz , sujeta a fuerzas de flotabilidad (p. ej., la gravedad), para fluidos establemente estratificados en el límite sin disipación . O, más generalmente, la dinámica de las ondas internas en presencia de una estratificación de densidad (continua) y un flujo de corte. La ecuación de Taylor-Goldstein se deriva de las ecuaciones de Euler 2D , utilizando la aproximación de Boussinesq . ^[2]

La ecuación lleva el nombre de GI Taylor y S. Goldstein , quienes derivaron la ecuación independientemente uno del otro en 1931. La tercera derivación independiente, también en 1931, fue realizada por B. Haurwitz. ^[2]

La ecuación se deriva resolviendo una versión linealizada de la ecuación de Navier-Stokes , en presencia de gravedad y un gradiente de densidad medio (con longitud de gradiente ), para el campo de velocidad de perturbación${\ estilo de visualización g}$${\displaystyle L_{\rho}}$

donde es el flujo no perturbado o básico. La velocidad de perturbación tiene solución ondulatoria ( se entiende la parte real ). Usando este conocimiento y la representación de la función de corriente para el flujo, se obtiene la siguiente forma dimensional de la ecuación de Taylor-Goldstein:${\ estilo de visualización (U (z), 0,0)}$${\displaystyle \mathbf {u} '\propto \exp(i\alpha (x-ct))}$${\displaystyle u_{x}'=d{\tilde {\phi }}/dz,u_{z}'=-i\alpha {\tilde {\phi }}}$

donde denota la frecuencia Brunt-Väisälä . El parámetro de valor propio del problema es . Si la parte imaginaria de la velocidad de la onda es positiva, entonces el flujo es inestable y la pequeña perturbación introducida en el sistema se amplifica con el tiempo.${\displaystyle N={\sqrt {g \over L_{\rho }}}}$${\ estilo de visualización c}$ ${\ estilo de visualización c}$

Tenga en cuenta que una frecuencia Brunt-Väisälä puramente imaginaria da como resultado un flujo que siempre es inestable. Esta inestabilidad se conoce como inestabilidad de Rayleigh-Taylor .${\ estilo de visualización N}$

Un diagrama esquemático del estado base del sistema. El flujo bajo investigación representa una pequeña perturbación lejos de este estado. Mientras que el estado base es paralelo, la velocidad de perturbación tiene componentes en ambas direcciones.