En matemáticas aplicadas , la matriz de transferencia es una formulación en términos de una matriz de bloques de Toeplitz de la ecuación de dos escalas, que caracteriza las funciones refinables . Las funciones refinables juegan un papel importante en la teoría de ondículas y la teoría de elementos finitos .
Para la mascara , que es un vector con índices de componentes de a , la matriz de transferencia de , lo llamamos aquí, se define como
Más prolijamente
El efecto de se puede expresar en términos del operador de submuestreo "":
Propiedades
- .
- Si suelta la primera y la última columna y mueve las columnas con índices impares a la izquierda y las columnas con índices pares a la derecha, obtendrá una matriz de Sylvester transpuesta .
- El determinante de una matriz de transferencia es esencialmente una resultante.
- Más precisamente:
- Dejar ser los coeficientes de índice par ( ) y deja ser los coeficientes de índice impar de ( ).
- Luego , dónde es la resultante .
- Esta conexión permite un cálculo rápido utilizando el algoritmo euclidiano .
- Para el rastro de la matriz de transferencia de máscaras convolucionadas se mantiene
- Para el determinante de la matriz de transferencia de la máscara convolucionada se cumple
- dónde denota la máscara con signos alternos, es decir .
- Si , luego .
- Esta es una concreción de la propiedad determinante anterior. De la propiedad determinante se sabe que es singular siempre que es singular. Esta propiedad también dice cómo los vectores del espacio nulo de se puede convertir en vectores de espacio nulo de .
- Si es un vector propio de con respecto al valor propio , es decir
- ,
- luego es un vector propio de con respecto al mismo valor propio, es decir
- .
- Dejar ser los valores propios de , lo que implica y mas en general . Esta suma es útil para estimar el radio espectral de. Existe una posibilidad alternativa para calcular la suma de potencias de valor propio, que es más rápido para pequeños.
- Dejar ser la periodización de con respecto al período . Es decir es un filtro circular, lo que significa que los índices de los componentes son clases de residuos con respecto al módulo . Luego, con el operador de muestreo superior se mantiene
- En realidad no las convoluciones son necesarias, pero solo unos, al aplicar la estrategia de cálculo eficiente de potencias. Aún más, el enfoque se puede acelerar aún más utilizando la transformada rápida de Fourier .
- De la declaración anterior podemos derivar una estimación del radio espectral de. Se mantiene
- dónde es el tamaño del filtro y si todos los valores propios son reales, también es cierto que
- ,
- dónde .
Ver también
Referencias
- Strang, Gilbert (1996). "Autovalores dey convergencia del algoritmo en cascada ". IEEE Transactions on Signal Processing . 44 : 233-238. doi : 10.1109 / 78.485920 .
- Thielemann, Henning (2006). Ondas perfectamente adaptadas (tesis doctoral). (contiene pruebas de las propiedades anteriores)